Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
 Скачать 7.51 Mb.
|
Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики: 2 Ψ ΔΨ Ψ 2 U i m t (38.4) или 304 Ψ Ψ H i t — временнόе уравнение Шрёдингера Уравнение Шрёдингера не выводится из других соотношений, оно постулируется. Если силовое поле стационарно — U ≠ U(t), то решение уравнения Шрёдингера раз- деляется на два множителя: Ψ , , , , , W i t x y z t ψ x y z e , (38.5) где W — полная энергия частицы. Подставим (38.5) в уравнение Шрёдингера (38.4) : 2 Δ , , 2 W W W i t i t i t iW e ψ U x y z ψe i ψ e m , Hψ Wψ (38.6) — уравнение Шрёдингера для стационарных состояний (стационарное урав- нение Шрёдингера) Это уравнение мы будем чаще писать в другом виде: 2 2 Δ 0 m ψ W U ψ . (38.7) 5.5. Некоторые квантовомеханические задачи 5.5.1. Свободная частица с энергией W Рассмотрим одномерное движение. Лапласиан имеет вид 2 2 Δ d dx ; силовая функция U = 0. Уравнение Шрёдингера: 2 2 2 2 0 d ψ m Wψ dx . (38.8) Будем искать решение в виде ψ = Ae ikx , где k — неизвестная константа. Производ- ные волновой функции ikx dψ ikAe ikψ dx , 2 2 2 2 ikx d ψ ik Ae k ψ dx Подставим эти производные в уравнение (38.8) : 2 2 2 0 m k ψ Wψ ; 2 2 2mW k ⇒ 2mW k ; 2mW i x ψ Ae , A — постоянная нормировки. Полная волновая функция 2 Ψ , i Wt mW x x t Ae Действительная часть этой функции 305 2 Re Ψ , cos Wt mW x x t A — уравнение плоской бегущей монохроматтической волны. Вероятность обнаружения частицы 2 Ψ A везде одинакова. 5.5.2. Частица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины Потенциальная яма — область простран- ства, в которой находится минимум потен- циальной энергии частицы. В данной за- даче рассматривается потенциальная яма бесконечной глубины, т. е. в области дли- ной l потенциальная энергия минимальна (равна нулю), а во всём остальном про- странстве она стремится к бесконечности. График потенциальной энергии приведён на РИС . 38.1 В областях I и III , где потенциальная энер- гия бесконечно велика, вероятность обна- ружения частицы должна быть равна нулю, т. е. I III 0, 0. ψ ψ Уравнение Шрёдингера для области II 2 II II 2 2 2 0 d ψ m Wψ dx . (38.9) Введём обозначение 2 2 2m k W , тогда уравнение (38.9) примет вид 2 2 II II 2 0 d ψ k ψ dx . Решение этого уравнения II cos ψ x A kx φ Постоянные A и φ найдём из свойств волновой функции. Волновая функция должна быть непрерывна во всём пространстве, в том числе на стенках ямы: II II 0 0, 0 ψ ψ l ⇒ cos 0 , 2 cos 0 sin 0; π A φ φ A kl φ kl πn k l , n = 1, 2, … I U I → ∞ III U III → ∞ II U II = 0 x U 0 l Рис. 38.1 306 Поэтому II sin πn ψ A x l Энергия частицы 2 2 2 2 2 2 2 2 k π n W m l m , n = 1, 2, … Видно, что энергия частицы имеет дискретный ряд значений, т. е. квантуется. Условие нормировки: 2 2 2 II 0 0 sin 1 l l πn ψ x dx A x dx l ⇒ 2 A l Итак, II 2 sin πn ψ x l l , (38.10) 2 2 II 2 sin πn ψ x l l (38.11) Графики функций (38.10) и (38.11) для n = 1 и 2 представлены на РИС . 38.2 А , Б а б Рис. 38.2 Интервал энергий между соседними уровнями 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Δ 1 2 1 2 2 π π π W n n n n ml ml ml при достаточно больших n. Энергетическая диаграмма частицы в бесконечной по- тенциальной яме изображена на РИС . 