Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
 Скачать 7.51 Mb.
|
|
Рис. 22.7 180 σ — поверхностная плотность заряда положительно заряженной обкладки, Q σ S Заметим, что легко найти поток D мы можем благодаря тому, что пластины счита- ются большими, т. е. практически бесконечными — мы пренебрегаем краевыми эф- фектами. Получим x Q D σ S Далее, найдём напряжённость электрического поля через связь и E 0 D ε εE ⇒ 0 0 x x D Q E ε ε ε εS Затем найдём разность потенциалов между обкладками конденсатора, воспользо- вавшись интегральной связью напряжённости и потенциала электростатического поля: 0 0 0 0 0 x d d Q Qd U φ φ φ φ d E dx dx ε εS ε εS Наконец, по определению ёмкости (22.5) 0 ε εS Q C U d — формула, приведённая в ТАБЛ . 22.1 Демонстрация: Плоский раздвижной конденсатор 2) Расчёт ёмкости воздушного коаксиального кабеля (цилиндрического конденсатора) Имеется воздушный коаксиальный кабель (в пространстве между обкладками ε = 1), радиусы обкладок равны R 1 и R 2 ( РИС . 22.8 ). Найти ёмкость кабеля, приходя- щуюся на отрезок единичной длины. Ход решения будет аналогичен ПРЕДЫДУ- ЩЕМУ ПРИМЕРУ . Зарядим обкладки линей- ными плотностями τ (внутреннюю об- кладку) и –τ (внешнюю обкладку). Так как между обкладками нет диэлектрика, можно обойтись без . Теорема Остро- градского-Гаусса для E 0 S S q EdS ε Поверхность интегрирования S выберем в виде цилиндра, коаксиального (соосного) кабелю, произвольной высоты h, много меньшей длины кабеля, радиуса r, где r — расстояние от оси кабеля до точки, в которой измеряется поле. Внутри внутрен- него провода (при r < R 1 ) и вне кабеля (при r > R 2 ) поля нет. Поток E 2 r S EdS E πrh , D D Рис. 22.8 τ S A h –τ r R 1 R 2 181 заряд, охваченный поверхностью S, S q τh (см. ЗАДАЧУ О ПОЛЕ ТОНКОЙ ДЛИННОЙ НИТИ ). Получим 0 2 r τh E πrh ε ⇒ 0 2 r τ E πε r Напряжение на обкладках конденсатора 1 1 2 2 2 1 2 0 0 1 ln 2 2 R R r R R R τ dr τ U φ φ φ R φ R E dr πε r πε R Ёмкость, приходящаяся на отрезок кабеля единичной длины, 0 1 2 1 2 ln πε τ C R U R 3) Расчёт ёмкости сферического конденсатора с двухслойным диэлектриком Имеется сферический конденсатор, радиус внутренней обкладки которого равен R 1 , радиус внешней обкладки — R 2 , заполненный двумя слоями диэлектрика: ди- электрик с относительной диэлектрической проницаемостью ε 1 (область I на РИС . 22.9 ) примыкает вплотную к внутренней обкладке, диэлектрик с относитель- ной диэлектрической проницаемостью ε 2 (область II ) – к внешней обкладке, радиус границы разделал диэлектриков равен R 0 . Найти ёмкость конденсатора. Зарядим конденсатор: пусть внутренняя обкладка имеет заряд Q, а внешняя обкладка — заряд –Q. Элек- трическое поле существует только в пространстве между обкладками (R 1 < r < R 2 ). Применим теорему Остроградского-Гаусса для D S S DdS q Выберем поверхность интегрирования S в виде сферы, концентричной конденсатору. Поток D 2 4 r S DdS D πr , охваченный поверхностью S свободный заряд равен Q, 2 4 r D πr Q ⇒ 2 4 r Q D πr Связь между напряжённостью электрического поля и электрическим смещением 0 D ε εE ⇒ I 2 0 1 0 1 4 r r D Q E ε ε πε ε r , II 2 0 2 0 2 4 r r D Q E ε ε πε ε r Напряжение на обкладках конденсатора Рис. 22.9 O R 1 R 2 ε 1 R 0 ε 2 r I II Q –Q 182 0 0 1 1 1 2 2 0 2 0 0 1 2 0 1 2 II I 2 2 0 2 0 1 0 2 1 0 2 0 2 2 1 1 1 0 1 1 2 1 0 1 2 0 2 2 1 2 0 1 2 0 1 2 4 4 1 1 1 1 1 1 4 4 4 R R R R R r r r R R R R R R R R R Q dr Q dr U φ φ φ R φ R E dr E dr E dr πε ε r πε ε r Q Q πε ε r ε r πε ε R ε R ε R ε R ε R R ε R R ε R R ε R R Q πε ε ε R R R Ёмкость конденсатора 0 1 2 0 1 2 1 1 2 1 0 1 2 0 2 2 1 2 4πε ε ε R R R Q C U ε R R ε R R ε R R ε R R При ε 1 = ε 2 = ε этот результат переходит в формулу, приведённую в ТАБЛ . 