Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020

• Название: Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 7.51 Mb.
• Имя файла: conspectus_01.pdf
• Тип: Конспект; #794791
• страница: 20 из 44

П
РИМЕР
Поле точечного заряда в однородном диэлектрике
Точечный заряд Q > 0 находится в безграничном диэлектрике с относительной ди- электрической проницаемостью ε (
РИС
. 21.4
). Найдём ряд векторных характери- стик электрического поля, создаваемого этим зарядом.
Так как в пространстве имеется диэлек- трик, воспользуемся теоремой Остроград- ского-Гаусса для
D
 
S
S
DdS
q



Выберем поверхность интегрирования S в виде сферы радиуса r — расстояние от за- ряда Q до точки A, в которой исследуется поле, с центром в точке, где расположен за- ряд Q; нормаль
dS направлена радиально, как и
D
. Поток
D
2 4
r
S
DdS D πr


, охваченный заряд
 
S
q
Q


. Получим
2 4
r
D πr
Q

,
2 4
r
Q
D
πr

Связь между
D
и
E
:
0
D ε εE

⇒
0
r
r
D
ε εE

,
2 0
0 4
r
r
D
Q
E
ε ε
πε εr


Рис. 21.4
⊕
Q
r
S
ε
A

172
Поляризованность, исходя из определения
D
(21.5)
,
0
P D ε E
 
⇒
0 0
2 2
2 0
1 1
4 4
4
r
r
r
ε Q
Q
Q
P
D
ε E
πr
πε εr
πr
ε












Найдём также напряжённость электрического поля свободных и связанных заря- дов. Проекция напряжённости электрического поля свободных зарядов на ради- альное направление (см.
3.2.2
)
0 2
0 4
r
Q
E
πε r

Так как
0
E E
E


, напряжённость электрического поля связанных зарядов
0 2
2 2
0 0
0 1
1 0
4 4
4
r
r
r
Q
Q
Q
E
E
E
πε εr
πε r
πε r
ε


 










— поле связанных зарядов направлено против поля свободных зарядов.
Отношение
0 1
1
r
r
E
E
ε
 
— диэлектрик ослабляет электрическое поле свободных зарядов в ε раз.
Демонстрация:
Изменение потенциала при вводе диэлектрической пластины
4. Теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме
Дивергенция
 
divE
E
 
— скалярная функция векторного аргумента.
В декартовых координатах div
y
x
z
E
E
E
E
x
y
z









; в сферических координатах
 


2 2
1 1
1
div sin sin sin
φ
r
θ
E
E
r E
E
θ
r
r
r
θ θ
r
θ φ









; в цилиндрических координатах
 
1 1
div
φ
z
r
E
E
E
rE
r r
r φ
z









Можно доказать, что из теоремы Остроградского-Гаусса в интегральной форме
(21.4)
,
(21.5)
,
(21.7)
следует теорема Остроградского–Гаусса в дифференциальной форме:


S
S
PdS
q
 


⇒ div P
ρ
 
,
(21.8)
 
S
S
DdS
q



⇒ div D ρ

,

173
  

0
S
S
S
q
q
EdS
ε






⇒
0
div
ρ ρ
E
ε



П
РИМЕР
Расчёт объёмной плотности связанных зарядов (см.
ПРЕДЫДУЩИЙ ПРИМЕР
)
Точечный заряд Q находится в безграничном диэлектрике относительной диэлек- трической проницаемостью ε. Найти объёмную плотность связанных зарядов в ди- электрике как функцию от расстояния r от заряда Q.
Р
АНЕЕ
была получена зависимость поляризованности от r:
 
2 1
1 4
r
Q
P r
πr
ε








Рассчитаем объёмную плотность связанных зарядов по теореме Остроградского-
Гаусса для
P
в дифференциальной форме
(21.8)
:
 
2 2
2 2
2 1
1 1
div
1 0
4
r
d
d
r Q
ρ
P
r P
r dr
r dr
πr
ε




  
 
 











174
Лекция 22
3.3.3. Электрическое поле в диэлектриках (продолжение)
5. Условия на границе раздела двух диэлектриков
Проанализируем, как изменяется электрическое поле при переходе из одной среды
(диэлектрика) в другую.
Пусть имеются два изотропных диэлектрика (относительные диэлектрические проницаемости ε
1
и ε
2
), граничащие друг с другом (
РИС
. 22.1
). В среде с ε
1
существует электрическое поле с напряжённостью
1
E и электрическим смещением
1
D . Свободные заряды на границе раздела сред отсутствуют. Найдём векторные характеристики поля в среде с ε
2
—
2
E и
2
D (в проекциях на нормаль
n
и касатель- ную
τ к поверхности раздела сред).
а
б
Рис. 22.1
1) D
n
Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для
D
 
S
S
DdS
q



Выберем поверхность интегрирования S в виде цилиндра, основания которого па- раллельны границе раздела сред, а высота мала (
РИС
. 22.1
А
). Поток
D


