Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020

• Название: Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 7.51 Mb.
• Имя файла: conspectus_01.pdf
• Тип: Конспект; #794791
• страница: 29 из 44

Число колебаний за время релаксации
, т. е. число колебаний, за которое их ам- плитуда уменьшается в e раз,
1 1
e
τ
N
T
βT δ
 
 .
Отсюда ясен физический смысл логарифмического декремента затухания.
Добротность
колебательного контура
2 2
e
π
π
πω
ω
Q
πN
δ
βT
πβ
β
 



Эта величина пропорциональна числу колебаний, за которое их амплитуда умень- шается в e раз.
Энергия затухающих колебаний
В колебательной системе с затуханием происходит диссипация энергии. Так как электрическое сопротивление цепи отлично от нуля, энергия электромагнитного поля переходит во внутреннюю энергию проводников.
Энергия колебаний пропорциональна квадратам амплитуд всех колеблющихся ве- личин:
2 2
2 2




βt
m
m
m
W q
I
U
e

Относительное уменьшение энергии за период
 


 
2 2
Δ
1 1
βT
δ
W
W t
W t T
e
e
W
W t





 
 
При малом затухании (δ << 1)
Δ
2
W
δ
W

. Тогда
2 2
Δ
Δ
π
πW
Q
W
W
W


Чем выше добротность колебательной системы, тем медленнее убывает энергия колебаний.
3.13.3. Вынужденные колебания
Теперь включим в колебательный контур источник с перемен- ной ЭДС (
РИС
. 30.6
), изменяющейся по гармоническому закону:
0
cosΩ
U
t

E
— вынуждающая ЭДС.
Обобщённый закон ома для участка
12
:
1 2
s
φ
φ
IR

  
E E
.(30.11)
Подставив сюда
(30.2)
и
(30.3)
, получим
C
L
1 2
R

E
Рис. 30.6

249



0
cosΩ
q
dI
U
t L
IR
C
dt
; с учётом
 
dq
I
dt
2 0
2
cosΩ
d q
dq q
L
R
U
t
dt
dt C

 
,
2 0
2
cosΩ
U
d q R dq
q
t
dt
L dt LC
L



Обозначим, как и
ПРЕЖДЕ
,
2 0
1
ω
LC

,
2
R
β
L

, а также
0 0
U
F
L
 . Уравнение
(30.11)
примет вид
2 2
0 0
2 2
cosΩ
d q
dq
β
ω q F
t
dt
dt



(30.12)
—
дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний
. Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными ко- эффициентами.
Далее рассматриваем случай
СЛАБОГО ЗАТУХАНИЯ
Общее решение дифференциального уравнения
(30.12)
:
 




0 0
0
cos cos Ω
βt
q t
A e
ωt φ
q
t φ





(30.13)
Общее решение однородного дифференциального уравнения [
(30.8)
или
(30.12)
без правой части] быстро затухает, далее мы его учитывать не будем. Найдём ко- эффициенты q
0
и φ
0
в частном решении неоднородного уравнения [и убедимся в том, что это решение действительно имеет вид второго слагаемого в правой части выражения
(30.13)
].
Подставим в
(30.12)
:
 


0 0
cos Ω
q t
q
t φ


,
 


 


0 0
Ω sin Ω
dq
I t
q
t φ
dt
,


2 2
0 0
2
Ω
cos Ω
d q
q
t φ
dt
 

; получим






2 2
0 0
0 0
0 0 0
0
Ω
cos Ω
2 Ω sin Ω
cos Ω
cosΩ
q
t φ
β q
t φ
ω q
t φ
F
t







Преобразуем левую часть этого равенства: общее решение ОДУ частное решение НДУ

250




















2 2
2 2
2 2
2 0
0 0
0 0
0 2
2 0
0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
0 0
2 2
2 2
2 0
0 0
Ω cos Ω
2 Ωsin Ω
Ω
4 Ω
Ω
2 Ω
cos Ω
sin Ω
Ω
4 Ω
Ω
4 Ω
Ω
4 Ω cos Ω
,
q
ω
t φ
β
t φ
q
ω
β
ω
β
t φ
t φ
ω
β
ω
β
q
ω
β
t φ
θ





































2 2
0 2 Ω
tg
Ω
β
θ
ω


Итак,




2 2
2 2
2 0
0 0
0
Ω
4 Ω cos Ω
cosΩ
q
ω
β
t φ
θ
F
t





Это равенство должно выполняться при любых t, поэтому




2 2
2 2
2 0
0 0
0
Ω
4 Ω
,
cos Ω
cosΩ .
q
ω
β
F
t φ
θ
t











Отсюда получим:
0
φ
θ
 
— колебания заряда опережают вынуждающую ЭДС по фазе на θ;


