Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
 Скачать 7.51 Mb.
|
|
Рис. 16.1 132 Рис. 16.2 2. Слабое затухание (β < ω 0 ) Общее решение дифференциального уравнения (16.1) 0 cos βt x t A e ωt φ , (16.2) где 2 2 0 ω ω β — циклическая частота затухающих колебаний Величины A 0 и φ в решении (16.2) — это постоянные, определяемые из начальных условий. Заметим, что затухающие колебания не являются колебаниями в строгом смысле этого слова (см. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ). Амплитуда затухающих колебаний 0 βt A t A e ; период затухающих колебаний 2 2 0 2 2 π π T ω ω β С другими характеристиками свободных затухающих колебаний познакомимся во II семестре ( РАЗДЕЛ 3.13.2 ). График решения (16.2) при φ = 0 показан на РИС . 16.3 x 0 0 x t 133 Рис. 16.3 Демонстрация: Маятник с песком 1.14.4. Вынужденные колебания Пусть пружинный маятник — механическая система, описанная в РАЗДЕЛЕ 1.14.2 , при наличии сопротивления, находится под воздействием, описываемым периоди- ческой силой 0 cosΩ F F t , Ω — циклическая частота вынуждающей силы. Сила F направлена горизонтально ( РИС . 16.4 ). Рис. 16.4 Запишем II закон Ньютона для груза: упр сопр т ma F N F F F В проекции на ось x 2 0 2 cosΩ d x dx m kx r F t dt dt , так как F упр x = –kx, F сопр x = –rv x . Получим 2 0 2 cosΩ F d x r dx k x t dt m dt m m T t x 0 x O k m 134 Обозначим 2 0 k ω m , 2 r β m и 0 0 F f m ; 2 2 0 0 2 2 cosΩ d x dx β ω x f t dt dt (16.3) — дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с по- стоянными коэффициентами. Его общее решение — сумма общего решения одно- родного уравнения (16.1) и частного решения неоднородного уравнения (16.3) (ищем решение при слабом затухании — β < ω 0 ) 1 2 x t x t x t ; 1 1 cos βt x t A e ωt φ ; 2 2 0 cos Ω x t A t φ (16.4) Здесь 2 2 0 ω ω β ; A 1 и φ — постоянные интегрирования; A 2 и φ 0 найдём подста- новкой решения (16.4) в дифференциальное уравнение (16.3) Общее решение x 1 (t) быстро затухает. В результате циклическая частота вынуж- денных колебаний будет равна циклической частоте Ω вынуждающей силы. Производные функции x 2 (t) 2 2 0 Ωsin Ω dx A t φ dt , 2 2 2 0 2 Ω cos Ω d x A t φ dt Подставим эти производные в исходное дифференциальное уравнение (16.3) : 2 2 2 0 2 0 0 2 0 0 Ω cos Ω 2 Ω sin Ω cos Ω cosΩ A t φ β A t φ ω A t φ f t . (16.5) Это равенство должно соблюдаться при любом t, в т. ч. тогда, когда cos (Ωt + φ 0 ) = 0 либо sin (Ωt + φ 0 ) = 0. Преобразуем правую часть уравнения (16.3) : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cosΩ cos Ω cos Ω cos sin Ω sin f t f t φ φ f t φ φ t φ φ Подставим это выражение в (16.5) и приравняем нулю сначала cos (Ωt + φ 0 ), а затем sin (Ωt + φ 0 ): 2 2 2 0 2 0 0 2 0 0 Ω cos , 2 Ω sin . A ω A f φ β A f φ (16.6) Разделив нижнее равенство на верхнее, получим 0 2 2 0 2 Ω tg Ω β φ ω Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы на φ 0 Найдём амплитуду A 2 вынужденных колебаний из первого уравнения системы (16.6) : общее решение ОДУ частное решение НДУ 135 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2 0 cos 1 1 Ω Ω Ω 1 tg 4 Ω Ω 4 Ω 1 Ω f φ f f f A ω ω ω φ β ω β ω , 0 2 2 2 2 2 2 0 Ω 4 Ω f A ω β (16.7) Исследуем зависимость A 2 (Ω). Значения функции на границах области определе- ния 0 2 2 0 0 f A ω , 2 0 A Функция (16.7) должна иметь максимум. Условие экстремума 2 0 Ω dA d ⇒ 2 2 2 2 0 0 3 2 2 2 2 2 2 0 1 2 Ω 2 Ω 8 Ω 2 0 Ω 4 Ω ω β f ω β , 2 2 2 0 2 Ω Ω Ω 0 β ω ⇒ 2 2 2 0 Ω 2 Ω 0 β ω ; при Ω = 0 функция A 2 (Ω) имеет минимум, а при 2 2 рез 0 Ω 2 ω β (16.8) — резонансной циклической частоте — максимум. Имеет место резонанс — рез- кое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении цикличе- ской частоты вынуждающей силы к резонансной циклической частоте. Графики зависимостей A 2 (Ω) — резонансные кривые — при разных коэффициен- тах затухания изображены на РИС . 