Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020

• Название: Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 7.51 Mb.
• Имя файла: conspectus_01.pdf
• Тип: Конспект; #794791
• страница: 34 из 44

1.
Фототок возрастает с увеличением интенсивности падающего света.
2.
Фототок достигает насыщения.
3.
Существует
красная граница фотоэффекта
— частота ν
0
(длина волны λ
0
) падающего излучения, при частотах ниже (длинах волн выше) которой фото- эффект не наблюдается. Значение ν
0
зависит от материала катода и состояния его поверхности.
4.
Максимальная скорость фотоэлектронов зависит от частоты падающего света и не зависит от его интенсивности.
5.
Фотоэффект практически безынерционен.
Демонстрация:
Внешний фотоэффект на цинке
Зависимость фототока от напряжения показана на
РИС
. 37.2
λ
⊝
e
–
V
К
А
μA
i
Рис. 37.1

295
Вольт-амперная характеристика вакуумного фотоэлемента
Рис. 37.2
Квантовая теория внешнего фотоэффекта
Из закона сохранения энергии следует, что энергия фотона расходуется на кинети- ческую энергию вылетающего электрона (её максимальное значение
2
max к max
2
e
m
W

v
, m
e
— масса электрона) и
работу выхода
A электрона с поверхности металла:
2
max
2
e
m
hν
A


v
(37.1)
—
уравнение Эйнштейна
Работа выхода электрона из металла составляет единицы электрон-вольт.
1 электрон-вольт (эВ) равен энергии, которую приобретает электрон, пройдя уско- ряющее электрическое поле с разностью потенциалов 1 В:
1 эВ = 1,60∙10
–19
Дж.
Объяснение свойств внешнего фотоэффекта
1.
Число фотоэлектронов пропорционально интенсивности падающего света.
2.
Число фотоэлектронов ограничено.
3.
Фотоэффект прекращается, когда максимальная скорость фотоэлектронов равна нулю: max
0

v
⇒
0 0
hν
A
  ⇒
0
A
ν
h

4.
Из уравнения Эйнштейна
(37.1)
следует, что v
max
= v
max
(ν).
5.
Соударение фотона и электрона настолько сильное, что электрон вылетает практически мгновенно.
i
U
0
U
з
i
нас

296
5.1.3. Эффект Комптона
Эффект Комптона
— явление изменения длины волны рентгеновского излучения при его рассеянии электронами вещества. Этот эф- фект наблюдается в результате столкновения фотона со свободным или почти свободным электроном (
РИС
. 37.3
).
Рассмотрим замкнутую систему фотон-элек- трон в системе отсчёта, в которой электрон по- коится. Импульс и механическая энергия этой системы сохраняются. Закон сохра- нения импульса: ф
ф
e
p
p
p



,
(37.2) где ф
p — импульс фотона до соударения, ф
p — импульс фотона после соударения,
e
p
— импульс электрона после соударения. Закон сохранения механической энер- гии:
2 2
e
m
hν
hν


v
,
(37.3) где ν — частота налетающего фотона, νˊ — частота рассеянного фотона,
v — ско- рость электрона после соударения. Здесь мы полагаем v << c и описываем движе- ние электрона нерелятивистскими формулами
78
Считая угол рассеяния θ фотона (
РИС
. 37.3
) известным, спроецируем уравнение
(37.2)
на координатные оси, выразив импульс и частоту фотона через длину волны.
Из системы уравнений
(37.2)
и
(37.3)
получим выражение для длины волны рассе- янного фотона


C
1 cos
λ
λ λ
θ
  

, здесь λ — длина волны налетающего фотона, λˊ — длина волны рассеянного фо- тона,
12
C
2,425 10 м
e
h
λ
m c




—
комптоновская длина волны электрона
5.1.4. Корпускулярно-волновая двойственность свойств света
Каждой группе фотонов в классическом описании ставится в соответствие цуг
волны, характеризуемой напряжённостью электрического поля
E
и напряжённо- стью магнитного поля
H
Объёмная плотность энергии электромагнитного поля(см.
3.14.3
)
2 0
2 2
DE BH
w
ε εE



(здесь ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды).
78
На самом деле во многих случаях электрон нужно считать релятивистским и пользоваться реля- тивистскими выражениями для импульса и энергии электрона.
θ
⊝
hν
hνˊ
Рис. 37.3

297
Энергия электромагнитного поля в малом объёме dV
dW wdV

, но, с другой стороны,
dW NhνdP

, где dP — вероятность попадания фотона в объём dV, N — общее число фотонов. От- сюда

dP
w
dV
— классическая плотность энергии электромагнитного излучения определяет
плотность вероятности попадания фотонов в данную область пространства. Дан- ная картина реализуется в виде изменяющегося в пространстве распределения ин- тенсивности света (при большом числе фотонов).
Так как w E
2
,
2

dP
E
dV
— квадрат модуля напряжённости электрического поля определяет плотность ве- роятности попадания фотона в данную область пространства.
5.2. Гипотеза де Бройля
Гипотеза де Бройля:
корпускулярно-волновая двойственность присуща не только свету, но и всей материи, т. е. все частицы обладают не только корпускулярными, но и волновыми свойствами.
Каждой движущейся частице можно поставить в соответствие волновой процесс
(
волну де Бройля
), который характеризуется
длиной волны
h
λ
p

