Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
 Скачать 7.51 Mb.
|
|
3.12.5. Силовая характеристика электромагнитного поля как 4-тензор Тензор электромагнитного поля: 0 0 0 0 x y z x z y y z x z y x E E E E cB cB E cB cB E cB cB 3.12.6. Обзор: Постоянное электрическое и магнитное поле В ТАБЛИЦЕ 29.2 используются те же обозначения, что при изучении соответствую- щих тем в настоящей главе. Таблица 29.2 Величина/закон Электрическое поле Магнитное поле Характеристика источника Электрический заряд q Сила тока I Плотность характеристики источника Объёмная плотность заряда dq ρ dV Плотность тока dI j n dS Основная силовая характеристика Напряжённость электрического поля 1 0 F E q Магнитная индукция 2 0 F q B v , 2max 0 F B q v Принцип суперпозиции i E E , E dE i B B , B dB Силовая характеристика поля точечного источника в вакууме Напряжённость поля точеч- ного заряда (закон Кулона) 3 0 4 qr E πε r Закон Био-Савара-Лапласа 0 3 , 4 dl r μ dB I π r 240 Таблица 29.2 (продолжение) Величина/закон Электрическое поле Магнитное поле Теорема Остроградского- Гаусса, теорема о циркуляции Теорема о циркуляции E : 0 L Edl , rot 0 E Теорема Остроградского- Гаусса для B : 0 S BdS , div 0 B Теорема Остроградского- Гаусса для E : 0 S S q EdS ε , 0 div ρ E ε Теорема о циркуляции B : 0 L L Bdl μ I , 0 rot B μ j Энергетическая характеристика Потенциал φ: 12 12 0 Δ A φ q Векторный потенциал A : rot A B , div 0 A Магнитный поток 74 Φ S BdS Связь между энергетической и силовой характеристи- ками E φ , 2 12 1 Δφ Edl 2 0 ρ φ ε 2 0 A μ j Момент Дипольный момент e p ql Магнитный момент m p ISn Момент силы , e M p E , m M p B Энергия Энергия диполя e W p E Энергия контура с током m W p B Силовая характеристика поля в веществе Поляризованность e p P V Намагниченность m p J V Вспомогательная силовая характеристика Электрическое смещение 0 D ε E P Напряжённость магнитного поля 0 B H J μ 74 Эта величина не является энергетической характеристикой магнитного поля. Она приведена в этой ячейке ТАБЛ . 29.2 , так как занимает в некоторых формулах, относящимся к проводникам с то- ком, место, аналогичное тому, что занимает потенциал (разность потенциалов) или заряд в форму- лах, описывающих заряженные проводники. 241 Таблица 29.2 (продолжение) Величина/закон Электрическое поле Магнитное поле Теорема Остроградского- Гаусса, теорема о циркуляции поля в веществе Теорема Остроградского- Гаусса для P : S S PdS q , div P ρ Теорема о циркуляции J : L L Jdl i , микро rot J j Теорема Остроградского- Гаусса для D : S S DdS q , div D ρ Теорема о циркуляции H : L L Hdl I , макро rot H j Характеристика вещества Диэлектрическая восприимчивость æ Магнитная восприимчивость χ Относительная диэлектрическая проницаемость 1 ε æ Относительная магнитная проницаемость 1 μ χ Связь силовых характеристик для изотропной среды 0 P ε æE 0 D ε εE J χH 0 B μ μH Условия на границе раздела двух сред 2 1 n n D D 2 1 1 2 n n E ε E ε 2 1 τ τ E E 2 2 1 1 τ τ D ε D ε 2 1 n n B B 2 1 1 2 n n H μ H μ 2 1 τ τ H H 2 2 1 1 τ τ B μ B μ Работа поля Работа электростатического поля по перемещению заряда 12 2 1 A q φ φ Работа магнитного поля по пе- ремещению проводника с то- ком 12 2 1 Φ Φ A I Характеристика проводника Ёмкость q C φ Индуктивность Φ L I Характеристика двух проводников Взаимная ёмкость 12 2 1 q C φ φ Взаимная индуктивность 12 12 1 Φ M I Энергия проводника Энергия заряженного конденсатора 2 2 2 2 2 CU QU Q W C Энергия проводника с током 2 2 Φ Φ 2 2 2 LI I W L 242 Таблица 29.2 (продолжение) Величина/закон Электрическое поле Магнитное поле Объёмная плотность энергии поля 2 DE w 2 BH w Объёмная плотность энергии поля в изотропной среде 2 0 2 ε εE w 2 0 2 B w μ μ 243 Лекция 30 3.13. Электромагнитные колебания В электрической цепи, содержащей конденсатор и катушку индуктивности (или проводники, обладающие отличными от нуля ёмкостью и индуктивностью) — ко- лебательном контуре , — могут возникать электромагнитные колебания. Если сообщить конденсатору заряд и замкнуть цепь, то конденсатор будет разряжаться через катушку. По катушке будет идти переменный ток, который по закону элек- тромагнитной индукции будет создавать в катушке индуцированное электриче- ское поле, препятствующее изменению тока. Конденсатор будет разряжаться и пе- резаряжаться, а ток в цепи расти, убывать и менять направление: заряд конденса- тора и ток в цепи будут изменяться периодически, т. е. будут происходить элек- тромагнитные колебания 3.13.1. Свободные незатухающие колебания (R = 0) Схема электрической цепи, в которой происходят свободные незатухающие элек- тромагнитные колебания, представлена на РИС . 