Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
 Скачать 7.51 Mb.
|
|
I II Рис. 20.7 163 При вычислении потенциала мы идём от центра сферы к точке A ( РИС . 20.7 ), где из- меряется потенциал, по радиальной прямой. На разных участках этого пути (от- резка OA) аналитическое выражение E r (r) различно, поэтому интеграл (20.1) при- ходится разбивать на две части: II I 2 0 0 0 0 0 1 1 1 0 4 4 4 r R r R r r r R R R Q dr Q Q φ E dr E dr dr πε r πε r πε r R График зависимости φ(r) показан на РИС . 20.8 Рис. 20.8 Можно построить этот график по графику проекции напряжённости электриче- ского поля ( РИС . 19.8 ). По дифференциальной связи напряжённости и потенциала r dφ E dr 55 Там, где 0 dφ dr (при r < R), φ = const. В точке r = R график E r (r) имеет разрыв, а гра- фик φ(r) — излом. При r > R E r (r) > 0 и убывает, соответственно, 0 dφ dr и возрастает — кривая φ(r) убывает и вогнутая. При r → ∞ E r → 0 и график φ(r) имеет горизон- тальную асимптоту. Потенциал — непрерывная функция координат! График потенциала никогда не имеет разрывов. 55 На самом деле 2 2 1 r d E r φ dr r (ср. ПОДРАЗДЕЛ 4 П . 3.3.3 ). I 0 r φ II II R Методы расчёта напряжённости электрического поля метод суперпозиций теорема Остроградского- Гаусса дифференциальная связь и φ 164 3.3. Электростатическое поле в веществе 3.3.1. Проводники и диэлектрики. Свободные и связанные заряды Проводники — вещества, имеющие свободные заряды — заряженные частицы, свободно перемещающиеся по образцу. Диэлектрики — вещества, в которых заряженные частицы связаны в пределах мо- лекул и могут перемещаться под действием внешнего поля только на расстояния не более межмолекулярных. 56 Любой диэлектрик можно превратить в проводник, т. е. пробить. 3.3.2. Электрический диполь Электрический диполь — система двух точечных зарядов, одинаковых по модулю и противоположных по знаку ( РИС . 20.9 ). 1. Характеристики диполя Заряд диполя q — модуль заряда каждой из частиц (по- люсов) диполя. 56 Полупроводники — диэлектрики с относительно высокой удельной электропроводностью. Све- дения о природе и свойствах полупроводников см. в ПАРАГРАФЕ 6.6 Методы расчёта потенциала электростатического поля метод суперпозиций интегральная связь и φ Вещество проводники хорошо проводят электрический ток металлы ← свободные электроны электролиты ← ионы плазма ← электроны, ионы диэлектрики плохо проводят электрический ток дерево, пластмасса, дистиллированная вода, кристаллы солей, газы Заряды связанные заряженные частицы, входящие в состав молекул, перемещающиеся на расстояния не более межмолеку- лярных свободные 1) заряды, нарушающие электроней- тральность вещества; 2) заряженные частицы, перемещаю- щиеся по проводнику на расстояния много больше межмолекулярных ⊕ ⊝ –q q l , Рис. 20.9 165 Плечо диполя l — расстояние между полюсами. Дипольный момент — векторная характери- стика: e p ql , Кл м e p . Вектор дипольного момента направлен от отри- цательного полюса к положительному. Будем рассматривать жёсткий диполь , т. е. для которого l = const. 2. Электрическое поле диполя (без вывода) Рассмотрим точечный диполь , т. е. диполь на расстояниях r >> l. Методом суперпозиций можно получить следую- щие результаты: потенциал [при φ(∞) = 0] 2 0 cos 4 e p α φ πε r , α — угол между e p и r — показан на РИС . 20.10 ; модуль напряжённости электрического поля 2 3 0 3cos 1 4 e p E α πε r . 3. Диполь в электростатическом поле а) Однородное поле Пусть в пространстве имеется однородное элек- трическое поле, напряжённость поля E . Диполь расположен под углом α к силовым линиям поля ( РИС . 