и
частотой
W
ν
h

; здесь p — модуль импульса, W — энергия частицы.
Квадрат модуля амплитуды
волны де Бройля определяет плотность вероятно- сти обнаружения частицы в данной области пространства. Корпускулярные свой- ства частицы обусловлены тем, что её масса, импульс и энергия локализованы в малом объёме.
П
РИМЕРЫ
1) Пуля массой m = 10 г летит со скоростью v = 600 м/с. Её длина волны де Бройля
 
 
34 34 24 2
2 6,6 10 10
м
10
Å
10 6 10
h
λ
m









 
v
Волновые свойства частицы можно обнаружить благодаря явлению дифракции.
Препятствия, на котором можно было бы обнаружить волновые свойства пули, не существует.
2) Электрон прошёл ускоряющее электрическое поле с разностью потенциалов
U = 150 В.

298
По закону сохранения энергии
2 2
e
m
eU

v
, здесь v — конечная скорость электрона. Импульс электрона
2
e
e
p m
em U


v
Длина волны де Бройля
 
 
34 31 19 2
34 10 24 6,6 10 2
2 9,1 10 1,6 10 1,5 10 6,6 10 10
м
1 Å .
10 2 9,1 1,6 1,5
e
h
h
λ
p
em U







 















Период кристаллической решётки твёрдого тела — порядка 1 Å. Можно наблюдать дифракционную картину при рассеянии электронов на кристаллической решётке.
Условие дифракционных максимумов
2 sin
d
θ mλ

⇒ sin
2
mλ
θ
d

, здесь θ — угол дифракции, d — период решётки, m — целое число.
Если пускать электроны по одному, то распределение точек на детекторе (фото- пластинке) будет случайным.
5.3. Соотношения неопределённостей Гейзенберга
В квантовой физике теряет смысл понятие траектории, координаты, скорости, ускорения частицы. Приходится говорить о плотности вероятности нахождения частицы в данной области пространства. Корректность использования классиче- ских физических величины определяется
соотношениями неопределённостей
Гейзенберга
Нельзя одновременно с произвольной точность определить координату и соответ- ствующую ей проекцию импульса частицы. Между неопределённостями этих вели- чин должны выполнятся соотношения
Δ Δ
,
2
Δ Δ
,
2
Δ Δ
2
x
y
z
x p
y p
z p











(37.4)
(здесь Δx — неопределённость координаты x и т. п.)
Величины, которые связаны между собой подобными соотношениями, называются
канонически сопряжёнными
; например, энергия W и время t:
Δ Δ
2
W t  .
Соотношения неопределённостей являются оценочными.

299
П
РИМЕР
Пролёт микрочастицы через щель (дифракция электрона на щели)
Попытаемся определить координату свободно летящей микрочастицы. Для этого поставим на её пути ширму с щелью шириной Δx (
РИС
. 37.4
). До прохождения ча- стицы через щель p
x
= 0, Δp
x
= 0, зато координата x совершенно не определена. В мо- мент прохождения частицы через щель ситуация изменяется:
Δ
sin
x
p
p
φ

,
Δ sin
x
φ λ

— условие первого минимума при дифракции на щели (см.
4.2.2
), поэтому sin
Δ
λ
φ
x

, Δ
Δ
Δ
x
λ
h λ
p
p
x λ x


,
Δ Δ
x
p x h
 .
Рис. 37.4
x
Δx
φ
цен тр альный максим ум

300
Лекция 38
5.4. Квантовомеханическое описание движения частицы
5.4.1. Волновая функция
Волновая функция
 
Ψ ,
r t описывает состояние частицы. Волновая функция мо- жет быть как действительной, так и комплексной. Физический смысл имеет квад- рат модуля волновой функции:
2
Ψ
dP
dV

— квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности обнаружения частицы в данной области пространства.
Свойства волновой функции
1.
Однозначность и непрерывность при любых x, y, z, t
2.
Непрерывность производных
Ψ
x


,
Ψ
y


,
Ψ
z


при любых x, y, z, t
3.
Интегрируемость по x, y, z при любых x, y, z, t
4.
Условие нормировки:


2
Ψ , ,
1
x y z dV
  
  

  
(обнаружение частицы во всём пространстве — достоверное событие, его ве- роятность равна единице). Здесь dV = dxdydz — интегрирование ведётся по объёму.
5.4.2. Изображение физических величин операторами
В квантовой механике каждой физической величине ставится в соответствие
опе-
ратор
— правило, посредством которого одна функция сопоставляется другой:
f Qφ

Уравнение для
собственных функций
и
собственных значений
оператора Q :
Qφ qφ

Множеству собственных значений (q
1
, q
2
, …, q
n
) соответствует множество собствен- ных функций (φ
1
, φ
2
, …, φ
n
).
При измерении физической величины q, представляемой оператором Q , могут по- лучаться только результаты, совпадающие с собственными значениями этого опе- ратора.
Среднее значение
q:
*
Ψ Ψ
q
Q dV


, здесь Ψ
*
—
комплексно сопряжённая
функция к функции Ψ; интегрирование ве- дётся по всей области определения Ψ.

