Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
 Скачать 7.51 Mb.
|
|
П РИМЕРЫ 1) Электрическое поле равномерно заряженной сферы Сфера радиуса R равномерно заряжена заря- дом Q ( РИС . 19.7 ). Найти зависимость напря- жённости электрического поля от расстоя- ния r от центра сферы E r (r) 52 Заряд распределён сферически симмет- рично. В каждой точке пространства напря- жённость электрического поля E направ- лена радиально. Будем выбирать поверхности интегрирова- ния в виде сфер радиуса r, концентричных заряженной сфере, здесь r — расстояние от центра сферы до точки, где измеряется напряжённость поля. Разобьём пространство на две области — вне заряженной сферы и внутри неё. Вид зависи- мости E r (r) в этих областях должен быть раз- личным. 52 Здесь и далее в подобных примерах мы находим именно проекцию векторного поля на указанное направление — величину, которая содержит информацию и о модуле, и о направлении векторного поля. В зависимости от знака заряда проекция напряжённости электрического поля может быть как положительной, так и отрицательной. Случаи использования теоремы Остроградского-Гаусса Сферическая (центральная) симметрия распределения заряда Цилиндрическая (осевая) симметрия распределения заряда (протяжённость области пространства, содержащей заряд, вдоль оси симмет- рии много больше её попе- речных размеров) Плоская симметрия распределения заряда (размеры области про- странства, содержащей за- ряд, в плоскости симмет- рии много больше попереч- ного размера этой области) r O R Q S II S I B A r I II Рис. 19.7 154 I. r > R Теорема Остроградского-Гаусса: I I I 0 S S q EdS ε Выберем поверхность S I в виде сферы радиуса r, концентричной заряженной сфере ( РИС . 19.7 ). В каждой точке этой поверхности (например, в точке A на рисунке) напряжённость электрического поля I E направлена радиально, а по модулю оди- накова. Вектор внешней нормали I dS сонаправлен I E . Поток напряжённости элек- трического поля I I I 2 I I I I I I I I cos0 4 r r r r S S S EdS E dS E dS E S E πr Заряд, охваченный поверхностью S I , I S q Q — весь заряд заряженной сферы. Получим 2 I 0 4 r Q E πr ε ⇒ I 2 0 4 r Q E πε r II. r < R Теорема Остроградского-Гаусса: II II II 0 S S q EdS ε Выберем поверхность S II в виде сферы радиуса r, концентричной заряженной сфере ( РИС . 19.7 ). Направления II E и II dS показаны на рисунке. Поток напряжённости электрического поля, аналогично выражению для области I , II 2 II II 4 r S EdS E πr Заряд, охваченный поверхностью S II , II 0 S q , так как заряды внутрь поверхности S II не попадают. Поэтому II 0 r E . График зависимости E r (r) представлен на РИС . 19.8 При r = R график E r (r) терпит разрыв, так как на поверхности r = R сосредоточены свободные заряды. Разрывы конечной величины на графиках можно соединять сплошной линией. 1 155 Рис. 19.8 2) Электрическое поле равномерно заряженной бесконечно длинной тонкой прямой нити Бесконечно длинная прямая нить равно- мерно заряжена с линейной плотностью τ ( РИС . 19.9 ). Найти зависимость напряжён- ности электрического поля от расстояния r от нити E r (r). Распределение заряда имеет осевую сим- метрию. Теорема Остроградского-Гаусса 0 S S q EdS ε Выберем поверхность интегрирования в виде цилиндра радиуса r (r — расстояние от нити до точки, где измеряется поле — точка A на РИС . 19.9 ) и произвольной вы- соты h, ось которого совпадает с нитью. Напряжённость электрического поля направлена радиально и зависит только от r. Векторы внешней нормали направлены: для боковой поверхности бок dS E , для торцов торц dS E . Поток напряжённости электрического поля бок торц бок торц бок бок торц бок торц бок бок 2 cos0 2 cos 2 2 r r S S S S S r r r S π EdS EdS EdS E dS E dS E dS E S E πrh Заряд, охваченный поверхностью S, S q τh — заряд участка нити длиной h. Получим 0 2 r τh E πrh ε ⇒ 0 2 r τ E πε r E r 0 R r 1 0 S A r B τ h Рис. 19.9 156 Результат не зависит от h, как и должно быть. Это же решение было получено нами методом суперпозиций (см. РАЗДЕЛ 3.2.3 ). График зависимости E r (r) представлен на РИС . 