Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
 Скачать 7.51 Mb.
|
разделяется на две: отражённую волну 1 и прошедшую волну 2 . Волна 2 частично отражается от нижней поверхно- сти клина, падает на верхнюю поверхность и проходит сквозь неё. Если толщина клина h не слишком велика, то волны 1 и 2 когерентны. (Так как угол β мал, все отражённые и преломлённые волны направлены по нормали к поверхностям клина. На РИС . 34.7 лучи 0 , 1 и 2 изображены раздельно, на самом деле они проходят через одни и те же точки.) Интерференционная картина на поверхности клина представляет собой чередова- ние тёмных и светлых полос, параллельных ребру клина. Ширина полосы 2 λ Y nβ (доказать самостоятельно ). 274 Рис. 34.7 3. Кольца Ньютона Плоско-выпуклая линза (радиус выпуклой поверхности R) лежит на плоской стек- лянной пластинке. Система освещается светом с длиной волны λ так, как показано на РИС . 34.8 . Волна 0 , падающая на сферическую поверхность линзы, разделяется на две волны: отражённую 1 и прошедшую 2 . Волна 2 , в свою очередь, частично отра- жается от верхней поверхности плоской пластинки, а затем проходит сквозь сфе- рическую поверхность линзы. Если толщина воздушного зазора между линзой и пластинкой не слишком велика, то волны 1 и 2 когерентны. Эти волны затем соби- раются (например, оптической системой микроскопа) и дают интерференционную картину, имеющую вид концентрических колец. Оптическая разность хода волн 1 и 2 2 2 λ δ h , где h — толщина воздушного зазора между линзой и пластинкой. Дополнительная разность хода 2 λ появляется за счёт отражения волны 2 от оптически более плот- ной среды. Выразим h через расстояние r от вершины линзы: 2 2 2 2 1 1 1 r r h R R r R R R R R ; так как r << R, 2 2 2 1 1 2 2 r r h R R R ; 2 2 r λ δ R Условие интерференционных максимумов (светлых колец): δ mλ , 2 1 2 m m λR r β O n x x h λ 0 1 2 275 — радиус m-го светлого кольца; m = 1, 2, … Условие интерференционных минимумов (тёмных колец): 2 1 2 m λ δ , m r mλR — радиус m-го тёмного кольца; m = 1, 2, … Рис. 34.8 В центре интерференционной картины наблюдается тёмное пятно (при h = 0 2 λ δ — интерференционный минимум), ограниченное первым светлым кольцом. Демонстрация: Интерференция в тонких плёнках Все рассмотренные выше схемы получения когерентных волн можно реализовать и в проходящем свете: падающая волна проходит через первую поверхность тонкой плёнки, отражается от второй, а затем от первой, наконец, проходит через вторую поверхность. 4.1.4. Пространственная и временная когерентность Реальная электромагнитная волна, излучаемая в течение конечного промежутка времени, не является монохроматической. Спектр её циклических частот имеет ко- нечную ширину Δω. Такую волну можно считать монохроматической в течение времени ког Δ Δ π t τ ω , (34.3) τ ког — время когерентности . Волна с циклической частотой ω и фазовой скоро- стью v распространяется за это время на расстояние 0 1 2 r R O h λ 276 ког ког Δ π l τ ω v v , (34.4) l ког – длина когерентности (длина гармонического цуга) П РИМЕР Для видимого солнечного света с частотой ν = (4∙10 14 ÷8∙10 14 ) Гц τ ког 10 –14 с, l ког 10 –6 м. Пусть длины волн лежат в пределах от λ до λ ± Δλ, а циклические частоты — от ω до ω ± Δω; 2 2 Δ Δ π λ ω λ v , (34.5) так как 2π λ ν ω v v , 2π ω λ v Критерий Рэлея: интерференционная картина остаётся ещё различимой до мак- симумов порядка m 0 для света с длиной волны λ + Δλ (Δλ > 0), который накладыва- ется на ближайший к нему минимум для света с длиной волны λ. Выразим m 0 : 0 0 Δ 2 1 2 λ m λ λ m ⇒ 0 2Δ λ m λ Соответствующая критерию Рэлея оптическая разность хода интерферирующих волн, т. е. оптическая разность хода, при которой интерференционная картина раз- личима, 2 0 ког ког 2Δ Δ λ π δ m λ τ l λ ω v v Таким образом мы вывели формулы (34.3) и (34.4) , выразив Δλ через Δω из (34.5) 277 Лекция 35 4.2. Дифракция электромагнитных волн Дифракция — совокупность явлений, связанных с поведением волны на неодно- родностях среды, в которой волна распространяется. Любое изображение имеет дифракционную природу: электромагнитные волны взаимодействуют с каким-либо объектом ( предметом ), нарушающим оптическую однородность среды, а затем поступают в приёмник, в котором создаётся изобра- жение этого предмета. Для расчёта дифракционной картины нужно записать волновое уравнение и ре- шить его с учётом граничных условий. Так как решение этого уравнения в общем случае весьма сложно, разработаны приближённые методы расчёта дифракцион- ной картины. 