301
Важнейшие операторы физических величин
1.
Оператор координаты
x x
 ;




, ,
, ,
xψ x y z
xψ x y z

79
Оператор радиуса-вектора
r xi y j zk



2.
Оператор импульса
x
p
i
x

 

,
y
p
i
y

 

,
z
p
i
z

 

;
p
i
  
, здесь i — мнимая единица.
3.
Оператор момента импульса
L
rp
 
  
 
;
i
j
k
L
x
y
z
i
i
i
x
y
z










;
x
L
i
y
z
i z
y
z
y
y
z








 















и т. д.
4.
Оператор кинетической энергии


2 2
2 2
2 2
2 1
Δ
2 2
2 2
x
y
z
p
T
p
p
p
m
m
m
m




 
  
, здесь
2
Δ  
— оператор Лапласа, m — масса частицы.
5.
Оператор полной энергии – гамильтониан


, , ,
H T U x y z t
 
,





, , ,
, , ,
U x y z t
U x y z t
—
силовая функция
— описывает действие других объ- ектов на частицу.
5.4.3. Возможность одновременного измерения двух величин
Пусть имеются два оператора A и B .
Коммутатор
операторов A и B
 
,
A B
AB BA


Операторы
A и B
коммутируют
, если
79
Волновую функцию, зависящую от времени, мы обозначаем Ψ, а её стационарную часть (см.
5.4.5
), не зависящую явно от времени, — ψ = ψ(x, y, z).

302
 
,
0
A B  , т. е.
AB BA

Если операторы не коммутируют, т. е.
 
,
0
A B  , то величины a и b одновременно не измеримы. (Для этих величин можно записать соотношение неопределённо- стей.)
П
РИМЕРЫ
1) Измеримы ли одновременно координата и соответствующая проекция импульса?
Найдём коммутатор операторов
x и
x
p ; для простоты воздействуем этими опера- торами на функцию ψ:
 
x
ψ
ψ
x p ψ
x
i
i x
x
x






 






;
 
 
x
ψ
p xψ
i
xψ
i ψ i x
x
x


 
 



;


x
x
xp
p x ψ i ψ


⇒
 
 
,
0
x
x p
i
Координата и соответствующая проекция импульса одновременно не измеримы, что подтверждается соотношениями неопределённостей
(37.4)
2) Измеримы ли одновременно p
y
и x?
Действуем аналогично тому, как
В ПРЕДЫДУЩЕМ ПРИМЕРЕ
:
 
x
ψ
ψ
y p ψ
y i
i y
x
x






 






;
 
x
ψ
p yψ
i y
x

 

;
 
,
0
x
p y  .
Координата y и проекция импульса на ось x одновременно измеримы.
Дополнительное задание
Доказать, что операторы проекций момента импульса не коммутируют:
 
,
0
x
y
L L 
, а также что оператор каждой из проекций момента импульса коммутирует с опе- ратором квадратом момента импульса:
 
2
,
0
x
L L 
5.4.4. Квантование физических величин
Если физическая величина принимает дискретный ряд значений, т. е. собственные значения соответствующего оператора дискретны, то говорят, что данная вели- чина
квантуется

303
П
РИМЕР
Квантование момента импульса
Уравнение для собственных значений оператора квадрата момента импульса
2 2
L ψ L ψ

Решение этого уравнение трудное, поэтому приведём только результат — соб- ственные значения оператора квадрата момента импульса


2 2
1
L
l l


,
(38.1)
l = 0, 1, 2, …
Уравнение для собственных значений оператора проекции момента импульса
z
z
L ψ L ψ

Это уравнение мы решим — найдём собственные значения и собственные функ- ции. В сферических координатах оператор проекции момента импульса записыва- ется как
z
L
i
φ

 

Уравнение для собственных функций и собственных значений
z
ψ
i
L ψ
φ




(38.2)
Будем искать решение этого уравнения в форме
αφ
ψ e

Подставим эту функцию в уравнение
(38.2)
:
αφ
αφ
z
i αe
L e


⇒
z
L
i α
 
Отсюда
z
z
L
iL
α
i
 

,
z
iL
φ
ψ e

Функция ψ должна быть однозначной. Для этого необходимо

  
2
ψ φ
π
ψ φ


⇒
z
L
m

,
m — целое;
z
L
m

,
(38.3)
m = 0, ±1, ±2, … Так как проекция вектора не может быть больше его модуля,


2 1
m
l l


⇒ m = 0, ±1, ±2, …, ±l.