16.5 Из формулы (16.8) и РИС . 16.5 видно, что Ω рез < ω < ω 0 . При β → 0 A 2 → ∞ — ампли- туда вынужденных колебаний в системе без затухания неограниченно возрастает. Демонстрации: 1) Резонанс на математических маятниках 2) Резонанс на камертонах 3) Двигатель на подставке 2 136 Рис. 16.5 β = 0 0 A 2 Ω β 1 β 2 < β 1 ω Ω рез ω ω 0 137 Лекция 17 1.15. Механические волны 1.15.1. Уравнение бегущей волны Волна — любое распространяющееся в пространстве возмущение, т. е. изменение какой-либо физической величины с течением времени. Рис. 17.1 Пусть величина ξ зависит от времени и это возмущение распространяется со ско- ростью v — скоростью распространения волны ; ξ = ξ(x, t). Из точки A в точку B волна придёт через время t 2 – t 1 ( РИС . 17.1 ): 2 2 1 1 , , ξ x t ξ x t ⇒ 2 1 2 1 1 1 , , x x ξ x t ξ x t v (17.1) Положим x 1 = 0. Тогда в уравнении (17.1) x 2 → x, t 2 → t, 1 x t t v : 0, ξ t f t , , 0, x x ξ x t ξ t f t v v ; , x ξ x t f t v (17.2) — уравнение бегущей волны ; x t v — фаза волны. 1.15.2. Волновой фронт Волновой фронт (волновая поверхность) — геометрическое место точек, в кото- рых в один и тот же момент времени колебания происходят в одинаковой фазе. Часто встречающиеся примеры — плоский и сферический волновой фронт — по- казаны на РИС . 17.2 0 x ξ x 1 A t 1 x 2 B t 2 138 Плоская волна Сферическая волна волновая поверхность — плоскость волновая поверхность — сфера Рис. 17.2 П РИМЕРЫ Демонстрации: 1) Волны на поверхности жидкости 2) Волны на поверхности жидкости 3) Волновая машина со связями 1.15.3. Гармоническая волна Гармоническая (монохроматическая, синусоидальная) волна — процесс рас- пространения гармонических колебаний в пространстве. Уравнение гармонических колебаний 0 cos f t A ωt φ Уравнение бегущей волны 0 0 , cos cos x ωx x ξ x t f t A ωt φ A ω t φ v v v , Волны продольные колебания в направлении распространения волны поперечные колебания в направлении перпендикулярном направлению распространения волны Звуковая волна Электромагнитная волна Волны на шнуре Волны на поверхности жидкости 139 0 , cos x ξ x t A ω t φ v (17.3) — уравнение плоской бегущей гармонической волны Характеристики гармонической волны Скорость v Начальная фаза φ 0 Циклическая частота ω Период 2π T ω Частота 1 2 ω ν π T Амплитуда A — максимальное значение колеблющейся величины. Длина волны — расстояние, которое волна проходит за время одного полного ко- лебания: 2π λ T ω ν v v v Волновое число 2π ω πν k λ 2 v v , [k] = м –1 Запишем уравнение (17.9) через волновое число: 0 , cos ξ x t A ωt kx φ «Мгновенная фотография» гармонической волны Рис. 17.3 Демонстрация: Волновая машина В общем случае (при произвольной форме волнового фронта) уравнение бегущей гармонической волны 0 , cos ξ r t A ωt kr φ , ξ 0 x λ A –A ξ(x, t) ξ(x, t + Δt) 140 k — волновой вектор ; k v 1.15.4. Волновое уравнение Продифференцируем дважды уравнение плоской бегущей волны (17.2) по x, затем по t: 1 ξ f x v , 2 2 2 1 ξ f x v ; ξ f t , 2 2 ξ f t ; сравнивая вторые