19.10 Рис. 19.10 r E r 0 157 Лекция 20 3.2.3. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля (продолжение) 3) Электрическое поле равномерно заряженной плоскости Плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью σ. Найти зависи- мость напряжённости электрического поля от расстояния от плоскости: E x (x). Рис. 20.1 Распределение заряда имеет плоскую симметрию. Теорема Остроградского-Гаусса 0 S S q EdS ε Выберем поверхность интегрирования в виде цилиндра высотой 2 x (x — коорди- ната точки, где измеряется поле, — точка A на РИС . 20.1 ) и произвольного сечения S торц . Торцы цилиндра S параллельны заряженной плоскости и расположены сим- метрично относительно неё. Напряжённость электрического поля направлена пер- пендикулярно плоскости и может зависеть только от x. Векторы внешней нормали направлены: для боковой поверхности бок dS E , для торцов торц dS E . Поток напряжённости электрического поля бок торц бок торц торц бок торц бок торц торц торц 2 cos 2 cos0 2 2 2 x x x S S S S S S π EdS EdS EdS E dS E dS E dS ES Заряд, охваченный поверхностью S, торц S q σS — заряд участка плоскости площадью S торц . Получим S x 0 A C σ B 158 торц торц 0 2 σS ES ε ⇒ 0 2 σ E ε 53 ; 0 0 0: , 2 0: 2 x x σ x E ε σ x E ε По каждую сторону от заряженной плоскости поле однородно. График зависимости E x (x) представлен на РИС . 20.2 Рис. 20.2 Демонстрация: Сетка Кольбе 3.2.4. Потенциал I уравнение Максвелла для электростатического поля 0 L Edl Умножим это уравнение на пробный заряд q 0 : 0 0 1 0 L L L q Edl q Edl F dl — работа электростатического поля по перемещению пробного заряда по произ- вольной замкнутой траектории равна нулю. Это означает, что электростатическое поле потенциально (см. РАЗДЕЛ 1.8.4 ). [Можно прийти к этому выводу по-другому: кулоновская сила центральна, а поле центральных сил потенциально (см. 1.8.4 ).] Потенциальная энергия заряженной частицы в электростатическом поле равна работе внешних сил при перемещении этой частицы из точки, где потенциальная энергия принята равной нулю, в данную точку или работе поля при этом переме- щении: поля * п W A A Потенциальная энергия — характеристика и поля, и заряда: 53 Эта формула справедлива при σ > 0. Для σ < 0 знак σ нужно изменить на противоположный. E x 0 x 159 п 0 , W f q E Отношение п 0 W q не зависит от q 0 и является энергетической характеристикой поля: п 0 W φ q ; — потенциал ; [φ] = В (вольт). Эта величина определяется с точностью до произвольной постоянной. Физический смысл имеет разность потенциалов поля * 1 2 1 2 12 2 1 0 0 Δ A A φ φ φ q q — работа поля по перемещению пробного заряда из начального положения в ко- нечное, отнесённая к модулю этого заряда и взятая с обратным знаком, или работа внешних сил при том же перемещении, отнесённая к модулю пробного заряда. Связь напряжённости и потенциала электростатического поля Работа электростатического поля по перемещению пробного заряда из точки 1 в точку 2 2 2 2 поля 1 0 0 1 1 1 A F dl q Edl q Edl ; разность потенциалов 2 поля 12 0 1 Δ A φ Edl q ; интегрирование проводится по произвольной кривой, соединяющей точки 1 и 2 Интегральная связь напряжённости и потенциала электростатического поля 2 2 12 1 1 Δ l φ Edl E dl , 1 1 1 0 0 l φ φ φ Edl E dl — потенциал поля в точке 1 Элементарная работа поля поля 1 0 δA F dl q Edl ; элементарное приращение потенциала поля 0 δA dφ Edl q , grad dφ E φ dl 160 — дифференциальная связь напряжённости и потенциала электростатиче- ского поля (определение вектора градиента dφ φ dl см. в РАЗДЕЛЕ 1.8.5 ). Эквипотенциальная поверхность – геометрическое место точек, потенциал ко- торых одинаков. Так как grad E φ , вектор напряжённости электрического поля перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям. П РИМЕР Потенциал поля точечного заряда Напряжённость электрического поля точечного заряда q 3 0 4 q r E πε r Эквипотенциальные поверхности — сферы ( РИС . 