Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020

• Название: Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 7.51 Mb.
• Имя файла: conspectus_01.pdf
• Тип: Конспект; #794791
• страница: 25 из 44

Демонстрации:
1) Опыты Фарадея
2) Правило Ленца
3) Токи Фуко
Вихревые токи (токи Фуко)
— токи, текущие в сплошном металлическом про- воднике под действием переменного магнитного поля. Переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, которое является причиной возник- новения токов. Эти токи взаимодействуют с магнитным полем по закону Ампера и вызывают нагревание проводника по закону Джоуля-Ленца.
Явление электромагнитной индукции имеет огромное прикладное значение.
3.9.2. Самоиндукция
Рассмотрим замкнутый проводник (проводящий контур), по которому идёт ток, со- здающий магнитное поле — собственное магнитное поле проводника. Если этот ток — переменный, то магнитный поток сквозь поверхность, натянутую на контур с током (
собственный магнитный поток
), будет изменяться и возникнет инду- цированное электрическое поле.
68
Строго говоря, здесь и выше в данном подразделе надо писать v
x
вместо v; мы этого не делаем, чтобы не усложнять запись, так как v
x
= v > 0.

213
Самоиндукция
— частный случай явления электромагнитной индукции — воз- никновение электрического поля в замкнутой цепи в результате изменения силы тока в этой цепи.
Собственный магнитный поток
Φ
s
s
S
B dS


, где
s
B
— индукция собственного магнитного поля проводника. Так как B
s

I (току в проводнике), Φ
s
I.
Потокосцепление
— суммарный собственный магнитный поток проводника, име- ющего более одного витка:
Ψ
Φ
si


Закон Фарадея-Максвелла в случае самоиндукции запишется как
Ψ
s
d
dt
 
E
,
(26.7)
E
s
—
ЭДС самоиндукции
Индуктивность
— характеристика проводника, равная отношению собственного магнитного потока (потокосцепления) к току в проводнике:
Ψ
L
I

;
(26.8)
[L] = Гн (генри).
Индуктивность зависит от формы и размеров проводника (а также магнитных свойств среды) и не зависит от силы тока, магнитной индукции и других характе- ристик поля и тока (в случае, если нет ферромагнитного сердечника; см.
РАЗДЕЛ
3.11.9
).
Из определения индуктивности
(26.8)
следует
Ψ LI

Подставим это выражение в закон Фарадея-Максвелла
(26.7)
:
 
s
d LI
dL
dI
dL dI
dI
dI
dL
I
L
I
L
I
L
dt
dt
dt
dI dt
dt
dt
dI




 
 

 

 









E
При L = const (проводник не деформируется и нет ферромагнетиков)
s
dI
L
dt
 
E
При расчёте индуктивности нужно мысленно пустить по проводнику ток и найти собственный магнитный поток (потокосцепление) проводника.
П
РИМЕРЫ
1) Расчёт индуктивности длинного соленоида
Имеется соленоид длиной l с поперечным сечением S, имеющий плотность намотки
n (
РИС
. 26.5
). Длина соленоида много больше его поперечных размеров. Найти ин- дуктивность соленоида.

214
Пустим по соленоиду ток I. Магнитное поле внутри соленоида однородно — так как соленоид длинный, краевыми эффектами пренебрегаем. Направление магнитной индукции показано на
РИС
. 26.5
, её мо- дуль
0 0
N
B μ nI μ
I
l


(см.
ПРИМЕР
2
В РАЗДЕЛЕ
3.7.2
),
N
n
l

— плотность намотки соленоида.
Магнитный поток сквозь один виток соленоида



0
Φ
s
μ NIS
BSn BS
l
; потокосцепление
2 0
Ψ
Φ
μ N S
N
I
l


Индуктивность соленоида
2 0
Ψ μ N S
L
I
l


Эта величина зависит только от размеров и числа витков соленоида, как и следо- вало ожидать.
2) Расчёт индуктивности тонкого тороида
Найти индуктивность тонкого тороида радиуса R, сечением S, имеющего N витков (
РИС
. 26.6
).
Пустим по тороиду ток I. Задача о нахождении ин- дукции магнитного поля тороида была рассмотрена в
РАЗДЕЛЕ
3.7.2,
ПРИМЕР
3
. Модуль магнитной индук- ции
0 2
μ NI
B
πR

, направление
B
показано на
РИС
. 26.6
Магнитный поток сквозь один виток тороида



0
Φ
2
s
μ NIS
BSn BS
πR
; потокосцепление


2 0
Ψ
Φ
2
s
μ N S
N
I
πR
Индуктивность тонкого тороида
2 2
0 0
Ψ
2
μ N S μ N S
L
I
πR
l



, где l = 2πR — длина тороида.
S
I
⊙
⊙
⊙
⊙
⊗
⊗
⊗
⊗
l
Рис. 26.5
O
R
⊗
⊙
⊗
⊙
⊗
⊙
⊗
⊙
I
Рис. 26.6

