Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
 Скачать 7.51 Mb.
|
2 1 2 λ τ πd n v v Среднее число столкновений молекулы в единичный промежуток времени 2 1 2 z πd n τ λ v v . Численная оценка d = 2·10 –10 м; n = 3·10 25 м –3 ⇒ 7 2 10 м λ ; при T = 300 К 3 м 1 10 с v ; 3 9 1 2 10 5 10 с 2 10 z ; 10 2 10 с τ 2.9.2. Эмпирические уравнения явлений переноса Явления переноса (кинетические явления) — явления, происходящие в процессе установления термодинамического равновесия в макросистеме. Три основных кинетических явления, их эмпирические уравнения с выводом и со- ответствующие характеристики сред представлены в ТАБЛИЦЕ 14.1 Таблица 14.1 Явления переноса Диффузия Теплопроводность Вязкость (внутреннее трение) выравнивание концен- траций (плотности) в смеси нескольких ве- ществ, обусловленное тепловым движением молекул выравнивание темпера- тур, обусловленное тепло- вым движением молекул выравнивание скоростей упо- рядоченного движения слоёв жидкости или газа, обуслов- ленное тепловым движением молекул — перенос массы — перенос энергии — перенос импульса 0 123 (ρ 2 > ρ 1 ) (T 2 > T 1 ) (u 2 > u 1 ) Δm — масса вещества, переносимого через площадку S; Δ m S , Δ Δ m t , Δt – время; Δ grad m ρ ; ΔQ — энергия, переноси- мая через площадку S; Δ Q S , Δ Δ Q t , Δ grad Q T ; f x — модуль силы, с которой один слой площадью S дей- ствует на другой; x f S , grad x f u ; Δ Δ ρ m D S t z Δ Δ T Q æ S t z x u f η S z — закон Фика — закон Фурье — закон Ньютона Знак « –» означает, что перенос вещества про- исходит в сторону уменьшения плотности (концентрации). Знак « –» означает, что по- ток тепла идёт в сторону уменьшения температуры. D — коэффициент диффузии ; 2 м с D æ — коэффициент теп- лопроводности ; Вт м К æ η — коэффициент вязкости ; кг м Па с= с η Для идеального газа: 1 3 D λ v 1 3 V æ c ρ λ v 1 3 η ρ λ v Численная оценка 7 2 10 м λ ; 3 м 1 10 с v ; 3 кг 1 м ρ ; 2 кг 2,8 10 моль μ 2 4 5 2 м 10 7 10 3 с D 3 7 2 2 1 5 8,31 10 2 10 3 2 2,8 10 Вт 5 10 м К æ 3 7 5 1 10 2 10 7 10 Па с 3 η Демонстрации: 1) Теплопроводность твёрдых тел 2) Внутреннее трение в газах S z ρ 1 ρ 2 S z T 1 T 2 z x S 124 Лекция 15 2.9.3. Молекулярно-кинетическая теория явлений переноса (на примере внутрен- него трения) Рассмотрим два слоя газа, расстояние между которыми равно 2 λ , движущихся парал- лельно друг другу со скоростями 1 u и 2 u 1 2 , u u v ( РИС . 15.1 ). Благодаря тепловому движению молекулы переходят из одного слоя в другой, соударя- ются друг с другом и обмениваются импуль- сами (см. «А БСОЛЮТНО УПРУГИЙ УДАР » ), в т. ч. компонентами импульса, соответствую- щими упорядоченному движению, поэтому импульсы упорядоченного движения слоёв выравниваются. Среднее расстояние между точками, в кото- рых происходят последовательные столкновения молекулы, равно λ . Поэтому положим 1 u u z λ , 2 u u z λ Потери импульса слоя 1 за время Δt 1 12 0 1 Δ Δ p N m u , где m 0 – масса молекулы, ΔN 12 — число молекул, перешедших из слоя 1 в слой 2 ; импульс, приобретённый слоем 1 , 1 21 0 2 Δ Δ p N m u , где ΔN 21 — число молекул, перешедших из слоя 2 в слой 1 . Изменение импульса слоя 1 1 12 0 1 21 0 2 Δ Δ Δ p N m u N m u Найдём ΔN 12 и ΔN 21 : 12 21 Δ Δ Δ 6 n N S t N v (ср. 2.2.3 ), n — концентрация газа, ΔN = const. Из этого следует, что 0 1 2 1 Δ 6 m n p S u u v ; так как m 0 n = ρ — плотность газа, 1 2 1 Δ 1 Δ 6 x p f S ρ u u t v ; 2 1 Δ u u u z z , Δ 2 z λ , поэтому z x S z Рис. 15.1 125 1 6 x u f ρ λ S z v По закону Ньютона x u f η S z , отсюда 1 3 η ρ λ v 126 1. Механика 42 1.14. Механические колебания 43 1.14.1. Виды колебаний Колебания — периодические изменения какой-либо физической величины во вре- мени. Система тел, в которой происходят колебания, — колебательная система Колебания могут иметь разную физическою природу, но схожее математическое описание. Сейчас мы будем рассматривать механические колебания. 1.14.2. Свободные незатухающие колебания (собственные) колебания) Рассмотрим свободные колебания пружин- ного маятника (трения нет) в горизонталь- ном направлении. Груз — материальная точка массы m — колеблется на пружине жёстко- стью k ( РИС . 15.2 ), после того как его вывели из положения равновесия (точка O) и предоста- вили систему самой себе. Запишем II закон Ньютона для груза: упр т ma F N F Спроецируем это уравнение на ось x. Так как F упр x = –kx, x ma kx . По определению, 2 2 x d x a dt . Получим дифференциальное уравнение 2 2 0 d x m kx dt ⇒ 2 2 0 d x k x dt m . Обозначим 42 Материал параграфов 1.14 и 1.15 выносится на конец I семестра. 43 Материал параграфов 1.14 и 1.15 входит в экзаменационную программу II семестра. Материал лекций 15 (раздел «Механические колебания»), 16 и 17 может быть, по обстоятельствам, прочитан во II семестре перед темой «Э ЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ » или параллельно материалу этой темы. Колебания свободные колебательная система предоставлена самой себе вынужденные при периодическом внешнем воздействии незатухающие затухающие W↓ Рис. 15.2 k O m x 127 2 0 k ω m ; 2 2 0 2 0 d x ω x dt (15.1) — дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его об- щее решение 44 0 cos x t A ω t φ (15.2) содержит две произвольные константы A и φ. Данные константы определяются из начальных условий. Пусть при t = 0 x = x 0 , v x = 0 (груз оттянули на x 0 и отпустили без начальной скоро- сти). Первая производная функции (15.2) — проекция скорости груза на ось x 0 0 sin x dx t Aω ω t φ dt v (15.3) Подставим начальные условия в функции (15.2) и (15.3) и найдём константы A и φ: 0 0 cos , 0 sin x x A φ Aω φ v ⇒ 0 0 cos , 0 sin x A φ Aω φ ⇒ 0 0, φ A x Частное решение дифференциального уравнения (15.1) при данных начальных условиях 0 0 cos x t x ω t ; проекции скорости и ускорения на ось x 0 0 0 cos x t x ω ω t v , 2 0 0 0 cos x a t x ω ω t Графики функций x(t), v x (t), a x (t) представлены на РИС . 15.3 . Решение (15.2) — гар- моническая функция. В общем решении (15.2) : A — амплитуда колебаний — максимальное отклонение колеблющейся вели- чины от равновесного значения; ω 0 — циклическая частота ; выражение в скобках (аргумент косинуса) — фаза колебаний; φ — начальная фаза Введём другие характеристики гармонических колебаний: период T 0 — время, за которое колебательная система совершает одно полное ко- лебание; частота ν 0 — число полных колебаний в единичный промежуток времени; 0 0 2π T ω , 0 0 0 1 2 ω ν π T ; 44 Студентам предлагается проверить самостоятельно , является ли формула (15.2) общим реше- нием дифференциального уравнения (15.1) 128 1 0 рад с с ω , 0 Гц ν (герц). а б в Рис. 15.3 Энергия колебаний (механическая энергия колебательной системы) 0 x t x 0 –x 0 0 x 0 ω 0 –x 0 ω 0 t v x t 0 a x 129 2 2 к п const 2 2 m kx W W W v (студенты проверяют выполнение этого равенства самостоятельно ). Демонстрация: Пружинные маятники П РИМЕРЫ 1. Математический маятник Математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити в одно- родном гравитационном поле. Найдём период колебаний математического маятника массы m на нити длиной l ( РИС . 