Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020

• Название: Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 7.51 Mb.
• Имя файла: conspectus_01.pdf
• Тип: Конспект; #794791
• страница: 13 из 44

самостоятельно
найти вероятности отдельных макро- состояний в
ПРИМЕРЕ
2
, вероятность наименее вероятного состояния в
ПРИМЕРЕ
3
.)
2.6.4. Статистический смысл энтропии
Пусть имеются две термодинамические системы, имеющие статистические веса W
1
и W
2
. Объединим эти системы в одну. Статистический вес объединённой системы
1 2
W W W


— термодинамическая вероятность не обладает свойством аддитивности. Адди- тивная величина — логарифм термодинамической вероятности:
1 2
ln ln ln
W
W
W


Энтропия
ln
S k W

– мера неупорядоченности термодинамической системы.
Можно доказать, что два определения энтропии — термодинамическое (см.
РАЗДЕЛ
2.6.1
) и статистическое — эквивалентны.
2.6.5. II начало термодинамики
II начало термодинамики
указывает направление протекания термодинамиче- ских процессов. Оно не следует из фундаментальных физических законов.
Существует много формулировок II начала термодинамики, все они эквивалентны.
Приведём три из этих формулировок.
1.
В замкнутой (изолированной) термодинамической системе все процессы идут в сторону возрастания энтропии.
2.
Невозможен термодинамический процесс, единственным результатом кото- рого была бы передача тепла от менее нагретого тела к более нагретому.
3.
Невозможен вечный двигатель II рода
35
, т. е. двигатель, который превращал бы всё подведённое к нему тепло в работу без каких-либо изменений в других те- лах.
Возможны (но маловероятны) самопроизвольные отклонения термодинамиче- ских систем от равновесного состояния —
флуктуации
35
Вечный двигатель I рода — двигатель, совершающий работу без подвода энергии.

106
2.6.6. Изменение энтропии в термодинамических процессах
В неизолированной системе энтропия может как возрастать, так и убывать.
Обратимые процессы идут при максимальной энтропии, причём обрат
δQ
dS
T


 



или
2 2
1 1
обрат
δQ
S
S
T



 




В необратимом процессе
δQ
dS
T

, так как приращение энтропии обусловлено двумя процессами — подводом тепла и переходом системы к равновесному состо- янию.
Равновесный адиабатный процесс —
изоэнтропический
процесс (δQ = 0 → dS = 0).
П
РИМЕР
Изменение энтропии идеального газа
Идеальный газ переходит из состояния с параметрами p
1
, V
1
, T
1
в состояние с пара- метрами p
2
, V
2
, T
2
. Найти изменение энтропии газа.
Так как энтропия — функция состояния системы, то результат не должен зависеть от того, каким способом происходит переход из начального в конечное состояние.
Перейдём из состояния
1
в состояние
2
обратимым образом. Как обсуждалось
РА-
НЕЕ
, возможны два обратимых процесса — квазистатический адиабатный и изотер- мический процессы. Поэтому точки
1
и
2
на диаграмме
РИС
. 12.2
А
мы соединим изо- термой и адиабатой через промежуточное состояние
3
:
1-3
— изотермический процесс,
3-2
— адиабатный процесс.
На
РИС
. 12.2
Б
изображены графики тех же процессов в координатах (T, S).
Рассчитаем изменение энтропии:
2 3
2 12 1
1 1
3
обрат
Δ
δQ
δQ
δQ
S
T
T
T












В изотермическом процессе
1-3
δQ = δA = pdV, а pV = p
1
V
1
⇒
1 1
p V
p
V

;
3 3
3 1 1 1 1 12 1
1 1
1 1
1
Δ
ln
V
p V
p V
pdV
dV
S
T
T
V
T
V





(12.1)
0

107
а
б
Рис. 12.2
Найдём V
3
из уравнений адиабатного и изотермического процессов:
1 1 3 3 2 2 3 3
,
γ
γ
p V
p V
p V
p V





Разделим нижнее уравнение на верхнее:
1 2
2 3
1 1
γ
γ
p V
V
p V


⇒
1 1
1 2
2 3
1 1
1 1
γ
γ
γ
γ
p
V
V
p
V





  


Выразим показатель адиабаты γ через число степеней свободы i молекулы:
2
i
γ
i


⇒
2 2
1 1
i
γ
i
i

 
  ,


2 2
1 2
2
i
i
γ
i
γ
i






;
2 2
2 2
2 3
1 2
1
i
i
i
p
V
V
p
V



  