30.1 . Так как сопротивление цепи равно нулю, ток будет изменяться по модулю и направлению, а конденсатор пере- заряжаться неограниченно долго — возникнут свободные незатухающие электро- магнитные колебания. Обобщённый закон Ома для контура 12 ( 1 и 2 — обкладки конден- сатора) 1 2 0 s φ φ E , (30.1) E s — ЭДС самоиндукции — единственная ЭДС в этой цепи. Раз- ность потенциалов между обкладками конденсатора 1 2 С q φ φ U C ; (30.2) по закону электромагнитной индукции s dI L dt E (30.3) По определению силы тока dq I dt (здесь знак «–» обусловлен тем, что при раз- рядке конденсатора его заряд уменьшается). Подставив это выражение, а также (30.2) и (30.3) в уравнение (30.1) : 2 2 0 q d q L C dt , 2 2 0 d q q dt LC . Это дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний (см. 1.14.2 ). Обозначив 2 0 1 ω LC , запишем его в стандартном виде (15.1) 2 2 0 2 0 d q ω q dt Общее решение этого уравнения C L 1 2 I Рис. 30.1 244 0 cos q t A ω t φ , (30.4) A и φ — постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий. Собственная циклическая частота колебательного контура 0 1 ω LC ; период свободных незатухающих электромагнитных колебаний 0 0 2 2 π T π LC ω Зависимость тока от времени 0 0 sin dq I t Aω ω t φ dt (30.5) Пусть в начальный момент времени заряд конденсатора равен q 0 , а тока в цепи нет. Подставим начальные условия в общее решение (30.4) и формулу (30.5) : 0 0 , 0 0 q q I ⇒ 0 0 cos , 0 sin q A φ Aω φ ⇒ 0 , 0; q A φ 0 0 0 0 cos , sin q t q ω t I t qω ω t Напряжение на конденсаторе 0 0 cos С q t q U t ω t C C Графики зависимостей q(t) и I(t) при указанных начальных условиях показаны на РИС . 30.2 А , Б . Видно, что ток опережает заряд конденсатора (и напряжение на кон- денсаторе) по фазе на 2 π Энергия электромагнитного поля в колебательном контуре ( энергия колебатель- ного контура ) складывается из энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки: 2 2 2 2 const 2 2 2 2 m m q LI q LI W C C , (30.6) где q m , I m — соответственно амплитуды заряда конденсатора и тока в цепи. Сту- денты доказывают утверждение (30.6) самостоятельно 245 а б Рис. 30.2 3.13.2. Свободные затухающие колебания Пусть теперь электрическое сопротивление цепи отлично от нуля (см. схему на РИС . 30.3 , содержащую элемент R). Обобщённый закон Ома для участка цепи 12 : 1 2 s φ φ IR E (30.7) Подставим в это уравнение выражения (30.2) и (30.3) : q dI L IR C dt Учитывая, что dq I dt , запишем это уравнение как 2 2 0 d q R dq q dt L dt LC ; обозначим 2 0 1 ω LC , 2 R β L , где β — коэффициент затухания; получим уравнение (16.1) 0 q t q 0 –q 0 q 0 ω 0 0 I –q 0 ω 0 t C L 1 2 I R Рис. 30.3 246 2 2 0 2 2 0 d q dq β ω q dt dt (30.8) — дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (см. 1.14.3 ). Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэф- фициентами. Его характеристическое уравнение 2 2 0 2 0 λ βλ ω (30.9) Корни этого уравнения 2 2 1,2 0 λ β β ω Эти корни могут быть как действительными, так и комплексными. Общее решение дифференциального уравнения (30.8) 1 2 1 2 λ t λ t q t A e A e , A 1 и A 2 — постоянные интегрирования. 1. Сильное затухание (β ≥ ω 0 ) Корни характеристического уравнения (30.9) — действительные. Общее решение дифференци- ального уравнения (30.8) 2 2 2 2 0 0 1 2 β β ω t β β ω t q t A e A e — апериодическое решение (разрядка конденса- тора). График этого решения представлен на РИС . 30.4 (q 0 — заряд конденсатора при t = 0). 2. Слабое затухание (β < ω 0 ) Корни характеристического уравнения (30.9) — комплексные. Общее решение дифференциального уравнения (30.8) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 2 1 2 β i ω β t β i ω β t i ω β t i ω β t βt q t A e A e e A e A e Обозначим 2 2 0 ω ω β — циклическая частота свободных затухающих колебаний . Общее решение удобно представить в виде 0 cos βt q t A e ωt φ , (30.10) где A 0 и φ — постоянные интегрирования, значения которых определяются из начальных условий. Период затухающих колебаний (условный период) 2 2 0 2 2 π π T ω ω β Амплитуда затухающих колебаний 0 βt A t A e ; q 0 0 q t Рис. 30.4 247 затухающие колебания можно рассматривать как гармонические колебания с пе- ременной амплитудой: cos q t A ωt φ График функции (30.10) при φ = 0 показан на РИС . 30.5 Рис. 30.5 Зависимость тока в цепи от времени 2 2 0 0 2 2 0 2 2 2 2 cos sin cos sin sin ; βt βt βt dq I t A e β ωt φ ω ωt φ A e β ω dt β ω ωt φ ωt φ A e β ω ωt φ θ β ω β ω tg β θ ω Ток опережает заряд (напряжение на конденсаторе) по фазе на 2 π θ . Введём ещё некоторые характеристики затухающих колебаний. Логарифмический декремент затухания ln A t δ A t T Выразим логарифмический декремент через другие характеристики колебаний: 0 0 2 ln βt βt βT A e πβ δ βT A e e ω Время релаксации — время, за которое амплитуда затухающих колебаний умень- шается в e раз: T t q 0 sin θ cos θ |