бок
1
торц
2
торц
2 1
торц
n
n
n
n
S
S
DdS
D S
DdS D S
D
D S
 






; охваченный поверхностью S заряд
 
0
S
q 

, так как свободные заряды на гра- нице раздела отсутствуют. Поэтому
2 1
n
n
D
D

(22.1)
— нормальная составляющая вектора электрического смещения не претерпевает скачка на границе раздела диэлектриков.
2) E
n
Связь
D
и
E
в изотропном диэлектрике
0
D ε εE

, поэтому
ε
1
ε
2
S
ε
1
ε
2
L
1
2
3
4
0

175 1
0 1 1
n
n
D
ε ε E

,
2 0 2 2
n
n
D
ε ε E

С учётом условия
(22.1)
0 1 1 0 2 2
n
n
ε ε E
ε ε E

⇒
2 1
1 2
n
n
E
ε
E
ε

(22.2)
— нормальная составляющая напряжённости электрического поля претерпевает скачок на границе раздела диэлектриков.
3) E
τ
Воспользуемся I уравнением Максвелла — условием потенциальности электроста- тического поля
0
L
Edl 

Выберем контур интегрирования L в виде прямоугольника, одна пара сторон кото- рого параллельная границе раздела сред (стороны
1-2
и
3-4
на
РИС
. 22.1
Б
), а другая мала (стороны
2-3
и
4-1
). Циркуляция
E
по контуру L


3 1
1 12 2 34 1
2 12 2
4 0
τ
τ
τ
τ
L
Edl E l
Edl E l
Edl
E
E
l










,
2 1
τ
τ
E
E

(22.3)
— тангенциальная составляющая напряжённости электрического поля не претер- певает скачка на границе раздела диэлектриков.
4) D
τ
Из связи между
D
и
E
и условия
(22.3)
получим
1 0 1 1
τ
τ
D
ε ε E

,
2 0 2 2
τ
τ
D
ε ε E

⇒
1 2
1 2
τ
τ
D
D
ε
ε

,
2 2
1 1
τ
τ
D
ε
D
ε

(22.4)
— тангенциальная составляющая электрического смещения претерпевает скачок на границе раздела диэлектриков.
3.3.4. Проводники в электростатическом поле
Свойства электростатического поля в проводниках
59
1.
Внутри проводника напряжённость электрического поля равна нулю: внутри
0
E
 .
В противном случае по проводнику будет идти ток, так как в проводнике имеются свободные заряды, свободно перемещающиеся под действием электрического поля.
Демонстрация:
Клетка Фарадея
59
Следует отметить, что эти утверждения относятся только к электростатическому полю в про- водниках, т. е. к случаю, когда электрический ток отсутствует.
0 0

176
2.
Напряжённость электрического поля перпендикулярна поверхности провод- ника:
0
τ
E  ,
n
E E

Если E
τ
≠ 0, то по поверхности проводника будет идти ток.
3.
Нескомпенсированный заряд располагается на поверхности проводника:
0
ρ 
Доказательство
Проведём внутри проводника произвольную замкнутую поверх- ность S (
РИС
. 22.2
). Теорема Остроградского-Гаусса для
D
 
S
S
DdS
q



Но
0
D  , так как
0
E  , поэтому
0
S
DdS 

и
 
0
S
q 

, т. е. неском- пенсированного заряда внутри проводника нет.
Демонстрация:
Стекание заряда с острия
4.
Поверхность проводника эквипотенциальна (а также весь объём проводника): const
φ 
Доказательство
Найдём разность потенциалов между точками
1
и
2
на одном про- воднике, соединив эти точки кривой, целиком лежащей внутри проводника (
РИС
. 22.3
), и воспользовавшись интегральной связью напряжённости и потенциала электростатического поля:
2 12 1
Δ
0
φ
Edl
 


⇒
1 2
φ
φ

, ч. т. д.
Демонстрация:
Распределение заряда на поверхности проводника
5.
Нормальная проекция электрического смещения у поверхности проводника равна поверхностной плотности свободных зарядов:
n
D
σ
 .
Доказательство
Применим теорему Остроградского-Гаусса для
D
, выбрав поверхность интегрирования S в виде цилиндра, одно из оснований которого лежит внутри проводника, а другое плотно прилегает к поверхности проводника с внешней стороны (
РИС
. 22.4
):
 
S
S
DdS
q



; торц
n
S
DdS D S


, так как внутри проводника
0
D  и потоки
D
сквозь все стороны цилиндра S, кроме внешнего торца, равны нулю;
 
торц
S
q
σS


,
S
Рис. 22.2
1
2
Рис. 22.3
S
Рис. 22.4

177 так как заряд распределён только по поверхности проводника; торц торц
n
D S
σS

⇒
n
D
σ
 , ч. т. д.
3.4. Электрическая ёмкость
3.4.1. Ёмкость уединённого проводника
Уединённый проводник
— проводник, удалённый от других тел, так что влиянием их электрических полей можно пренебречь.
Рассмотрим, как изменяются напряжённость электрического поля и потенциал уединённого проводника при изменении его заряда. При увеличении заряда в n раз напряжённость поля и потенциал увеличатся также в n раз (см.
ПРИМЕРЫ В РАЗДЕЛЕ
3.2.4
).
Электрическая ёмкость уединённого проводника
— характеристика провод- ника, равная отношению заряда проводника к его потенциалу:
Q
C
φ