0 0
2 2
2 2
2 0
Ω
4 Ω
F
q
ω
β



— амплитуда заряда конденсатора.
Запишем окончательные выражения зависимостей заряда конденсатора и силы тока в цепи от времени:
 




0 2
2 2
2 2
0
cos Ω
Ω
4 Ω
F
q t
t θ
ω
β




,
 








0 2
2 2
2 2
0
Ω
sin Ω
Ω
4 Ω
F
I t
t θ
ω
β
Так как








 

 








sin
Ω
cos
Ω
cos Ω
2 2
π
π
θ
t
θ
t
t θ
, ток опережает заряд конден- сатора по фазе на
2
π
Обозначим
0 0
U
Z
I

—
полное сопротивление (импеданс)
цепи. (Эта величина вводится по аналогии с законом Ома для участка цепи U = IR: если сопротивление R проводника — это ко- эффициент пропорциональности между током и напряжением на этом участке, то cos θ
sin θ
I
0
– амплитуда силы тока

251 импеданс Z — это коэффициент пропорциональности между амплитудным значе- нием тока и амплитудным значением напряжения на клеммах участка цепи, т. е. вынуждающей ЭДС.)
Выразим полное сопротивление цепи, а также сдвиг фаз между зарядом конденса- тора и вынуждающей ЭДС через параметры R, L, C:


2 2
2 2
2 2
2 0
0 2
2 0
2 0
0 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
Ω
4 Ω
1
Ω
4
Ω
Ω
Ω
4 1
Ω
1
Ω
Ω
Ω
,
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
U
ω
β
U L
R
Z
F
U
LC
L
L
L R
L
L
R
R
L
LC
L
LC
C








































2 2
2 Ω
tg
1 1
Ω
2
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
R
R
R
θ
L
L
L
L
LC
C
LC




 
 
















;
2 2
1
Ω
Ω
Z
R
L
C









,


tg
1
Ω
Ω
R
θ
L
C
(30.14)

252
Лекция 31
3.13.3. Вынужденные колебания (продолжение)
Амплитуды силы тока в цепи и заряда конденсатора
0 0
2 2
1
Ω
Ω
U
I
R
L
C









,
0 0
0 2
2
Ω
1
Ω
Ω
Ω
I
U
q
R
L
C










Обобщим сказанное в этом разделе и проанализируем, как изменяется ток и напря- жения на разных элементах цепи.
1.
Заряд конденсатора:
 


0
cos Ω
q t
q
t θ

 .
2.
Сила тока:
 













0 0
Ωsin Ω
Ωcos
Ω
2
π
I t
q
t θ
q
t θ
3.
Напряжение на резисторе:
 










0
Ω cos
Ω
2
R
π
U t
IR q R
t θ
4.
Напряжение на конденсаторе:
 


0
cos Ω
C
q
q
U t
t θ
C
C
 
 .
Амплитуда напряжения на конденсаторе
0 0
C
q
U
C

Отношение амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде тока
0 0
0 0
0 0
1
Ω Ω
C
C
U
q
q
X
I
CI
Cq
C




,
1
Ω
C
X
C

—
ёмкостное сопротивление
5.
Напряжение на катушке индуктивности:
 


2 0
Ω cos Ω
L
s
dI
U t
L
q
L
t θ
dt
  
 

E
Амплитуда напряжения на катушке
2 0
0
Ω
L
U
q
L

Отношение амплитуды напряжения на катушке к амплитуде тока
2 0
0 0
0
Ω
Ω
Ω
L
L
U
q
L
X
L
I
q



,
Ω
L
X
L

—
индуктивное сопротивление

253
Полное сопротивление цепи
(30.14)
можно выразить через ёмкостное и индуктив- ное сопротивление:


2 2
C
L
Z
R
X
X



Демонстрация:
Роль катушки индуктивности в цепи переменного тока
Найдём, при какой циклической частоте вынуждающей ЭДС амплитуды силы тока в цепи и заряда конденсатора будут максимальны. Условие экстремума
0 0
Ω
dI
d
 ⇒
0 2
3 2 2
2 1
1 1
2
Ω
2
Ω
Ω
0 1
Ω
Ω
U
L
L
C
C
R
L
C

 







 



 

 
















,
1
Ω
0
Ω
L
C

 ⇒
2 1
Ω
LC

, рез
0 1
Ω Ω
I
ω
LC



;
0 0
Ω
dq
d
 ⇒


2 2
0 3 2 2
2 1
1 2Ω
2
Ω
2Ω
2 0
1
Ω
Ω
U
R
L
L
C
R
L
C





















 
