20.11 ). Сила, с которой поле действует на диполь 0 F F F , так как F F . Но момент пары сил F и F 0 M M M . Выразим этот момент относи- тельно любой оси, перпендикулярной плоскости рисунка, например, оси z, проходящей через отрицательный полюс диполя: sin sin sin z e M F l α qEl α p E α ; e M p E . В однородном электрическом поле диполь разворачивается вдоль силовых линий. α ⊕ ⊝ q O –q A Рис. 20.10 ⊕ α ⊝ ⊗ Рис. 20.11 166 б) Неоднородное поле ( РИС . 20.12 ) В этом случае F F , диполь не только разворачивается вдоль силовых линий, но и втягивается в область более сильного поля. Равнодействующая cos cos grad e e e E E F qE qE q E E ql α p α i p E i p E x x x , grad e F p E (20.2) (плечо диполя много меньше размера неоднородности поля). Рис. 20.12 в) Энергия диполя в электрическом поле Рассмотрим диполь в однородном электрическом поле ( РИС . 20.11 ). Потенциальная энергия диполя п п п cos e e W W W qφ qφ q φ φ qEl p E p E α , п e W p E Так как п grad F W , из этого выражения получается, что grad e F p E , т. е. фор- мула (20.2) График зависимости потенциальной энергии диполя от угла между дипольным мо- ментом и напряжённостью электрического поля представлен на РИС . 20.13 Диполь находится в положении равновесия при 0 F , т. е. в точках экстремума по- тенциальной энергии: α = 0 — устойчивое равновесие; α = π — неустойчивое равновесие. α ⊕ z ⊝ x α π W п 0 Рис. 20.13 167 Лекция 21 3.3.3. Электрическое поле в диэлектриках 1. Типы поляризации диэлектрика Напряжённость электрического поля в веществе — это напряжённость усреднён- ного поля, созданного как свободными (напряжённость поля 0 E ), так и связан- ными ( E ) зарядами: 0 E E E Напряжённость поля связанных зарядов направлена против поля свободных заря- дов, поэтому E < E 0 2. Вектор поляризации (поляризованность) Поляризованность — векторная характеристика поляризации вещества, равная сумме дипольных моментов молекул вещества, занимающего единичный объём: e p P V , (21.1) 2 Кл м P Дипольный момент молекулы параллелен и пропорционален напряжённости элек- трического поля: 0 e p ε βE , (21.2) где β — поляризуемость молекулы. Подставим (21.2) в определение (21.1) : 0 0 e p N ε βE P ε nβE V V , Молекулы диэлектрика полярные H 2 O, HCl неполярные H 2 , N 2 , полимеры и т. д. В отсутствие внешнего электрического поля: Диполи разворачиваются вдоль поля — ориентационная поляризация При наличии внешнего электрического поля: Молекулы поляризуются — электронная поляризация – + – + – + 168 здесь N — число молекул, n — их концентрация. Обозначим æ nβ — диэлектрическая восприимчивость вещества; 0 P ε æE Связь поляризованности с поверхностными поляризационными (связанными) заря- дами Рассмотрим диэлектрик — образец цилиндрической формы, помещённый в одно- родное электрическое поле (напряжённость этого поля — поля свободных зарядов — равна 0 E ). Молекулы либо разворачиваются, либо «растягиваются» вдоль поля. При этом внутри диэлектрик по-прежнему электронейтрален. На торцах образца появляются нескомпенсированные заряды. Такой образец эквивалентен боль- шому диполю. а) Торцы образца перпендикулярны 0 E ( РИС . 21.1 ) На рисунке H — ширина образца, S — площадь тор- цевых поверхностей, σ′ — поверхностная плотность связанных зарядов 57 . Заряды торцевых поверхно- стей Q σ S , Q σ S ; модуль дипольного момента образца e p QH σ SH (Q = Q + ); модуль поляризованности e p σ SH P σ V SH , где V = SH — объём образца. 57 Здесь и далее в этом разделе штрихом обозначаются связанные заряды, без штриха – свободные заряды. В «живой» лекции может быть целесообразно вместо этого писать верхние или нижние ин- дексы, например, σ связ и ρ своб – + – + – + – + – + – + – + – + – + –σ′ σ′ H S Рис. 21.1 169 б) Торцы образца не перпендикулярны 0 E ( РИС . 