Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020

• Название: Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 7.51 Mb.
• Имя файла: conspectus_01.pdf
• Тип: Конспект; #794791
• страница: 11 из 44

Нормальные условия:
p
0
= 1,01·10 5
Па; T
0
= 273 К.

88
Лекция 10
2.2.3. Основное уравнение МКТ
Рассмотрим равновесный идеальный газ, состоящий из одинаковых молекул мас- сой m
0
. Все молекулы имеют разные по модулю и направлению скорости. Давление газа обусловлено ударами молекул о стенку сосуда.
1. Удар одной молекулы
Пусть молекула массой m
0
движется перпендикулярно стенке со скоростью v и испытывает абсолютно упругий удар
(
РИС
. 10.1
). После удара молекула отскакивает со скоростью
v (см.
«У
ДАР ШАРА ОБ УПРУГУЮ ПЛИТУ
»
). По II закону Ньютона изменение импульса молекулы при ударе
 
*
0
Δ m
f τ

v
, где
*
f — сила, с которой стенка действует на молекулу, τ — длительность удара. Спроецируем это равенство на ось x:
*
0 0
m
m
f τ


 
v
v
По III закону Ньютона сила, с которой молекула действует на стенку,
*
f
f
  ⇒
*
f
f

,
0 2m
f
τ

v
2. Число ударов о стенку за время Δt >> τ
Рассмотрим i-ю скоростную группу молекул, т. е. молекулы со скоростями v = (v
i
, v
i
± Δv). Выделим прямой цилиндр, одно из оснований которого площадью ΔS прилегает к стенке сосуда, а высота равна v
i
Δt (
РИС
. 10.2
). Число молекул внутри этого цилиндра, которые долетят до стенки за время Δt,
Δ
Δ Δ
6
i
i
i
n
N
t S
 v
, где n
i
— концентрация молекул i-ой скоростной группы; ко- эффициент 1/6 обусловлен тем, что из всех молекул 1/3 дви- жется вдоль оси x, из них ½ движется в направлении стенки.
3. Импульс, полученный стенкой от молекул i-ой скоростной группы за время Δt
Средний импульс, переданный стенке молекулами i-ой скоростной группы, равен сумме импульсов ударов отдельных молекул этой группы (все выражения далее записываем в проекции на ось x):
2 0
0 0
0
Δ
2
Δ
2
Δ Δ 2
Δ Δ
6 3
i
i
i
i
i
i
i
i
i i
m
n
F t
f τ
m
N
m
t S m
n
t S









v
v
v
v
v
, здесь F
i
— суммарная сила, с которой молекулы i-ой скоростной группы действуют на стенку (участок площадью ΔS). Давление молекул i-ой скоростной группы
x
m
0
Рис. 10.1
v
i
Δt
x
m
0
ΔS
Рис. 10.2
3

89 2
0
Δ
3
i
i i
i
F
m n
p
S


v
4. Учёт давления всех скоростных групп молекул
По закону Дальтона
2 2
0 0
3 3
i
i i
i i
m
m
n
p
p
n
n
n






v
v
;
i
n
n


;
2 2
2 2
2 1 1 2 2 1
2
i i
i i
i
n
n
n
n
n
n
n
n

 



   

v
v
v
v
v
;
2 0
3
m n
p 
v .
(10.1)
2
кв

v
v —
средняя квадратичная скорость
молекулы идеального газа.
Преобразуем результат
(10.1)
:
2 0
2 3
2
m
p
n

v
—
основное уравнение МКТ идеального газа
;
2 3
p
n ε

(10.2)
—
основное уравнение МКТ идеального газа для энергии
. Здесь
ε
— средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа (поступательного движения).
2.2.4. Молекулярно-кинетическое толкование абсолютной температуры
Из выражений
(9.2)
и
(10.2)
следует
2 3
p
n ε
p nkT







⇒
2 3
kT
ε

⇒
3 2
ε
kT

Абсолютная температура пропорциональна средней кинетической энергии посту- пательного движения, приходящейся на 1 молекулу.
Энергетическая температура
2 0
2 2
3 3
2
m
θ kT
ε



v
; [θ] = Дж.
Среднеквадратичная скорость молекулы идеального газа кв
0 0
0 2
2 3 3
3 2
ε
kT
kT
RT
m
m
m
μ





v
; кв
3RT
μ

v

90
Численная оценка
При t = 27°C (T = 300 К) для кислорода (µ = 3,2·10
–2
кг/моль):
θ = 4,2·10
–21
Дж;
2 2
кв
2 3 8,31 3 10
м
10 3 2,6 483 3,2 10
с