15.4 ). Запишем II закон Ньютона: т ma F T Спроецируем это уравнение на оси естественной си- стемы координат: т cos n ma T F φ , т sin τ ma F φ (15.4) Груз вращается вокруг оси z по окружности радиуса l. Выразим тангенциальное ускорение маятника через угловое ускорение: τ z a ε l , (15.5) а по определению 2 2 z d φ ε dt (15.6) Подставим (15.5) и (15.6) , а также F т = mg в уравнение (15.4) : 2 2 sin d φ m l mg φ dt , 2 2 sin 0 d φ g φ dt l При малых углах sin φ ≈ φ и это дифференциальное уравнение примет вид 2 2 0 2 0 d φ ω φ dt , — дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний, где 0 g ω l Период колебаний математического маятника 0 0 2π T ω , 0 2 l T π g l m φ z ⊙ Рис. 15.4 130 зависит только от его длины. 2. Физический маятник Физический маятник — твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, про- ходящей через точки этого тела, не являющиеся его цен- тром масс, в однородном гравитационном поле. Пусть масса маятника равна m, его момент инерции отно- сительно оси маятника равен I, расстояние между центром масс маятника и его осью z равно d ( РИС . 15.5 ). Найдём пе- риод колебаний маятника. Запишем основное уравнение динамики вращательного движения: т F N Iε M M ( N — сила реакции оси маятника). Спроецируем это урав- нение на ось маятника: 2 2 sin d φ I mgd φ dt При малых углах φ sin φ ≈ φ и 2 2 0 d φ mgd φ dt I . Обозначив 0 mgd ω I , получим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний. Пе- риод колебаний 0 0 2π T ω , 0 2 I T π mgd Приведённая длина физического маятника — длина математического маятника с периодом собственных колебаний, равным периоду собственных колебаний дан- ного физического маятника. Демонстрация: Математический и физический маятники Из приведённых выше примеров видно, что свободные незатухающие механиче- ские колебания будут гармоническими лишь при малых изменениях колеблю- щейся величины. Рис. 15.5 C φ ⊙ z d ⊗ ⊗ 131 Лекция 16 1.14.3. Свободные затухающие колебания Рассмотрим пружинный маятник (см. 1.14.2 ), введя силу сопротивления в виде сопр F r v — сила вязкого трения, r — положительная константа. Колебательная система изображена на РИС . 16.1 Запишем II закон Ньютона для груза: упр сопр т ma F N F F В проекции на ось x 2 2 d x dx m kx r dt dt , 2 2 0 d x r dx k x dt m dt m . Обозначим 0 k ω m и 2 r β m , β — коэффициент затухания ; 2 2 0 2 2 0 d x dx β ω x dt dt (16.1) — дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний Это также однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоян- ными коэффициентами. Вид его общего решения 45 зависит от величины коэффи- циента затухания. 1. Сильное затухание (β ≥ ω 0 ) Общее решение дифференциального уравнения (16.1) 2 2 2 2 0 0 1 2 β β ω t β β ω t x t A e A e — апериодическое решение, здесь A 1 и A 2 — постоянные, определяемые из началь- ных условий. Колебаний нет, имеет место апериодический процесс. Примерный график апериодического процесса показан на РИС . 16.2 45 Можно провести решение дифференциального уравнения (16.1) через характеристическое урав- нение. O x k m |