215
Демонстрация:
Экстра-ток размыкания
П
РИМЕР
Экстра-ток размыкания
Катушка индуктивностью L и сопротивлением R подключена к источнику постоян- ного тока параллельно с лампой накаливания, сопротивление которой равно R′
(схема на
РИС
. 26.7
). В начальный момент времени ключ K размыкают и катушка вместе с лампой отключаются от источника. Найти зависимость тока в цепи от вре- мени.
После размыкания ключа изменяющийся ток в катушке приводит к возникновению электрического поля, энергетическая характе- ристика которого — ЭДС самоиндукции
s
dI
L
dt
 
E
. Это единствен- ная ЭДС в цепи после размыкания ключа.
Применим обобщённый закон Ома:


s
I R R

E
⇒


dI
I R R
L
dt


 
Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении и проинтегрируем:
dI
R R
dt
I
L


 
,
0 0
I
t
I
dI
R R
dt
I
L


 


⇒
0
ln
I
R R
t
I
L


 
,
 
0
R R
t
L
I t
I e




(26.9)
Здесь
0
I
R
E — ток в катушке до размыкания ключа (внутреннее сопротивление источ- ника считаем пренебрежимо малым по срав- нению с сопротивлением катушки). График функции
(26.9)
представлен на
РИС
. 26.8
В этом примере мы рассмотрели пример ре-
лаксационного процесса, т. е. процесса при- ближения какой-либо физической величины к её равновесному значению — в данном слу- чае при t → ∞ I → 0. Характерный параметр этого процесса —
время релаксации
— время, за которое сила тока в цепи умень- шится в e раз:
L
τ
R R



Теперь разберёмся, почему лампа сразу после размыкания ключа ярко вспыхивает, как мы видели в демонстрационном эксперименте. Сравним ток в лампе до размы- кания ключа
Рис. 26.7
E
K
I
R′
⊗
I
0
R, L
t
I
I
0 0
Рис. 26.8

216 0
I
R
 

E с током I после размыкания:
0
R R
t
R R
L
t
L
I
e
R
R
e
I
R
R











E
E
При малых t (сразу после размыкания ключа)
1
R R
t
L
e



 и, если R′ >> R (а сопротив- ление лампы накаливания сравнительно велико), то
0
I
I и мощность лампы резко увеличивается, а, значит, лампа ярко вспыхивает.
3.9.3. Взаимная индукция
Пусть имеются два замкнутых проводящих контура
1
и
2
, расположенные достаточно близко друг к другу
(
РИС
. 26.9
). По контуру
1
идёт ток I
1
, так что контур
2
находится в магнитном поле контура
1
. Поток индукции магнитного поля контура
1
сквозь поверхность, натяну- тую на контур
2
, Φ
12
I
1
, так как B
1
I
1
. Если ток I
1
пере- менный, то в проводнике
2
возникает переменное элек- трическое поле и ток I
2
. В свою очередь, контур
2
создаёт магнитное поле, пронизывающее контур
1
; соответ- ственно, магнитный поток Φ
21
I
2
. Таким образом два проводника влияют друг на друга.
Взаимная индукция
— частный случай явления электромагнитной индукции — возникновение электрического поля в проводнике под действием переменного тока в другом проводнике, близко расположенным к данному проводнику.
Магнитный поток сквозь поверхность, натянутую на проводник
2
, создаваемый проводником
1
,
12 12 1
Φ
M I

;
12 12 1
Φ
M
I

—
коэффициент взаимной индукции (взаимная индуктивность)
— характери- стика взаимного влияния проводников. Коэффициент взаимной индукции зависит от формы, размера проводников, их взаимного расположения, магнитных свойств среды. Возможно M
12
< 0;
[M] = Гн.
П
ОЗДНЕЕ
мы докажем, что в отсутствие ферромагнетиков коэффициенты взаимной индукции равны:
12 21
M
M

—
теорема взаимности
Закон Фарадея-Максвелла для случая взаимной индукции:
1 12 12
dI
M
dt
 
E
,
2 21 21
dI
M
dt
 
E
Демонстрация:
Взаимная индукция
I
1
I
2
2
1
Рис. 26.9

217
П
РИМЕР
Расчёт взаимной индуктивности двух длинных соленоидов, надетых друг на друга
На катушку длиной l и сечением S навито две обмотки с числом витков N
1
и N
2
(
РИС
. 26.10
А
), соединённые последовательно так, что ток по ним будет течь в одну сторону (схема на
РИС
. 26.10
Б
). Найти взаимную индуктивность обмоток и индук- тивность системы.
а
б
Рис. 26.10
Пустим по обмоткам ток I. Магнитные поля, создаваемые обеими обмотками, одно- родны, так как соленоид длинный, и направлены в одну сторону (
РИС
. 26.10
А
).
Модуль индукции магнитного поля обмотки
1
(см.
ПРИМЕР
2
В РАЗДЕЛЕ
3.7.2
)
0 1
1
μ N I
B
l

Поток магнитного поля, создаваемого обмоткой
1
, сквозь поверхность, натянутую на виток обмотки
2
,
0 1
12 1
2 1
Φ
μ N SI
B Sn
B S
l



, потокосцепление
0 1
2 12 2
12
Ψ
Φ
μ N N SI
N
l


Аналогично потокосцепление обмотки
2
, обусловленное током в обмотке
1
,
0 1
2 21
Ψ
μ N N SI
l

