Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020

• Название: Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 7.51 Mb.
• Имя файла: conspectus_01.pdf
• Тип: Конспект; #794791
• страница: 38 из 44

Рис. 42.4
F(ε)
ε
0
T
1
T
2
> T
1

333
Лекция 43
6.3. Тепловое излучение. Фотонный газ
6.3.1. Тепловое излучение и его характеристики
Тепловое излучение
— электромагнитное излучение, испускаемое телами за счёт их внутренней энергии. Оно свойственно всем телам при любой температуре. Речь пойдёт о равновесном излучении, т. е. находящемся в термодинамическом равнове- сии с излучающим телом.
Энергетическая светимость
(интегральная излучательная способность)
— энергия, испускаемая телом в единичный промежуток времени с единичного участка поверхности тела по всем направлениям:
T
dW
R
dSdt

,
 
2
Вт м
T
R 
Спектральная излучательная (испускательная) способность
— энергия, ис- пускаемая с единичного участка поверхности тела в единичный промежуток вре- мени по всем направлениям в единичном интервале частот
83
(длин волн):
,
ω T
dW
r
dSdtdω

,
,
λ T
dW
r
dSdtdλ

;
,
2
Дж м
ω T
r

 


,
,
3
Вт м
λ T
r

 


Связь интегральной и спектральной излучательных способностей:
,
T
ω T
dR
r
dω

,
,
T
λ T
dR
r
dλ

;
,
,
0 0
T
ω T
λ T
R
r dω
r dλ






Связь r
ω, T
и r
λ, T
:
2 2
2
π
π
dλ d
dω
ω
ω



 




v
v
;
,
,
ω T
λ T
r dω r dλ

⇒
2 2 2
,
,
,
,
,
2 2
4 2
2 2
λ T
ω T
ω T
ω T
ω T
dω
dω ω
π
π
r
r
r
r
r
dλ
π dω
π λ
λ





v
v
v
v
,
(43.1) здесь v — скорость света в среде.
Спектральная поглощательная способность
— безразмерная величина, равная доле энергии, падающей на поверхность тела в интервале частот от ω до ω + dω, которая поглощается этим телом: погл
,
пад
ω T
dW
a
dW

Плотность энергии излучения
— энергия излучения в единичном объёме:
83
В этом параграфе частота — это циклическая частота ω. Все формулы, содержащие эту величину, можно записать через частоту
2
ω
ν
π

2πv

334
T
dW
w
dV

,
 
3
Дж м
T
w 
Спектральная плотность энергии излучения
— плотность энергии излучения, приходящаяся на единичный интервал частот
84
:
,
T
ω T
dw
u
dω

,
,
3
Дж c м
ω T
u


 


Связь u
ω, T
и w
T
:
,
0
T
ω T
w
u dω



Спектральная и интегральная плотность энергии равновесного теплового излуче- ния не зависят от природы излучающего тела, а зависят только от температуры и частоты.
6.3.2. Чёрное и серое тело. Закон Кирхгофа
Серое тело
— тело, спектральная поглощательная способность которого не зави- сит от частоты (длины волны) падающего излучения, притом что она меньше еди- ницы:
,
1
ω T
T
a
a


Чёрное тело (абсолютно чёрное тело)
— тело, поглощающее всё падающее на него излучение:
0 0
,
1
ω T
T
a
a


Модель чёрного тела
Абсолютно чёрных тел в природе не бывает, но можно создать объект, по своим оптическим свойствам сколь угодно приближенный к чёрному телу. В закры- том сосуде (лучше с зачернённой внутренней поверх- ностью) нужно сделать малое по сравнению с разме- рами сосуда отверстие (
РИС
. 43.1
). Если на это отвер- стие падает свет, то, проходя через отверстие, он либо поглощается внутренней поверхностью сосуда, либо отражается от неё, затем снова падает на внутреннюю поверхность, опять поглощается или отражается и т. д. Таким образом, свет, падающий на отверстие, практически не выходит из него, т. е. отверстие является чёрным телом.
Демонстрация:
Модель абсолютно чёрного тела
Закон Кирхгофа:
отношение спектральной излучательной и поглощательной спо- собностей тела не зависит от его природы, а является универсальной функцией ча- стоты (длины волны) и температуры, равной спектральной излучательной способ- ности чёрного тела;
,
0
,
,
ω T
ω T
ω T
r
r
a

84
Аналогично можно ввести u
λ, T
, a
λ, T
Рис. 43.1

335
Доказательство
Пусть внутри чёрной оболочки помещено нечёр- ное тело (
РИС
. 43.2
). Так как оба тела находятся в равновесии с излучением, энергия, поглощённая участком поверхности нечёрного тела площадью
dS в любом малом интервале частот dω за время
dt, равно излучённой энергии в том же интер- вале: погл изл
dW
dW

