Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
 Скачать 7.51 Mb.
|
|
волновое уравнение для E y Возьмём производную от уравнения (31.7) по x, а от уравнения (31.4) — по t. Ана- логично получим 2 2 0 0 2 2 z z H H ε εμ μ x t (31.9) — волновое уравнение для H z Общий вид волнового уравнения (для плоской волны) 2 2 2 2 2 1 f f x t v , где v — скорость распространения бегущей волны. Сравнивая с этой записью урав- нения (31.8) и (31.9) , видим, что 0 0 1 ε μ εμ v — скорость распространения электромагнитных волн ; в вакууме 8 0 0 1 м 3,00 10 с c ε μ Скорость электромагнитных волн в веществе c εμ v 257 Напряжённости электрического и магнитного полей подчиняются одному и тому же уравнению. Это означает, что переменное электромагнитное поле может суще- ствовать только в виде бегущей волны. Общее решение волнового уравнения: 1 2 , y E x t f x t f x t v v , аналогично для H z . Вид функций f 1 и f 2 определяется начальными условиями. Связь E и H в электромагнитной волне: 0 0 y z ε εE μ μH (31.10) Доказательство Решение волнового уравнения (без обратной волны): y E f x t v , z H g x t v Подставим это решение в (31.7) . Для этого найдём производные z H g x , 0 0 y y D E ε ε ε εf t t v . Из (31.7) получим 0 0 0 0 ε ε g ε εf f ε μ εμ v ⇒ 0 0 ε ε g f μ μ ⇒ 0 0 z y ε ε H E μ μ , ч. т. д. прямая волна обратная волна 258 Лекция 32 3.14.2. Монохроматическая волна как решение волнового уравнения Пусть источник волны создаёт возмущение E y (0, t) = E 0y cos(ωt + φ 0 ) (при x = 0). При этих начальных условиях решение волнового уравнения (31.8) и (31.9) будет иметь вид 0 0 0 0 , cos , , cos y y z z x E x t E ω t φ x H x t H ω t φ v v (32.1) — уравнение плоской бегущей монохроматической электромагнитной волны (без обратной волны). «Мгновенная фотография» монохроматической электромаг- нитной волны изображена на РИС . 32.1 Характеристики монохроматической волны E 0y , H 0y — амплитуда; Φ = ωt – kx + φ 0 — фаза; ω k v — волновое число; v — скорость распространения волны; ω — циклическая частота; φ 0 — начальная фаза; 2 ω ν π — частота; 1 2π T ν ω — период; 2 2 π π λ T ω ν k v v v — длина волны. Рис. 32.1. «Мгновенная фотография» монохроматической электромагнитной волны Уравнения (32.1) можно также записать в виде E y O x H z 259 0 0 0 0 , cos , , cos y y z z E x t E ωt kx φ H x t H ωt kx φ Уравнение монохроматической электромагнитной волны при произвольной форме волнового фронта: 0 0 0 0 cos , cos E E ωt kr φ H H ωt kr φ Здесь k — волновой вектор; 0 0 E H , а модули напряжённостей электрического и магнитного полей связаны между собой соотношением 0 0 ε εE μ μH [ср. (31.10) ]. 3.14.3. Энергия электромагнитной волны Плотность потока энергии — энергетическая характеристика волны — энергия, которую волна переносит в единичный промежуток времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны: dW P dtdS ; 2 Вт м P Выделим в пространстве, где распространя- ется электромагнитная волна, малый паралле- лепипед, длина которого равна расстоянию, проходимому волной за малое время dt — vdt, а площадь торца равна dS ( РИС . 32.2 ). Объём параллелепипеда dV dtdS v Энергия, содержащаяся в этом объёме, dW wdV , где w — объёмная плотность энергии электро- магнитного поля; 2 2 0 0 2 2 2 2 y z ε εE μ μH DE BH w С учётом соотношения (31.10) 2 2 0 0 2 0 0 0 2 2 y y y z y y z ε εE ε εE E H w ε εE ε εμ μE H v Тогда y z E H dW dtdS v v , y z y z E H dtdS P E H dtdS ; vdt Рис. 32.2 260 P EH — вектор Умова-Пойнтинга — вектор плотности потока энергии. Вектор Умова- Пойнтинга сонаправлен скорости волны и волновому вектору, т. е. указывает направление переноса энергии. Интенсивность электромагнитной волны — среднее по модулю значение плот- ности потока энергии за время, во много раз превышающее период колебаний: 2 0 0 y z ε ε I P E H E μ μ Для монохроматической волны 2 0 0 0 2 ε ε E I μ μ Интенсивность электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуд напряжённостей электрического и магнитного полей. 3.14.4. Шкала электромагнитных волн Самая грубая классификация электромагнитных волн по диапазону приведена в ТАБЛ . 32.1 . Длины волн указаны в вакууме. Таблица 32.1 Шкала электромагнитных волн Диапазон Длина волны Способ получения Радиоволны > 5∙10 –5 м Излучение диполя, вибратор Оптическое излучение: инфракрасное излучение видимый свет ультрафиолетовое излучение 1 мм ÷ 770 нм (770 ÷ 380) нм (380 ÷ 10) нм Внутриатомные переходы Рентгеновское излучение (10 ÷ 100) нм – (0,01 ÷ 1) нм Взаимодействие заряженных частиц с веществом Гамма-излучение < 0,1 нм Радиоактивные превраще- ния, ядерные реакции, распад частиц и т. п. 3.14.5. Отражение электромагнитной волны от идеального проводника Пусть плоская электромагнитная волна распро- страняется перпендикулярно поверхности раздела диэлектрика и проводника ( РИС . 