38.3 ψ II 0 x l n = 1 n =2 l x 0 n = 2 n = 1 x W 0 l n = 1 n = 2 Рис. 38.3 307 Лекция 39 5.5.3. Потенциальный барьер. Туннельный эффект Потенциальный барьер — область пространства, в которой находится максимум потенциальной энергии частицы. Рассмотрим потенциальный барьер прямоуголь- ной формы, шириной l и высотой U 0 ( РИС . 39.1 ). Рис. 39.1 Рис. 39.2 Рассмотрим сначала бесконечный барьер (l → ∞), см. РИС . 39.2 : I II 0 0, U U U Пусть на него налетает (из области I ) частица массы m с энергией W < U 0 . Запишем стационарное уравнение Шрёдингера в виде (38.7) . (Задача одномерная, поэтому 2 2 Δ d dx .) Область I Область II 2 I I 2 2 2 0 d ψ m Wψ dx Обозначим 2 2 2m k W 2 II 0 II 2 2 2 0 d ψ m W U ψ dx . Обозначим 2 0 2 2m α U W Получим систему дифференциальных уравнений 2 I I 2 II II 0, 0. ψ k ψ ψ α ψ Ищем решение каждого из этих уравнений в общем виде ψ = e λx . Тогда ψˊ = λe λx , ψˊˊ = λ 2 e λx ; I I II II 2 2 I 2 2 II 0, 0; λ x λ x λ x λ x λ e k e λ e α e 2 2 I 2 2 II 0, 0; λ k λ α ⇒ I II , ; λ ik λ α I 1 1 II 2 2 , ikx ikx αx αx ψ A e B e ψ A e B e (39.1) Здесь i — мнимая единица, A 1 , B 1 , A 2 , B 2 —постоянные. U x 0 l I U I = 0 III U III = 0 II U II = U 0 U 0 I U I = 0 II U II = U 0 U x 0 U 0 308 Коэффициент A 1 характеризует набегающую волну (налетающую частицу), B 1 — отражённую волну (отлетающую от барьера частицу), A 2 и B 2 характеризуют веро- ятность нахождения частицы внутри барьера. Так как эта вероятность не может расти при погружении вглубь барьера, A 2 = 0. Найдём коэффициент B 2 . Условие непрерывности волновой функции на границе барьера: I II 0 0 ψ ψ ⇒ 1 1 2 A B B . (39.2) Условие непрерывности производных волновой функции: I II 0 0 ψ ψ ⇒ 1 1 2 ikA ikB αB (39.3) Из (39.2) и (39.3) получим 2 1 2ik B A ik α (39.4) Вероятность нахождения частицы в точке с координатой x = 0 определяется выра- жением 2 2 I 1 0 ψ A .Вероятность (плотность вероятности) нахождения частицы внутри барьера на расстоянии x от его границы 2 2 2 II 2 αx αx ψ x B e e Теперь «обрежем» барьер на ширине x = l. Прозрачность (коэффициент прозрач- ности) барьера —– вероятность прохождения барьера частицей: 2 II 2 I 0 ψ l D ψ Подставим сюда функции (39.1) . С учётом (39.4) получим 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 4 4 αl αl αl αl B e ik k W D e e e A ik α k α U В большинстве реальных задач 0 4 1 W U . Тогда D ≈ e –2αl , 0 2 2 l m U W D e Мы доказали, что даже имея энергию, меньшую, чем высота потенциального барь- ера, частица может преодолеть этот барьер. В этом состоит туннельный эффект Численная оценка Если U 0 – W = 5 эВ, то при l = 1 Å D = 1∙10 –1 ; l = 2 Å D = 8∙10 –5 ; l = 5 Å D = 5∙10 –7 Туннельный эффект широко применяется в технике. Большой ток при холодной эмиссии электронов объясняется в т. ч. туннельным эффектом. 5.5.4. Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор — частица, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы F x = –kx. При этом потенциальная энергия силового поля 309 2 2 kx U График U(x) представлен на РИС . 