Подставим это выражение в формулу
(12.1)
:
2 2
2 1 1 2
2 1 1 2
2 12 1
1 1
1 1
2 1
2
Δ
ln ln ln
2 2
i
i
i
p V
p
V
p V
p
V
i
i
S
T
p
T
p
V
V



























Так как из уравнения Менделеева-Клапейрона
1 1 1
p V
νR
T

,
2 2
1 1 2
2 12 1
1 1
1 1
Δ
ln ln ln ln
V
p
V
p
p
V
p V
p
V
S
ν C
C
C
C
p
V
T
p
V
















2.6.7. III начало термодинамики
III начало термодинамики (тепловой закон Нернста):
при стремлении к нулю термодинамической температуры энтропия термодинамической системы стре- мится к нулю.
Другая формулировка: абсолютный нуль недостижим.
Из закона Нернста следует, что для любой термодинамической системы
0
V
p
1
3
2
0
S
T
1
3
2

108 0
0
V
T
dU
C
dT









2.7. Классические распределения частиц идеального газа
2.7.1. Функция распределения
Пусть имеется термодинамическая система из N частиц; ξ — величина, характери- зующая частицу. Вероятность того, что величина ξ будет иметь значение ξ
i
,
i
i
N
P
N

, где N
i
— количество частиц, для которых ξ = ξ
i
Условие нормировки:
1
i
P 

(так как то, что величина ξ примет какое-нибудь значение из области определения, есть достоверное событие).
Среднее значение
величины ξ:
i i
i i
N ξ
ξ
Pξ
N




Если величина ξ изменяется непрерывно, то вероятность того, что ξ = (ξ, ξ + dξ)
 
dP f ξ dξ

, где f(ξ) —
функция распределения вероятности (плотность вероятности)
П
РИМЕР
Распределение Гаусса
Распределение Гаусса — это функция вида
 


2 0
α ξ ξ
f ξ
Ae



, где ξ
0
— постоянная, α — положитель- ная постоянная; коэффициент A нахо- дится из условия нормировки
(см.
НИЖЕ
).
График распределения
Гаусса показан на
РИС
. 12.3
По такому закону распределяются ре- зультаты серии большого числа случай- ных измерений
36
Демонстрация:
Доска Гальтона
Свойства функции распределения
37
1.
Определённость и непрерывность во всей области определения ξ(a, b)
36
Результаты серии небольшого числа случайных измерений (N ≲ 10) подчиняются распределению
Стьюдента (см.
ВВОДНУЮ ГЛАВУ ЛАБОРАТОРНОГО ПРАКТИКУМА
).
37
В «живой» лекции эти свойства можно записать математическими значками.
0
ξ
f(ξ)
ξ
0
Рис. 12.3

109
2.
Дифференцируемость во всей области определения
3.
Интегрируемость во всей области определения
4.
Условие нормировки (нормируемость):
 
1
b
a
f ξ dξ 

Зная функцию распределения, можно найти среднее значение любого параметра, зависящего от ξ.
Вероятность того, что величина ξ принимает значение от ξ
1
до ξ
2
,


 
2 1
1 2
,
ξ
ξ
P ξ ξ
f ξ dξ


Среднее значение
ξ
 
b
a
ξ
ξf ξ dξ


Среднее значение квадрата
ξ
 
2 2
b
a
ξ
ξ f ξ dξ


Среднее значение функции
φ(ξ)
   
b
a
φ
φ ξ f ξ dξ


Наиболее вероятное значение
ξ
 
вер
0
ξ ξ
df ξ
dξ

 ⇒ ξ
вер
Дополнительное задание
Найти по
РАСПРЕДЕЛЕНИЮ
Г
АУССА
(a → –∞, b → ∞): нормировочный множитель A, ξ ,
2
ξ
, ξ
вер

110
Лекция 13
2.7.2. Распределение молекул идеального газа по скоростям (распределение
Максвелла)
Молекулы идеального газа движутся хаотически, но в этом хаосе есть закономер- ности. Рассмотрим идеальный газ из N частиц.
Теперь случайная величина ξ — это модуль скорости v молекул идеального газа.
Найдём функцию распределения f(v).
Рассмотрим подпространство фазового пространства — пространство скоростей
(v
x
, v
y
, v
z
). Плотность изобразительных то- чек в этом пространстве будет равна Nf(v).
Количество точек в сферическом слое ра- диуса v толщиной dv (
РИС
. 13.1
)
 