32.3 ). Введём обозначения — верхние индексы (для дан- ного и СЛЕДУЮЩЕГО разделов): 0 — падающая волна; i — отражённая волна; r — преломлённая волна. По принципу суперпозиции полей напряжённость результирующего электрического поля в диэлек- трике ε, μ x y z Рис. 32.3 261 0 i E E E , 0 i H H H Падающая волна: 0 0 0 0 , cos , , cos y m z m E x t E ωt kx H x t H ωt kx Так как 0 0 0 0 z y ε ε H E μ μ , 0 0 0 0 , cos z m ε ε H x t E ωt kx μ μ Отражённая волна: , cos , , cos ; i i y m i i z m E x t E ωt kx φ H x t H ωt kx φ 0 0 , cos i i z m ε ε H x t E ωt kx φ μ μ Здесь φ — разность фаз падающей и отражённой волн. На границе проводника (при x = 0) 0, 0 y E t . Но 0 0 0, 0, 0, cos cos i i y y y m m E t E t E t E ωt E ωt φ Для того чтобы это равенство выполнялось при любых t, требуется 0 i m m E E , cos cos ωt ωt φ ⇒ ωt ωt φ π , φ π Отражённая волна отличается от падающей по фазе на π; 0 0 cos cos i y m m E E ωt π E ωt Для любого x 0 0 , cos cos i y y y m E x t E E E ωt kx ωt kx Преобразуем это выражение по тригонометрической формуле 1 sin sin cos cos 2 α β α β α β : 0 , 2 sin sin y m E x t E kx ωt (32.2) — уравнение стоячей волны Уравнение (32.2) описывает гармонические колебания, амплитуда которых 0 2 sin m E kx определяется координатой. Перенос колебаний и энергии в простран- стве отсутствует, поэтому эта волна (строго говоря, не являющаяся волной), назы- вается стоячей. На поверхности проводника — при x = 0 стоячая волна (32.2) имеет узел — точку, где амплитуда колебаний равна нулю ( РИС . 32.4 ). Аналогично для напряжённости магнитного поля 262 0 0 0 0 0 0 0 , cos cos 2 cos cos i z z z m m ε ε H x t H H E ωt kx ωt kx μ μ ε ε E kx ωt μ μ (32.3) Это также уравнение стоячей волны, которая при x = 0 имеет пучность — точку с максимальной амплитудой колебаний ( РИС . 32.4 ) Рис. 32.4 Демонстрация: Модель стоячей волны y x x 0 0 узел пучность 263 Лекция 33 3.14.6. Отражение и преломление электромагнитной волны на границе раздела ди- электриков Скорость электромагнитных волн в среде меньше их скорости в вакууме: c n= v — абсолютный показатель преломления среды; n εμ = Для немагнитной среды n ε = Выразим длину волны в среде через длину волны λ 0 в вакууме: 0 2 2 λ π πc λ ω nω n v Относительный показатель преломления сред 1 и 2 ( РИС . 33.1 ) 2 21 1 n n n Пусть электромагнитная волна падает на границу двух сред (относительные элек- трические и магнитные проницаемости ε 1 , μ 1 и ε 2 , μ 2 ) под углом i. Эта волна ча- стично отражается от границы раздела сред под углом iˊ, а частично преломля- ется – проходит через границу раздела под углом r — углом преломления ( РИС . 33.1 ). Все углы отсчитываются от нормали к границе раздела сред. Луч — прямая, сонаправленная волно- вому вектору. Луч перпендикулярен вол- новому фронту. Точка падения — точка пересечения па- дающего луча с поверхностью раздела сред. Плоскость падения — плоскость, проходящая через падающий луч и перпендику- лярная поверхности раздела сред в точке падения луча. По принципу суперпозиции полей напряжённость электрического и магнитного полей в среде 1 0 1 i E E E , 0 1 i H H H ; в среде 2 2 r E E , 2 r H H Условия на границе раздела двух сред (при μ 1 = μ 2 = 1): Рис. 33.1 ε 1 , μ 1 n 1 ε 2 , μ 2 n 2 x y iˊ i r 0 264 0 0 1 2 0 0 , , , i r τ τ τ i r n n n i r τ τ τ i r n n n E E E ε E E ε E H H H H H H (33.1) Законы отражения и преломления 1. Отражённый и преломлённый лучи лежат в плоскости падения. 2. Отражённая и преломлённая волны имеют ту же частоту, что и падающая волна: 0 i r ω ω ω 3. Угол отражения равен углу падения: i i 4. Закон Снеллиуса (закон преломления): 2 21 1 sin sin n i n r n (33.2) Доказательство Уравнения волны для E : 0 0 0 0 cos , cos , cos m i i i i m r r r r m E E ω t k r E E ω t k r E E ω t k r Спроецируем первое из этих уравнений на направление касательной к границе раз- дела сред: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 cos cos cos sin τ τm x y τm ω n ω n E E ω t k x k y E ω t x i y i c c Аналогично для тангенциальной составляющей отражённой волны получим 1 1 cos cos sin i i i i i τ τm ω n ω n E E ω t x i y i c c ; для тангенциальной составляющей преломлённой волны 2 2 cos cos sin r r r r r τ τm ω n ω n E E ω t x r y r c c Так как граничное условие 0 i r τ τ τ E E E должно выполняться для любых t и y при x = 0, 0 i r ω ω ω ω , i i , 1 2 sin sin n i n r , |