,
 
Ф
C 
(фарад).
Ёмкость не зависит от заряда, потенциала и прочих характеристик электрического поля, она зависит от формы и размеров проводника и диэлектрических свойств среды, его окружающей.
П
РИМЕР
Ёмкость шара
Уединённый проводник — металлический шар радиуса R находится в вакууме
(
РИС
. 22.5
). Найти ёмкость проводника.
Мысленно зарядим проводник зарядом Q и рассчитаем потенциал проводника (потенциал отсчитывается от бесконечно удалённой точки).
Сначала найдём напряжённость электрического поля из теоремы Остроградского-Гаусса для
E
:
 
0
S
S
q
EdS
ε



Поверхность интегрирования S — сфера радиуса r, где r
— расстояние от центра шара до точки, где измеряется поле, концентричная заряженному шару. Поток
E
2 4
r
S
EdS E πr


(см.
ПРИМЕР
1
В РАЗДЕЛЕ
3.2.3
), охваченный заряд равен заряду шара Q;
2 0
4
r
Q
E πr
ε

⇒
2 0
4
r
Q
E
πε r

Потенциал шара найдём из интегральной связи напряжённости и потенциала элек- тростатического поля:
2 0
0 0
1 4
4 4
R
R
R
r
Q
dr
Q
Q
φ
E dr
πε
r
πε r
πε R



 
 




S
A
O R
Q
r
Рис. 22.5

178
По определению ёмкости
0 4
Q
C
πε R
φ
 
3.4.2. Взаимная ёмкость двух проводников
Рассмотрим систему, состоящую из двух проводников, за- ряды которых равны по модулю и противоположны по знаку
(
РИС
. 22.6
). Разность потенциалов между проводниками про- порциональна модулю их заряда: φ
+
– φ
–

q. Отношение
q
C
φ
φ




—
взаимная ёмкость проводников
. Эта величина зависит от размеров, формы, взаимного расположения проводников и диэлектрических свойств среды и не за- висит от заряда, потенциала и прочих характеристик электрического поля.
3.4.3. Конденсаторы
Конденсатор
— система двух проводников, расположенных друг относительно друга так, что, если этим проводникам сообщить одинаковые по модулю, но разные по знаку заряды, электрическое поле будет в основном сосредоточено между этими проводниками —
обкладками
конденсатора. Модуль заряда каждой из обкладок
—
заряд
конденсатора.
Ёмкость конденсатора
— характеристика конденсатора, равная отношению за- ряда конденсатора к модулю разности потенциалов между его обкладками (
напря-
жению
на обкладках):
Q
Q
C
φ
φ
U





(22.5)
Ёмкость конденсатора зависит от формы и размеров обкладок, их взаимного рас- положения, диэлектрических свойств среды между обкладками и не зависит от за- ряда, напряжения и т. п.
Для расчёта ёмкости любого конденсатора нужно мысленно придать ему заряд, найти напряжение между обкладками, а затем ёмкость по определению
(22.5)
В
ТАБЛИЦЕ
22.1
представлены конденсаторы простейшей формы и стандартные формулы
60
для вычисления их ёмкости. Примеры вывода подобных формул даны
НИЖЕ
60
Эти формулы относятся к конденсаторам, пространство между обкладками которых заполнено однородным диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε. В других случаях формулы для вычисления ёмкости нужно выводить заново, пользуясь определением ёмкости.
q
–q
φ
+
φ
–
Рис. 22.6

179
Таблица 22.1
Конденсаторы
Плоский
Цилиндрический
Сферический
d << размеров пластин
2 1
R
R
l

0
ε εS
C
d

0 2
1 2
ln
πε εl
C
R
R

0 1 2 2
1 4πε εR R
C
R
R


П
РИМЕРЫ
1) Расчёт ёмкости плоского конденсатора, заполненного однородным диэлектриком
Имеется плоский конденсатор, площадь обкладок которого равна S, расстояние между обкладками — d, пространство между обкладками заполнено диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε (
РИС
. 22.7
). Найти ёмкость конденсатора.
Зарядим обкладки конденсатора заря- дом Q. Найдём электрическое смещение в пространстве внутри конденсатора с по- мощью теоремы Остроградского-Гаусса
 


 


S
S
DdS
q , здесь
 


S
q — сумма свободных заря- дов, охваченных поверхностью S′. По- верхность интегрирования S′ выберем в виде цилиндра, основания которого па- раллельны обкладкам конденсатора, один из торцов располагается вне кон- денсатора (за положительно заряженной обкладкой), а другой — внутри конденса- тора. Вне конденсатора поле отсутствует (это легко показать с помощью принципа суперпозиции полей, воспользовавшись результатом
РАСЧЁТА ПОЛЯ РАВНОМЕРНО ЗА-
РЯЖЕННОЙ ПЛОСКОСТИ
), внутри конденсатора оно однородно;





торц
x
S
DdS
D S
,
 



торц
S
q
σS
,
d
S
ε
R
1
R
2
ε
l
O R
1
R
2
ε
x
0
S′
A
Q
–Q
d
ε