2 4
dN Nf
π d

v
v v .
Вероятность попадания изобразительной точки в этот слой
 
2 4
dN
dP
f
π d
N


v
v v ; плотность вероятности
 
 
2 4
dP
F
f
π
d


v
v
v
v
Так как все направления равноправны,
 
 
 
 
1 2
3
x
y
z
f
φ
φ
φ

v
v
v
v ,
(13.1) функции φ
1
, φ
2
, φ
3
одинаковы: φ
1
= φ
2
= φ
3
= φ. Прологарифмируем выражение
(13.1)
:
 
 
 
 
ln ln ln ln
x
y
z
f
φ
φ
φ



v
v
v
v .
(13.2)
Продифференцируем это выражение по v
x
:
 
 
 
 
1 1
x
x
x
x
df
dφ
f
d
φ
d



v
v
v
v
v
v
v
v
;


2 2
2 2
2 2
2 2
x
y
z
x
x
x
x
x
y
z











v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
;
 
 
1 1
x
x
x
f
φ
f
φ



v
v
v
v
v
v
⇒
 
 
x
x
x
φ
f
f
φ



v
v
v v
v
v
Аналогично, продифференцировав
(13.2)
по v
y
, v
z
, получим
 
 
y
y
y
φ
f
f
φ



v
v
v v
v
v
,
 
 
z
z
z
φ
f
f
φ



v
v
v v
v
v
v
z
v
y
v
x
O
v
dv
Рис. 13.1

111
Получается, что
 
const
f
f


v
v v
. Положим
 
f
α
f

 
v
v v
. Тогда
 
 
1
x
x
x
x
dφ
α
φ
d
 
v
v
v
v
Решим это дифференциальное уравнение методом разделения переменных:
 
 
x
x
x
x
dφ
α d
φ
 
v
v v
v
⇒
 
2
ln const
2
x
x
α
φ
 

v
v
⇒
 
2 2
x
α
x
φ
Ae


v
v
Аналогично
 
2 2
y
α
y
φ
Ae


v
v
,
 
2 2
z
α
z
φ
Ae


v
v
По формуле
(13.1)
 


2 2
2 2
3 3
2 2
x
y
z
α
α
f
A e
A e

 



v
v v
v
v
(13.3)
Выразим коэффициент A из условия нормировки:
 
 
 
1
x
x
y
y
z
z
φ
d
φ
d
φ
d












v
v
v
v
v
v
⇒
2 2
1
x
α
x
A e
d





v
v
Определённый интеграл в последнем выражении поддаётся вычислению в элемен- тарных функциях; в результате получим
2
α
A
π

. Подставим этот коэффициент в выражение для f(v)
(13.3)
:
 
2 3
2 2
2
α
α
f
e
π



  


v
v
Найдём α. С одной стороны,
2 0
1 3 2
3 2
x
m
kT
 
v
⇒
2 0
x
kT
m

v
(ср.
РАЗДЕЛ
2.3.2
), здесь m
0
— масса молекулы. С другой стороны,
 
2 2
x
x
x
x
φ
d




v
v
v
v .
Отсюда можно получить
0
m
α
kT

Итак,
 
2 0
0 2
2
x
m
kT
x
m
φ
e
πkT


v
v
, аналогичные выражения для φ(v
y
), φ(v
z
);

112
 
2 0
3 2
0 2
2
m
kT
m
f
e
πkT



 



v
v
;
(13.4)
 
2 0
3 2
2 0
2 4
2
m
kT
m
F
π e
πkT



 



v
v
v
—
функция распределения Максвелла
. График этой функции представлен на
РИС
. 13.2
Рис. 13.2
Физический смысл площади под этой кривой на участке (v
1
, v
2
) — доля молекул со скоростями от v
1
до v
2
 
2 1
ΔN
F
d
N


v
v
v v .
При нагревании доля молекул с большими скоростями возрастает, а доля молекул с малыми скоростями убывает.
Наивероятнейшая скорость
молекулы идеального газа — скорость, соответству- ющая максимуму функции распределения F(v). Вычислим её:
 
вер
0
dF
d


v v
v
v
⇒
2 2
0 вер
0 вер
0
вер
2 2
2
вер вер
2 2
0 2
m
m
kT
kT
m
e
e
kT











v
v
v
v
v
, вер
0 2
2
kT
RT
m
μ


v