39.3 . Собственная частота осциллятора k ω m ; 2 2 2 mω x U Стационарное уравнение Шрёдингера: 2 2 2 2 2 2 0 2 d ψ m mω x W ψ dx , здесь W — полная энергия осциллятора. Это уравнение имеет точное аналитиче- ское решение. Собственные функции слишком сложны, чтобы их здесь приводить. Собственные значения энергии гармонического ос- циллятора 1 2 n W n ω , 0,1,2, n Энергия гармонического осциллятора квантуется, Уровни энергии эквидистантны, т. е. отстоят друг от друга на одинаковую величину ΔW ω hν Минимально возможная энергия гармонического ос- циллятора – нулевая энергия 0 2 ω W Таким образом, доказана гипотеза Планка о том, что осциллятор излучает порциями –— квантами. 5.6. Атом водорода 5.6.1. Модель атома Резерфорда-Бора Атом состоит из положительно заряженного ядра, окружённого облаком электро- нов 80 . (С классической точки зрения это невозможно — электрон упал бы на ядро!) Для атома водорода ( РИС . 39.4 ) масса протона m p намного больше массы электрона m e : 1836 p e m m , поэтому ядро можно считать неподвижным. 80 По полуклассической теории Бора электроны вращаются вокруг ядра по орбитам. По квантово- механическим же представлениям об орбитах говорить бессмысленно. Рис. 39.3 U x 0 W 0 W 1 W 2 310 Рис. 39.4 Рис. 39.5 Потенциал электростатического поля ядра 0 4 Ze φ πε r , где Z — заряд ядра (число протонов в ядре), r — расстояние от ядра до электрона. Потенциальная энергия электрона в этом поле 2 0 4 Ze U πε r График зависимости U (r) представлен на РИС . 39.5 Для атома водорода Z = 1. При Z ≠ 1 система, состоящая из ядра и одного электрона, — водородоподобный ион 5.6.2. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний и его решение Стационарное уравнение Шрёдингера 2 2 0 2 Δ 0 4 m Ze ψ W ψ πε r , где m — масса электрона (данное обозначение используется в этом и следующем разделах). Так как поле — центральное, перейдём к сферической системе координат. Стацио- нарное уравнение Шрёдингера запишется в виде 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 2 sin 0 sin sin 4 ψ ψ ψ m Ze r θ W ψ r r r r θ θ θ r θ φ πε r . (39.5) Предположим, что существует такое центральносимметричное состояние, в кото- ром ψ = ψ 1 (r), с энергией W 1 . Тогда 2 2 1 1 1 1 2 2 0 2 2 0 4 d ψ dψ m Ze W ψ dr r dr πε r (39.6) Будем искать решение этого уравнения в виде 0 1 r r ψ Ce . Производные этой функ- ции W 0 r ⊕ ⊝ p m p m e 0 r U 311 0 1 1 0 0 r r dψ ψ C e dr r r , 0 2 1 1 2 2 2 0 0 r r d ψ ψ C e dr r r Подставим эти выражения в уравнение (39.6) : 2 1 1 1 1 2 2 0 0 0 2 2 0 4 ψ ψ m Ze W ψ r r r πε r (ψ 1 ≠ 0). Домножив это уравнение на 2 2m , получим 2 2 2 2 2 1 2 0 0 0 0 0 2 1 2 2 4 4 Ze Ze W mr mr r πε r r mr πε Это равенство должно выполняться при любых r, в т. ч. при r → ∞. В таком случае правая часть этого равенства стремится к нулю, а, следовательно, и левая часть должна быть также равна нулю: 2 1 2 0 0 2 W mr ⇒ 2 1 2 0 2 W mr При r ≠ 0 должны выполняться равенства 2 1 2 0 2 2 0 0 0, 2 0. 4 W mr Ze mr πε Из этой системы уравнений получим 2 0 0 2 4πε r Ze m , 2 2 1 2 0 2 4 m Ze W πε Численное значение При Z = 1 W 1 = –13,6 эВ; r 0 = 0,529 Å — первый боровский радиус Вероятность обнаружения электрона в тон- ком сферическом слое радиуса r и толщиной dr 0 2 2 2 2 2 1 4 4 r r dP ψ πr dr C e πr dr ; 0 2 2 2 4 r r dP C πr e dr График этой функции изображён на РИС . 39.6 . Максимум плотности вероятности обнаружения электрона имеет место при r = r 0 ( |