Коэффициенты взаимной индукции
0 1
2 12 12 21
Ψ
μ N N S
M
M
I
l



Получилось M
12
= M
21
; таким образом мы доказали теорему взаимности для част- ного случая.
Потокосцепление всей системы
11 22 12 21
Ψ Ψ
Ψ
Ψ
Ψ




, где Ψ
11
, Ψ
22
— собственные магнитные потоки обмоток
1
и
2
соответственно;
l
S
I
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
,
,
⊙
⊙
⊙
⊙
⊙
⊙
⊙
⊙
⊙
⊙
1
2
I
L
1
I
L
2

218 2
0 1 11
Ψ
μ N S
I
l

,
2 0 2 22
Ψ
μ N S
I
l

(см.
ПРИМЕР
1
РАЗДЕЛА
3.9.2
). Получим


2 2
2 0 1 0
2 0 1 2
0 1
2
Ψ
2
μ N S
μ N S
μ N N S
μ S
I
I
I
N
N
I
l
l
l
l





Индуктивность системы


2 0
1 2
Ψ μ S
L
N
N
I
l



В случае, когда токи в обмотках текут в разные стороны,
0 1
2 12 21
μ N N S
M
M
l

 
,


2 0
1 2
Ψ
μ S
N
N
I
l


,


2 0
1 2
μ S
L
N
N
l



219
Лекция 27
3.10. Энергия магнитного поля
3.10.1. Энергия проводника с током
Пусть проводник индуктивностью L включён в электрическую цепь. Найдём энер- гию проводника при токе I, т. е. работу индуцированного электрического поля (ЭДС самоиндукции E
s
) при возрастании тока в проводнике от 0 до I с обратным знаком.
Приращение энергии при перемещении по проводнику малого заряда dq
*
s
s
dW δA
δA
dq

 
 E
, здесь δA
*
— работа внешних сил, δA
s
— работа электрического поля. Так как dq = Idt, а
s
dI
L
dt
 
E
,
dI
dW L
Idt LIdI
dt


;
2 0
2
I
LI
W
LIdI



Энергия магнитного поля
проводника индуктивностью L при токе I
2 2
Φ
Φ
2 2
2
s
s
I
LI
W
L



,
(27.1) где Φ
s
— собственный магнитный поток (потокосцепление) проводника.
3.10.2. Энергия взаимодействия проводников с токами
Пусть имеются два проводника с токами I
1
и I
2
, расположенные близко друг к другу
(
РИС
. 26.9
). Энергия магнитного поля этой системы
1 2
12
W W W W



, где W
12
—
взаимная энергия
Энергия магнитного поля равна работе источников тока, которая необходима для того, чтобы это поле создать, т. е. увеличить токи в проводниках от 0 до I
1
и I
2
соот- ветственно. Сначала доведём ток в контуре
1
от 0 до I
1
(при разомкнутом контуре
2
); работа источника в контуре
1
по
(27.1)
2
*
1 1 1
1 2
L I
A
W


, где L
1
— индуктивность проводника
1
. Затем замкнём контур
2
и увеличим ток в нём от 0 до I
2
. Работа источника в контуре
2
2
*
2 2 2
2 2
L I
A
W


, здесь L
2
— индуктивность проводника
2
. Но при этом благодаря взаимной индук- ции в контуре
1
будет возникать электрическое поле (ЭДС взаимной индукции
2 21 21
dI
M
dt
 
E
). Чтобы скомпенсировать его влияние, источник в контуре
1
должен совершать дополнительную работу по перемещению малого заряда dq
1
= I
1
dt

220
*
2 21 21 1
21 1
21 1 2
dI
δA
dq
M
I dt M I dI
dt
 


E
; интеграл от этого выражения по I
2
при I
1
= const — взаимная энергия
2
*
21 21 21 1 2
21 1 2 0
I
A
W
M I dI
M I I




Итак, энергия магнитного поля двух проводников
2 2
1 1 2 2 21 1 2 2
2
L I
L I
W
M I I



Если действовать в обратной последовательности, т. е. сначала увеличивать ток в контуре
2
, а затем — в контуре
1
, то результат должен быть тем же:
1 2
12 1
2 21
W W W W
W W W






⇒
12 21
W
W

⇒
12 21
M
M

Мы доказали теорему взаимности (см.
РАЗДЕЛ
3.9.3
).
3.10.3. Объёмная плотность энергии магнитного поля
Энергия магнитного поля длинного прямого воздушного соленоида индуктивно- стью L, по которому идёт ток I,
2 2
LI
W 
Индуктивность соленоида
2 2
2 0
0 0
2
μ N S μ N Sl
L
μ n V
l
l



,
(27.2) где N — число витков соленоида, l — его длина, S — площадь поперечного сечения,
V = Sl — объём соленоида,
N
n
l
 — плотность намотки. Подставим
(27.2)
в
(27.1)
:
2 2 2
0 0
2 2
μ n I
B
W
V
V
μ


, так как модуль индукции магнитного поля длинного соленоида B = µ
0
nI.