22.1 183 Лекция 23 3.4.4. Способы соединения конденсаторов 1. Последовательное соединение Последовательное соединение конденсаторов — соединение, при котором кон- денсаторы соединяются разноимённо заряженными обкладками. На РИС . 23.1 изображена схема батареи из N конденсато- ров, соединённых последовательно. Заряд каждого кон- денсатора равен заряду всей батареи, так как все об- кладки кроме крайних (левая обкладка конденсатора С 1 и правая обкладка C N на схеме РИС . 23.1 ) изолированы и сумма их зарядов равна нулю: 1 2 i N Q Q Q Q Q . Напряжение на i-м конденсаторе i i i Q U C Напряжение на батарее есть сумма напряжений на каждом из конденсаторов: 1 i i i i Q U U Q C C Ёмкость батареи 1 1 i Q C U C ⇒ 1 1 1 N i i C C 2. Параллельное соединение Параллельное соединение конденсаторов — соединение, при кото- ром конденсаторы соединяются одноимённо заряженными обклад- ками. На РИС . 23.2 изображена схема батареи N конденсаторов, соединён- ных параллельно. Напряжение на каждом из конденсаторов одина- ково и равно напряжению на всей батарее: 1 2 i N U U U U U . Заряд батареи равен сумме зарядов каждого из конденсаторов: i i i i Q Q C U U C Ёмкость батареи i Q C C U , 1 N i i C C Нужно соблюдать правила построения электрических схем! C 1 C 2 C i C N Рис. 23.1 C 1 C 2 C i C N Рис. 23.2 184 3.5. Энергия электростатического поля 3.5.1. Энергия заряженного конденсатора Пусть конденсатор ёмкостью C имеет заряд q. Перенесём положи- тельный малый заряд dq с отрицательно заряженной обкладки на положительно заряженную ( РИС . 23.3 ). При этом внешними силами совершается работа * q δA dq φ φ Udq dq C Работа внешних сил по зарядке конденсатора от 0 до Q 2 * 0 2 Q qdq Q A C C Так как работа — мера изменения энергии, W = A * , 2 2 2 2 2 Q CU QU W C (по определению ёмкости Q = CU). Демонстрация: Энергия конденсатора 3.5.2. Объёмная плотность энергии электрического поля Рассмотрим заряженный плоский конденсатор ( РИС . 23.4 ); заряд конденсатора равен Q, площадь обкладок — S, расстояние между об- кладками — d, конденсатор заполнен диэлектриком с относитель- ной диэлектрической проницаемостью ε. Электрическое поле внутри конденсатора однородно, его напряжённость равна E . Ём- кость этого конденсатора 0 ε εS C d , а напряжение между обкладками (по интегральной связи напряжённости и потенциала) U = Ed. Энер- гия конденсатора 2 2 2 2 0 0 2 2 2 ε εS ε εE V CU W E d d , (23.1) где V = Sd — объём конденсатора. Объёмная плотность энергии электрического поля — энергетическая характе- ристика поля, равная энергии поля в единичном объёме W w V (23.2) для однородного поля, dW w dV ; 3 Дж м w для неоднородного поля. В изотропной среде с относительной диэлектрической проницаемостью ε q –q dq Рис. 23.3 Q –Q d Рис. 23.4 185 2 0 2 ε εE w Доказательство Пусть в пространстве существует электростатиче- ское поле. Разобьём пространство, на плоские кон- денсаторы: вдоль любой пары близко расположен- ных друг к другу эквипотенциальных поверхно- стей можно мысленно разместить тонкие провод- ники, которые служат обкладками плоского кон- денсатора ( РИС . 23.5 ) (при этом поле не исказится, так как проводник в электростатическом поле эк- випотенциален). По формулам (23.1) и (23.2) объ- ёмная плотность энергии 2 0 2 ε εE W w V , ч. т. д. Так как в изотропной среде 0 D ε εE , 0 2 2 ε εE E DE w Выражение объёмной плотности энергии электрического поля 2 DE w справедливо для любой среды. Согласно определению объёмной плотности, энергия электрического поля в объ- ёме V 2 V V DE W wdV dV П РИМЕР Энергия электрического поля заряженной сферы По сфере радиуса R, находящейся в безграничном однородном диэлектрике относительной диэлек- трической проницаемостью ε, равномерно распре- делён заряд Q ( РИС . 