4.2.1. Принцип Гюйгенса-Френеля 1. Любая точка пространства, до которой доходит волна, становится источником вторичных сферических волн. Огибающая этих волн даёт новое положение фронта волны. 2. Вторичные источники когерентны друг другу. 3. Амплитуда волн, испускаемых вторичными источниками, пропорциональна площади поверхности этих источников. 4. Вторичные источники излучают преимущественно в направлении распростра- нения волны. Обратного излучения нет. Дифракционная картина — результат интерференции волн, испускаемых беско- нечным числом вторичных источников. 4.2.2. Метод зон Френеля. Дифракция на одной щели Пусть на щель шириной b в непрозрачном экране падает по нормали плоская мо- нохроматическая волна (длина волны λ). За щелью расположена собирающая линза Л , фокусирующая излучение, прошедшее через щель, на экране Э , находя- щемся в фокальной плоскости линзы ( РИС . 35.1 ). Положим b << L, где L — расстоя- ние между щелью и линзой. Излучение, выходящее из щели под углом φ к оси си- стемы (к нормали к плоскости щели и экранам), собирается в точке M на экране Э Рис. 35.1 Л λ M Э L b φ F 278 Волны, приходящие в точку M из разных точек щели, когерентны, поэтому в ре- зультате интерференции они могут либо усиливать, либо ослаблять друг друга. Проблема качественного анализа дифракционной картины и расчёта интенсивно- сти света решается методом зон Френеля Зона Френеля — область волнового фронта, такая, что разность фаз волн, испуска- емых вторичными источниками на границах этой области, равна π (разность хода 2 λ ). Таким образом, излучение от соседних зон Френеля гасит друг друга. Рис. 35.2 Построим зоны Френеля для прямоугольной щели шириной b. Оптическая раз- ность хода между волнами, идущими под углом φ к оси системы из крайних точек щели, sin δ AC b φ ( РИС . 35.2 ). Число зон Френеля, которые помещаются на щели, 2 sin 2 AC b φ n λ λ Зоны Френеля для щели имеют форму полос шириной 2sin λ φ . Соответственно, площади всех зон одинаковы. Поэтому амплитуды волн, испускаемых каждой зо- ной, также одинаковы: 1 2 n E E E E . Амплитуда результирующего колебания в точке M, по принципу суперпозиции по- лей, складывается из амплитуд колебаний, посылаемых всеми зонами, с учётом направления светового вектора. Так как волны из соседних зон приходят в проти- вофазе, то соответствующие световые векторы направлены противоположно друг другу и их проекции (амплитуды соответствующих колебаний) суммируются с раз- ными знаками: φ C B A b φ 279 Σ 1 2 3 4 n E E E E E E . Для нечётного числа зон Френеля E Σ = E, для чётного числа зон E Σ = 0. Получается, что если щель открывает нечётное число зон Френеля, то в точке M наблюдается интерференционный максимум, а если чётное — то минимум. При чётном n 2 sin 2 b φ m λ , m = ±1, ±2, …; sin b φ mλ — условие минимумов при дифракции света на щели При нечётном n 2 sin 2 1 b φ m λ ; sin 2 1 2 λ b φ m — условие максимумов при дифракции света на щели Можно вывести формулу для распределения интенсивности при дифракции света на щели 2 0 2 sin sin sin πb φ λ I I πb φ λ , (35.1) где I 0 — интенсивность волны, падающей на щель. График зависимости I(α) пред- ставлен на РИС . 35.3 Рис. 35.3 φ I 0 ширина нулевого максимума 280 Демонстрация: Дифракция на щели 4.2.3. Дифракционная решётка Дифракционная решётка — периодическая структура, состоящая из прозрачных и непрозрачных участков ( РИС . 35.4 ). На РИС . 35.4 b — ширина щели, d — период (по- стоянная) решётки Пусть на решётку нормально падает плоская монохроматическая волна (длина волны λ). Происходит дифракция электромагнитной волны на щелях: согласно принципу Гюй- генса-Френеля, каждая точка щели является источником сферических вторичных волн. За решёткой располагается линза Л . В фокальной плоскости линзы располо- жен экран Э , на котором наблюдается дифракционная картина. Расстояние от ре- шётки до линзы и экрана много больше периода решётки. Волны, выходящие из решётки под углом φ, фокусируются на экране в точке M ( РИС . 35.5 ). Рис. 35.5 Проанализируем, какая картина будет наблюдаться на экране Э 1. Волны, исходящие от сходственных точек всех щелей ( РИС . 