21.2 ) Пусть напряжённость электрического поля свободных зарядов направлена под углом α к нормали к торцам образца. Ди- польный момент образца выражается той же формулой, что и в предыдущем случае: e p QH σ SH Объём образца — косоугольного цилин- дра cos V SH α Поэтому cos σ P α ⇒ cos n σ P α P , n σ P (21.3) — нормальная проекция поляризованности у поверхности диэлектрика равна по- верхностной плотности связанных зарядов. Демонстрации: 1) Модели диэлектрика 2) Диэлектрик в электрическом поле 3. Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля в диэлектрике а) Теорема Остроградского-Гаусса для вектора поляризации Проведём внутри нейтрального диэлек- трика, находящегося в электрическом поле, замкнутую поверхность S ( РИС . 21.3 ). Эта поверхность «разрежет» диполи мо- лекул. Разобьём диэлектрик на малые объёмы ΔV i , а поверхность S — на малые пло- щадки ΔS i и найдём связанный заряд, охваченный поверхностью S: Δ Δ i i i i S S S q ρ V σ S , здесь ρ′ — объёмная плотность связан- ных зарядов. Первое слагаемое в правой части этого равенства равно нулю, так как диэлектрик в целом электронейтрален. Поверхностная плотность связанных зарядов во втором слагаемом отличается от σ′ в выражении (21.3) тем, что это плотность зарядов не на внешней границе ди- электрика, а на воображаемой внутренней границе. При напряжённости электри- ческого поля, направленной так, как показано на рисунках 21.2 и 21.3 , связанные заряды на внешней границе справа — положительные, а на внутренней — отрица- тельные. Поэтому направление вектора поляризации фрагмента образца, попада- ющего внутрь поверхности S, будет противоположным и n i P σ , Δ Δ ni i i i S S S q P S P S σ′ S –σ′ H – + – + – + – + · α Рис. 21.2 – + – + S Рис. 21.3 0 170 В пределе при ΔS i → 0 S S PdS q (21.4) — теорема Остроградского-Гаусса для поляризованности : поток поляризован- ности сквозь произвольную замкнутую поверхность равен сумме связанных заря- дов, охваченной этой поверхностью, взятой с обратным знаком. б) Теорема Остроградского-Гаусса для E и D Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля 0 S S S q q EdS ε (21.5) Сумма связанных зарядов S q не поддаётся прямому расчёту. Выразим эту сумму из (21.4) : S S q PdS ⇒ 0 S S S ε EdS q PdS , 0 S S ε E P dS q — теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля в веществе Введём вспомогательную величину 0 D ε E P (21.6) — электрическое смещение (электрическая индукция) ; S S DdS q (21.7) — теорема Остроградского-Гаусса для электрического смещения: поток век- тора электрического смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность ра- вен сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью. D — это вспомогательная векторная характеристика электрического поля, помо- гающая расчёту E в) Связь E и D Формула (21.6) — определение. Для изотропного диэлектрика 58 (несегнетоэлектрика) P E , 0 P ε æE и 0 0 0 1 D ε E ε æE ε æ E 58 Для изотропных диэлектриков смысл относительной диэлектрической проницаемости — вели- чина, показывающая во сколько раз диэлектрик ослабляет электрическое поле свободных зарядов (см. ПРИМЕР ). Задачи на расчёт характеристик электрического поля в изотропном диэлектрике можно решать и без использования D (вводя ε в формулировку теоремы Остроградского-Гаусса для E ), но мы настаиваем на том, чтобы студенты использовали эту величину и теорему Остроград- ского-Гаусса для D 171 Обозначим 1 ε æ — относительная диэлектрическая проницаемость вещества. Связь D и E за- пишется как 0 D ε εE У всех диэлектриков ε > 1; у полярных диэлектриков эта характеристика больше, у неполярных — меньше. Для анизотропных диэлектриков D и E не параллельны. Диэлектрические свой- ства вещества определяются тензором диэлектрической проницаемости xx xy xz yx yy yz zx zy zz ε ε ε ε ε ε ε ε ε и 0 xx xy xz x yx yy yz y zx zy zz z ε ε ε E D ε ε ε ε E ε ε ε E |