производные по x и t, получим дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных 2 2 2 2 2 1 ξ ξ x t v (17.4) — волновое уравнение Общее решение волнового уравнения 1 2 , x x ξ x t f t f t v v Вид функций f 1 и f 2 определяется начальными условиями. прямая волна обратная волна 141 II семестр Лекция 18 3. Электродинамика 3.1. Электромагнитное поле 3.1.1. Поле Поле — любая изменяющаяся в пространстве физическая величина. Силовые линии строят так, чтобы их густота была пропорциональна модулю век- торного поля. 3.1.2. Электрический заряд. Закон сохранения электрического заряда Электрический заряд — квантовое число, характеризующее частицу как источ- ник электромагнитного взаимодействия (см. 0.3 и 7.4.2 ). В классической физике электрический заряд — скалярная алгебраическая вели- чина — характеристика электрически заряженного тела, т. е. тела, на которое дей- ствует электромагнитное поле (см. 3.1.3 ); [q] = Кл (кулон). Также электрическим зарядом часто называют саму заряженную частицу (тело). Элементарный заряд — минимальный (по модулю) электрический заряд частиц, наблюдаемых в свободном состоянии 46 ; e = 1,60·10 –19 Кл. Электрически изолированная система — система тел, для которой сумма элек- трических зарядов частиц, появившихся в этой системе, равна нулю. Закон сохранения электрического заряда: суммарный электрический заряд лю- бой электрически изолированной системы не изменяется в любых процессах, про- исходящих в этой системе: const Q Линейная плотность электрического заряда — заряд, приходящийся на еди- ничный участок протяжённого заряженного тела: 46 Кварки, электрический заряд которых по модулю равен 1 3 e и 2 3 e (см. 7.5.1 ), в свободном состоя- нии не наблюдаются. Поле скалярное температурное поле T(x, y, z) изображается изолиниями (поверхностями постоянной величины) векторное гравитационное поле изображается силовыми линиями 142 dq τ dl ; Кл м τ Поверхностная плотность электрического заряда — заряд, приходящийся на единичный участок поверхности заряженного тела: dq σ dS ; 2 Кл м σ Объёмная плотность электрического заряда — заряд, приходящийся на уча- сток заряженного тела единичного объёма: dq ρ dV ; 3 Кл м ρ Электрический заряд тела выражается через плотности заряда следующим обра- зом: l S V q τdl σdS ρdV , здесь l, S, V — соответственно длина, площадь поверхности и объём заряженного тела. Электрический ток — упорядоченное движение электрически заряженных ча- стиц. 3.1.3. Электромагнитное поле Электромагнитное поле — физический объект — действует на электрически за- ряженные частицы. Для того чтобы характеризовать электромагнитное поле в какой-либо точке про- странства, мысленно вносим в эту точку пробный заряд. Пробный заряд — материальная точка, имеющая положительный электрический заряд, настолько малый, чтобы не искажать электромагнитное поле, т. е. не изме- нять расположение заряженных тел, создающих это поле. На частицу с зарядом q 0 (пробным зарядом), движущуюся со скоростью v , электро- магнитное поле действует с силой 1 0 2 0 , поле , , поле F F q F q v Здесь 1 F — составляющая силы, которая не зависит от скорости пробного заряда, а 2 F зависит в т. ч. от скорости пробного заряда. Попробуем ввести характеристики, которые определяли бы поле и не зависели бы от свойств заряженного тела, помещённого в это поле. Для этого рассмотрим две ситуации, в одной из которых 2 0 F , а в другой 1 0 F ( ТАБЛ . 18.1 ). |