35.6 ), будут усиливать друг друга, если их раз- ность хода Δ mλ , m — целое число. В соответствующих точках на экране будут наблюдаться главные дифракционные макси- мумы Условие главных максимумов: sin d φ mλ , m = 0, ±1, ±2, … — порядок спектра 2. Главные минимумы соответствуют углам дифракции, в направлении кото- рых каждая щель не посылает свет: sin b φ kλ , k = ±1, ±2, … Это условие минимумов при дифракции света на одной щели. λ Л Э φ M b d Рис. 35.4 Δ φ d φ Рис. 35.6 281 3. Побочные минимумы соответствуют углам дифракции, в направлении кото- рых каждая щель посылает свет, но в совокупности амплитуда колебаний равна нулю: sin z d φ λ N , z = 1, 2, …, N – 1, N + 1, N + 2, …; N — полное число щелей решётки. 4. Между побочными минимумами расположены побочные максимумы Интенсивность волны, дифрагированной на решётке под углом φ, 2 2 0 2 2 sin sin sin sin sin sin sin πb φ πNd φ λ λ I I πd φ πb φ λ λ , (35.2) где I 0 — интенсивность падающей волны. График зависимости I(φ) представлен на РИС . 35.7 . Красной штриховой линией изображён график зависимости интенсивности света от угла дифракции φ при дифракции на одной щели (35.1) 75 Рис. 35.7 Амплитуда напряжённости электрического поля в главных максимумах равна сумме амплитуд волн, излучаемых каждой щелью по отдельности, Σ 1 2 1 N E E E E NE , а интенсивность света пропорциональная квадрату амплитуды колебаний: 2 1 I N I , 75 График функции (35.1) на РИС . 35.7 изображён так, что он является огибающей графика функции (35.2) (при той же ширине b щели). На самом деле при одинаковой интенсивности I 0 падающего света площади под обоими графиками должны пропорциональны суммарной площади щелей, так как дифракция приводит лишь к перераспределению энергии электромагнитного поля в простран- стве, но не изменяет её суммарного значения. побочные минимумы φ I 0 главные максимумы N – 1 побочных максимумов главные минимумы 282 где I 1 — интенсивность света от одной щели. Чем больше число щелей в решётке, тем больше интенсивности приходится на главные максимумы и меньше — на по- бочные. В монохроматическом свете дифракционная картина выглядит следую- щим образом: яркие тонкие линии — главные максимумы на тёмном фоне. Дифракционная решётка (наряду с ПРИЗМОЙ ) служит основой спектральных прибо- ров. Если осветить решётку немонохроматическим светом, то свет разлагается в спектр. Демонстрация: Дифракционная решётка 4.2.4. Дифракция на круглом отверстии Пусть точечный источник S излучает сферические монохроматические волны (длина волны λ). На расстоянии a от источника расположена ширма с круглым от- верстием, а на расстоянии b от ширмы — экран, где наблюдается дифракционная картина ( РИС . 35.8 ). Радиус отверстия R << a, b. Рис. 35.8 Дифракционная картина будет иметь вид светлых и тёмных концен- трических колец. Разберёмся, что будет в центре картины — точке O — минимум или максимум интенсивности? Разобъём волновой фронт в отверстии на зоны Френеля. Они будут иметь вид колец с центром в точке Oˊ — центре отверстия ( РИС . 35.9 ). Легко показать, что радиус m-ой зоны Френеля m ab r mλ a b (35.3) Если отверстие открывает чётное число зон Френеля, то в точке O будет наблюдаться дифракционный минимум, если нечётное — то максимум. Из (35.3) следует, что площади всех зон Френеля одинаковы: 1 2 n S S S , где n — число зон Френеля, открываемых отверстием. По принципу Гюйгенса-Фре- неля амплитуды колебаний, приходящих в точку O из всех зон Френеля, одина- ковы: 1 2 n E E E . λ R b O S * a Oˊ Рис. 35.9 283 Однако, с ростом порядкового номера m зоны Френеля увеличивается угол между нормалью к волновому фронту и направлением на точку O, поэтому E 1 > E 2 > … >E n Можно считать, что 1 1 2 m m m E E E Суммарная амплитуда колебаний в точке O при полностью открытом волновом фронте (при отсутствии ширмы) 3 3 5 1 1 1 Σ 1 2 3 4 2 4 2 2 2 2 2 2 n E E E E E E E E E E E E E E , Мы доказали, что свет распространяется прямолинейно — в точку наблюдения приходит свет из половины первой зоны Френеля. Если закрыть все зоны Френеля, кроме первой, то амплитуда колебаний в точке O будет равна E 1 , а интенсивность света 1 0 4 I I , где I 0 — интенсивность света при полностью открытом волновом фронте. Можно создать такую диафрагму, что будут открыты только нечётные (или только чётные) зоны Френеля ( РИС . 35.9 ). Тогда Σ 1 3 5 E E E E . Ещё больше интенсивность света в центре экрана можно увеличить, если сдвигать по фазе излучение чётных зон Френеля так, чтобы оно совпадало по фазе с излуче- нием нечётных зон, перекрыв волновой фронт прозрачной пластинкой перемен- ной толщины ( РИС . 35.10 ). (На рисунке n — показатель преломления вещества, из которого изготовлена пластинка; δ' — добавочная оптическая разность хода.) |