20.3 ). Положим начало отсчёта потенциала в бесконечно уда- лённой точке: φ(∞) = 0. Интегрирование в формуле инте- гральной связи напряжённости и потенциала проведём по радиальной прямой: 2 0 0 0 1 4 4 4 r r r r r q dr q q φ Edr E dr πε r πε r πε r Принцип суперпозиции (в применении к потенциалу): потенциал электростатиче- ского поля системы заряженных тел равен сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из этих тел по отдельности: i φ φ , φ dφ Доказательство Имеем систему N заряженных тел. По принципу суперпозиции напряжённость электрического поля i E E Интегральная связь напряжённости и потенциала для поля в точке A 0 0 0 A A A i i i φ φ φ φ Edl E dl E dl φ , ч. т. д. Любую систему заряженных тел можно разбить на точечные заряды и найти по- тенциал по методу суперпозиций. Таким образом проще рассчитать потенциал, чем напряжённость электрического поля, так как потенциал — скалярная величина, а напряжённость—векторная. q ⊕ r Рис. 20.3 161 П РИМЕР 1) Поле равномерно заряженного тонкого кольца По тонкому кольцу равномерно распределён заряд Q > 0 ( РИС . 20.4 ). Найти зависи- мость потенциала от координаты в точке на оси z кольца: φ(z). Положим потенциал равным нулю в бесконечно удалённой точке. Разобьём кольцо на малые участки с зарядами dq и воспользуемся методом суперпозиций: φ dφ , 0 4 dq dφ πε r Расстояние r до точки A, где измеряется потенциал одина- ково для всех элементов dq; 2 2 r R z Проинтегрируем выражение для потенциала по q: 2 2 2 2 0 0 0 4 4 Q dq Q φ πε R z πε R z Найдём напряжённость электрического поля как функцию z через дифференциальную связь напряжённости и потенци- ала: grad dφ E φ k dz ( k — орт оси z), так как в точках на оси z напряжённость элек- трического поля направлена вдоль этой оси и может зависеть только от z; 3 2 3 2 2 2 2 2 0 0 1 2 2 4 4 z Q z dφ Qz E dz πε R z πε R z Этот же результат мы получили РАНЕЕ методом суперпозиции E 2) Поле равномерно заряженной бесконечно длинной тонкой прямой нити Бесконечно длинная прямая нить равномерно заряжена с ли- нейной плотностью τ ( РИС . 20.5 ). Найти зависимость потен- циала электрического поля от расстояния r от нити: φ(r). Воспользуемся результатом решения ЗАДАЧИ о напряжённо- сти электрического поля этой системы 0 2 r τ E πε r Рис. 20.4 z R dq O Q r A z Рис. 20.5 r 0 A r τ O 162 и интегральной связью напряжённости и потенциала. Начало отсчёта потенциала возьмём в точке O на расстоянии r 0 от нити 54 ; 0 0 0 0 0 ln 2 2 r r r r r τ dr τ r φ E dr πε r πε r График зависимости φ(r) показан на РИС . 20.6 Рис. 20.6 3) Поле равномерно заряженной сферы Сфера радиуса R равномерно заряжена зарядом Q ( РИС . 20.7 ). Найти зависимость потенциала электриче- ского поля от расстояния r от центра сферы: φ(r). Воспользуемся интегральной связью напряжённости и потенциала, полагая φ(0) = 0: 0 r r φ E dr . (20.1) Разбиваем пространство на две области (см. ПРИМЕР 1 РАЗ- ДЕЛА 3.2.3 ). II. r < R Напряжённость электрического поля в этой области E IIr = 0. Потенциал II 0 0 r r φ E dr I. r > R Согласно ранее полученному результату, в этой области проекция напряжённости электрического поля на радиальное направление I 2 0 4 r Q E πε r 54 В случае, если заряды располагаются в бесконечно удалённых точках, нельзя взять начало от- счёта потенциала в бесконечности. r φ 0 Q r 0 O Q R r A |