По определению спектральной поглощательной способности погл
,
пад
ω T
dW
a dW

, где dW
пад
—энергия излучения в том же диапазоне, падающего на ту же площадку в тот же промежуток времени; по определению спектральной излучательной спо- собности изл
,
ω T
dW
r dωdSdt

На участок поверхности чёрного тела площадью dS падает за время dt столько же излучения, что и на участок поверхности нечёрного тела той же площади:
0
пад пад
dW
dW

Но чёрное тело поглощает всё падающее на него излучение и, следовательно, столько же излучает:
0 0
0 0
пад погл изл
,
ω T
dW
dW
dW
r dωdSdt



Из этих равенств следует, что
0
,
,
,
ω T
ω T ω T
r dωdSdt a r dωdSdt

⇒
,
0
,
,
ω T
ω T
ω T
r
r
a

, ч. т. д.
Демонстрация:
Кубок Лесли
Связь
0
,
ω T
r и u
ω, T
:
0
,
,
4
ω T
ω T
r
u
 v
(43.2)
Доказательство
Пусть в единичном объёме полости, заполненной равновесным тепловым излуче- нием, находится dn
ω
фотонов с частотой от ω до ω + dω. Энергия этих фотонов
,
ω
ω
ω T
dW εdn
ωdn
u dω



Фотоны летят внутри полости по всем направлениям. Число ударов фотонов о стенку в единичный промежуток времени равно
1 4
ω
dn
v
. Поэтому энергия излуче- ния, падающего на единичный участок поверхности тела в единичный промежуток времени, пад
4
ω
dW
ωdn
 v
чёрное тело нечёрное тело
Рис. 43.2

336
Эта же величина равна энергии, излучённой тем же участком поверхности в еди- ничный промежуток времени,
0
изл
,
ω T
dW
r dω

. Из этого следует
0
,
,
4 4
ω T
ω
ω T
r dω
ωdn
u dω


v
v
⇒
0
,
,
4
ω T
ω T
r
u
 v , ч. т. д.
6.3.3. Фотонный газ. Подсчёт числа фотонов с энергией от ε до ε + dε
Так как фотоны — бозоны (спин фотона s = 1), они подчиняются статистике Бозе-
Эйнштейна; функция распределения по фазовым ячейкам
 
1 1
i
i
ε μ
kT
f ε
e



Разберёмся, чему равен химический потенциал μ фотонного газа. Число частиц
N ≠ const, так как фотоны непрерывно поглощаются и излучаются. Фотонный газ стремится к минимуму внутренней энергии U за счёт изменения N:
0
U
N



Но по определению химического потенциала const const
V
S
U
μ
N





 




. Поэтому
0
μ 
С учётом равенства нулю химического потенциала функция распределения запи- шется как
 
1 1
ε
kT
f ε
e


(здесь и далее в этом разделе мы опускаем индекс i).
По определению функции распределения
 
ε
dN
f ε
dg

, где dN
ε
— число фотонов с энергией от ε до ε + dε, dg — число ячеек, соответствую- щих этой энергии.
Число фазовых ячеек в фазовом объёме dΓ, в котором энергия частиц лежит ε до
ε + dε,
3
Γ
2
d
dg
h

, так как h
3
/2 — объём фазовой ячейки. Поскольку энергия фотона не зависит от ко- ординаты,
Γ
Γ
x
y
z
p
V
d
dxdydz dp dp dp
Vd









, где V — объём полости, в которой находится фотонный газ, dΓ
p
— элемент объёма в подпространстве импульсов. Так как энергия фотона зависит только от модуля импульса, а не от его направления, выбираем dΓ
p
в виде тонкого сферического слоя радиуса p и толщины dp (
РИС
. 42.3
):

337 2
Γ
4
p
d
πp dp

Так как энергия фотона ε = cp (c — скорость света в вакууме; если излучение рас- пространяется в веществе, в всех формулах этого параграфа следует заменить c на
v),
ε
p
c
 ,
dε
dp
c

⇒
2 3
4
Γ
p
πε dε
d
c

;
2 2
3 3 3 3 2 4 8
V
πε dε
πV
dg
ε dε
c h
c h
 


;
2 3 3 8
1
ε
ε
kT
πV ε dε
dN
c h
e


или
2 2 3 3 1
ε
ε
kT
V
ε dε
dN
π c
e


(43.3)
6.3.4. Спектральная излучательная способность чёрного тела
Энергия фотонов, у каждого из которых энергия от ε до ε + dε, в объёме V
ε
dW εdN

Так как ε = ħω, спектральная плотность энергии излучения
,
ε
ω T
ωdN
dW
u
Vdω
Vdω