23.6 ). Найти энергию электриче- ского поля в сферическом слое, внутренний радиус которого равен r 1 , а внешний — r 2 (r 1 , r 2 > R), кон- центричном заряженной сфере, и энергию электри- ческого поля во всём пространстве. Сначала нужно найти напряжённость электриче- ского поля. Аналогичная задача (при ε = 1) была ре- шена нами ранее (см. ПРИМЕР 1 В РАЗДЕЛЕ 3.2.3 ). Вос- пользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса для D и связью D и E в изотропном диэлектрике, получим, что при r > R (область I на РИС . 23.6 ) φ φ + dφ Рис. 23.5 Рис. 23.6 dr I O R Q II r ε 186 I 2 0 4 r Q E πε εr , при r < R (область II ) E IIr = 0. В области I объёмная плотность энергии электрического поля 2 2 2 0 I 0 I 2 2 2 4 2 4 0 0 2 2 16 32 r ε εE ε εQ Q w r π ε ε r π ε εr Разобьём пространство вне заряженной сферы на бесконечно тонкие сферические слои, концентричные заряженной сфере. Энергия электрического поля в слое ра- диуса r и толщины dr 2 2 2 I 2 4 2 0 0 ( ) 4 32 8 Q Q dr dW w r dV πr dr π ε εr πε εr Энергия поля в сферическом слое радиусами r 1 и r 2 2 2 1 1 2 2 2 2 0 0 0 1 2 1 1 1 8 8 8 r r r r Q dr Q Q W πε εr πε ε r πε ε r r Энергия поля во всём пространстве 2 2 0 2 0 0 8 8 R Q dr Q W πε εr πε εR (внутри заряженной сферы поля нет). Заметим, что энергия поля всегда положительна вне зависимости от знака заряда. 3.6. Электрический ток 3.6.1. Электрический ток. Сторонние силы Если в проводнике (на каком-либо его участке) существует непостоянное электри- ческое поле, то напряжённость поля внутри проводника 0 E и имеет место элек- трический ток. Направление тока — направление упорядоченного движения положительно заря- женных частиц. Сила тока 61 — скалярная алгебраическая величина — характеристика тока, рав- ная заряду, проходящему через поперечное сечение проводника в единичный про- межуток времени: dq I dt ; [I] = А, ампер — одна из основных единиц СИ. Знак силы тока определяется тем, совпадает ли направление движения положи- тельных зарядов с выбранным положительным направлением обхода проводя- щего контура (см. НИЖЕ ). 61 Эту величину в электротехнике называют током 2 187 Плотность тока — векторная характеристика тока, по модулю равная заряду, проходящему в единичный промежуток времени через единичный участок попе- речного сечения проводника, а по направлению совпадающая с направлением дви- жения положительных зарядов ( РИС . 18.1 ) 62 : dI j n dS ; 2 А м j Почему возникает электрический ток? На некотором участке проводника происхо- дит разделение зарядов. Такое разделение не может произойти под действием ку- лоновского (электростатического) поля; под действием кулоновского поля разде- ление зарядов, наоборот, исчезает. Разделение зарядов происходит под действием электромагнитных (неэлектростатических) полей; эти поля называют сторон- ними силами 63 I уравнение Максвелла: L S B Edl dS t ; при 0 L Edl 0 L A Edl q , здесь A — работа электрического поля по перемещению пробного заряда q 0 по за- мкнутому контуру L. Представим напряжённость электрического поля в провод- нике как кул стор E E E (23.3) — сумму напряжённостей кулоновского и неэлектростатического полей; кул стор кул стор L L L L S B Edl E E dl E dl E dl dS t Теперь рассмотрим незамкнутый контур 1-2 , лежащий в проводнике ( РИС . 23.7 ). Интеграл по этому контуру 2 2 2 2 кул стор кул стор 1 1 1 1 2 стор 1 2 1 ; Edl E E dl E dl E dl φ φ E dl 2 стор 12 1 E dl E 62 Р ИСУНОК 18.1 следует нарисовать заново. 63 Здесь и далее мы сталкиваемся с исторически сложившейся, но не очень удачной терминологией: сторонние силы — это не силы, а поля, т. е. физические объекты; ЭДС — это не силовая, а энергети- ческая характеристика поля. 0 + – |