,
2 2
1 2
Ω
0
R
L L
C









⇒
2 2
1
Ω
2
R
L
C
L


,
2 2
2
рез
0 2
1
Ω Ω
2 2
q
R
ω
β
LC
L





Графики зависимостей I
0
(Ω) (при разных сопротивлениях) и q
0
(Ω) представлены на
РИС
. 31.1
А
,
Б
Мощность переменного тока
по закону Джоуля-Ленца
     




























 


 



















0 0
0 0 0 0 0 0
cosΩ
sin Ω
cosΩ cos
Ω
2 1
cos Ω
Ω
cos 2Ω
sin sin 2Ω
2 2
2 2
π
N t
U t I t
U
t I
t θ
U I
t
t θ
U I
π
π
U I
t
t θ
t
θ
θ
t θ
(31.1)
Здесь мы воспользовались формулой тригонометрии




1 1
cos cos cos cos
2 2
α
β
α β
α β




Усредним выражение
(31.1)
по времени:
0 0 0 0
sin cos
2 2
U I
U I
N
θ
φ


, где cos φ —
коэффициент мощности

254
а
б
Рис. 31.1. Резонансные кривые
3.14. Электромагнитные волны
3.14.1. Вывод волнового уравнения для электромагнитных волн
Ранее мы говорили (см.
3.12.2
), что переменное электрическое поле порождает пе- ременное магнитное и наоборот и это приводит к возникновению электромагнит- ной волны. Выведем волновое уравнение из I и II уравнений Максвелла в инте- гральной форме
L
S
B
Edl
dS
t

 



,
L
S
D
Hdl
dS
t





Ω
0
I
0
ω
0
R = 0
R
1
R
2
> R
1 0
q
0
Ω
CU
0
ω ω
0

255
Рис. 31.2
Пусть в пространстве (однородной, изотропной, неферромагнитной среде с отно- сительной электрической и магнитной проницаемостями ε, μ) существует пере- менное электрическое поле. Свободные заряды и макротоки отсутствуют. Напря- жённость электрического поля направлена вдоль оси y и изменяется только вдоль оси x (
РИС
. 31.2
):

y
E
E
При этом магнитная индукция будет направлена вдоль оси z:
z
B B

Мысленно выделим в пространстве прямоугольные контуры
1234
в плоскости xy и
1456
в плоскости xz (
РИС
. 31.2
), причём ширина контуров Δx << x. Циркуляция
E
по контуру
1234
 


 


1234 12 34 12 12
Δ
Δ
Δ
y
y
y
y
y
L
Edl E x l
E x
x l
E x
E x
x l
E l








 



;
(31.2) поток
B
t


сквозь поверхность, натянутую на этот контур, взятый с обратным зна- ком,
1234 1234 1234 1234 12
cos
Δ
z
z
z
S
S
S
B
B
B
dS
BdS
B dS
π
S
l
x
t
t
t
t
t






 
 










(31.3)
Подставим
(31.2)
и
(31.3)
в I уравнение Максвелла и поделим на Δx:
12 12
Δ
Δ
y
z
E
B
l
l
x
t




; при Δx → 0
y
z
E
B
x
t






(31.4)
Циркуляция напряжённости магнитного поля по контуру
1456


 


 
1456 45 61 45 45
Δ
Δ
Δ
z
z
z
z
z
L
Hdl H x
x l
H x l
H x
x
H x l
H l












;
(31.5)
x
y
z
O
,
,
x
x + Δx
Δx
1
6
5
4
3
2
⊗

256 ток смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур,
1456 1456 1456 1456 45
Δ
y
y
y
S
S
S
D
D
D
dS
DdS
D dS
S
l
x
t
t
t
t
t







 
 








(31.6)
Подставим
(31.5)
и
(31.6)
во II уравнение Максвелла и поделим на Δx
45 45
Δ
Δ
y
z
D
H
l
l
x
t

 

; при Δt → 0
y
z
D
H
x
t


 


(31.7)
Никаких других соотношений между
E
и
B
,
D
и
H
быть не может.
Материальные уравнения
0
D ε εE

,
0
B μ μH

Далее в этом параграфе все формулы будем записывать через
E
и
H
Возьмём производную от уравнения
(31.4)
по x, а от уравнения
(31.7)
— по t:




2 2
0 2
2 2
0 2
y
z
y
z
E
μ μH
x
x t
ε εE
H
t x
t







 





 

 


⇒
2 2
0 0
2 2
y
y
E
E
ε εμ μ
x
t





(31.8)
—