Подставив сюда выражение
(43.3)
, получим
2 2
,
2 3 3 1
ω T
ω
kT
ω V
ω dω
u
V π c
e
dω








,
3
,
2 3 1
ω T
ω
kT
ω
u
π c
e


Из соотношения
(43.2)
следует, что
3
,
,
2 2 4
4 1
ω T
ω T
ω
kT
c
ω
r
u
π c
e



Из
(43.1)
3 3 2 2
,
,
2 2 2 2 5
2 2
3 2 2 2
5 5
2 2
2 8
4 1
4 1
1 4
1 2
1 1
1
λ T
ω T
π c
π c
λkT
λkT
π c
hc
λkT
λkT
πc
πc
π c
π c
r
r
λ
π c λ
λ
λ e
e
π c
πc h
λ
λ
e
e


































Итак,

338 3
,
2 2 4
1
ω T
ω
kT
ω
r
π c
e


,
2
,
5 2
1 1
λ T
hc
λkT
πc h
r
λ
e








(43.4)
—
формула Планка
График функции r
ω, T
представлен на
РИС
. 43.3
, а функции r
λ, T
— на
РИС
. 43.4
Рис. 43.3
6.3.5. Законы излучения чёрного тела
1.
Закон Кирхгофа
2.
Закон Планка
3.
Закон Стефана-Больцмана:
интегральная излучательная способность чёр- ного тела пропорциональна четвёртой степени термодинамической темпера- туры:
4
T
R
σT

, где
8 2
4
Вт
5,67 10
м К
σ




—
постоянная Стефана-Больцмана
Доказательство
Интегральная излучательная способность чёрного тела
1 1
4 3
3
,
2 2 2 2 0
0 0
1 1
4 4
ω
ω
kT
kT
T
ω T
kT
ω
ω
R
r dω
ω e
dω
e
d
π c
π c
kT
kT










 













 




 










Обозначим
ω
ξ
kT
 ;


4 1
4 3
2 3
0 1
4
ξ
T
k
R
T ξ e
dξ
π c





Интеграл в этом выражении — это константа, табличная величина. Поэтому
R
T

T
4
, ч. т. д.
ω
0
r
ω
,
T

339
4.
Закон смещения Вина:
длина волны, соответствующая максимуму спектраль- ной излучательной способности чёрного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре;
m
λ T b
 , где b = 2,90∙10
–3
м∙К —
постоянная Вина
Доказательство
Условие максимума спектральной излучательной способности
,
0
λ T
dr
dλ
 .
Из формулы Планка
6 5
2 5
1 0
hc
hc
kTλ
kTλ
hc
λ
e
λ e
kTλ












,
5 5
0
hc
hc
kTλ
kTλ
hc
e
e
kTλ

 
 .
Обозначим
hc
x
kTλ
 ; получим
5 5 0
x
x
xe
e

 
Это трансцендентное уравнение, имеющее корень x
0
:
0
m
hc
x
kTλ

,
0
const
m
hc
λ T
kx


, ч. т. д.
На
РИС
. 43.4
показано, как изменяется спектральная излучательная способность r
λ, T
в зависимости от температуры излучающего чёрного тела. Более нагретое тело из- лучает больше во всём диапазоне длин волн; максимум его спектральной излуча- тельной способности смещён в сторону более коротких волн.
Демонстрация:
Закон Вина
Рис. 43.4
5.
Формула Рэлея-Джинса
λ
1m
λ
2m
λ
0
r
λ, T
T
1
T
2
> T
1

340
Из классических соображений можно получить формулу
2
,
2 2 4
ω T
ω kT
r
π c

—
формула Рэлея-Джинса
. Из этой формулы следует
,
0
T
ω T
R
r dω


 

— «ультрафиолетовая катастрофа». Получается, что энергия излучения тела бесконечно велика, что противоречит закону сохранения энергии.
Ультрафиолетовая катастрофа была преодолена Планком, который при вы- воде формулы для спектральной излучательной способности воспользовался гипотезой о том, что энергия гармонического осциллятора может принимать только дискретный ряд значений: ħω, 2ħω, 3ħω и т. д., кратных кванту энергии.
Формула Рэлея-Джинса — частный случай формулы Планка при малых часто- тах излучения
1
ω
kT






:
3 3
2
,
2 2 2 2 2 2 4
4 4
1
ω T
ω
kT
ω
ω kT
ω kT
r
π c
π c
ω
π c
e





341
Лекция 44
6.3.6. Оптическая пирометрия
Оптическая пирометрия
— совокупность оптических методов измерения темпе- ратур, основанных на законах теплового излучения. Приборы, которые при этом используются, называются