 





v
2.3. I начало термодинамики
2.3.1. Внутренняя энергия
Внутренняя энергия
термодинамической системы — это сумма следующих со- ставляющих:
1.
Кинетическая энергия теплового движения молекул (поступательного, враща- тельного и колебательного)
2.
Потенциальная энергия взаимодействия молекул
3.
Потенциальная энергия взаимодействия атомов в молекуле
4.
Энергия атомных оболочек
5.
Внутриядерная энергия
2.3.2. Внутренняя энергия идеального газа
Внутренняя энергия идеального газа
— кинетическая энергия поступательного и вращательного движения молекул.
Для одноатомного газа с учётом того, что средняя кинетическая энергия поступа- тельного движения молекулы
3 2
ε
kT

, получим выражение для внутренней энергии
A
3 3
3 3
2 2
2 2
m
U N ε
NkT
νN kT
νRT
RT
μ





Число степеней свободы
i механической системы — наименьшее число независи- мых координат, с помощью которых определяется положение системы в простран- стве.
Число степеней свободы молекул указано в
ТАБЛИЦЕ
10.1
Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы:
в любой тер- модинамической системы на одну степень свободы молекулы приходится энергия, в среднем равная
2
kT
Доказательство
Для поступательного движения поступ
3 2
ε
kT

и
2 2
2 2
0 0
0 0
2 2
2 0
поступ
1 3
2 2
2 2
2
x
y
z
x
y
z
m
m
m
m
m
ε
ε








v
v
v
v
v
v
v
;
1 2
kT
ε 
, ч. т. д.

91
Внутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий поступа- тельного и вращательного движения всех молекул газа:
A
2 2
2 2
i
i
i
i m
U N ε
N NkT
νN kT
νRT
RT
μ





,
2
i m
U
RT
μ

Таблица 10.1
Одноатомная молекула
Двухатомная молекула
Многоатомная молекула
3
i 
5
i 
6
i 
3 степени свободы, соответствующие
поступательному
движению
3 степени свободы, соответствующие
поступательному
движению
+ 2 степени свободы, соответствующие
вращательному
движению
3 степени свободы, соответствующие
поступательному
движению
+ 3 степени свободы, соответствующие
вращательному
движению
Внутренняя энергия — функция состояния термо- динамической системы.
Изменение внутренней энергии при переходе си- стемы из состояния
1
в состояние
2
(см. диаграмму
РИС
. 10.3
)


2 1
2 1
Δ
Δ
2 2
i m
i m
U U
U
R T T
R T
μ
μ





Изменение внутренней энергии термодинамиче- ской системы не зависит от способа перехода си- стемы из одного состояния в другое, а определя- ется только начальным и конечным состояниями системы.
y
z
x
O

y
z
x
O
x
z
y
z
x
O
x
z
y
O
V
p
1
2
Рис. 10.3

92
2.3.3. Работа газа
Пусть газ находится под подвижным поршнем под давлением p
(
РИС
. 10.4
). Поршень совершает малое перемещение
dl , при этом объём газа изменяется на dV. Газ действует на поршень с силой
F
, F = pS, где S — площадь поршня. Найдём работу газа δA при элементарном расширении:
δA Fdl Fdl pSdl pdV




,
δA pdV

Работа газа
2 1
A
pdV


Графический смысл работы — площадь под графи- ком p(V) (
РИС
. 10.5
).
Работа — характеристика не макросостояния тер- модинамической системы, а термодинамического процесса, она зависит от способа перехода из начального в конечное состояние. Поэтому эле- ментарная работа не является полным дифферен- циалом какой-либо величины — функции состоя- ния. По этой причине малое приращения работы
(и других величин, не являющихся полными диф- ференциалами) принято обозначать буквой δ, а малое приращение температуры, объёма, внутренней энергии и т. п. — знаком дифференциала d.
П
РИМЕР
Работа при изотермическом расширении идеального газа
Идеальный газ расширяется при постоянной тем- пературе от объёма V
1
при давлении p
1
до объёма
V
2
. Найти работу газа.
Из уравнения состояния идеального газа: const
pV 
⇒
1 1
pV p V

,
 
1 1
p V
p V
V

График
33
этой функции представлен на
РИС
. 10.6
Вычислим работу:
 
2 2
1 1
2 1 1 1 1 1
ln
V
V
V
V
V
dV
A
p V dV
p V
p V
V
V





33
На графиках термодинамических процессов следует обозначать начальное и конечное состояния и направление процесса.
p
dV
Рис. 10.4
0
V
p
1
2
V
1
V
2
Рис. 10.5
0
V
p
V
1
V
2
p
1
p
2
1
2
Рис. 10.6

93
2.3.4. Количество теплоты. Теплоёмкость
Количество теплоты
— характеристика термодинамического процесса — энер- гия, передаваемая термодинамической системе без совершения работы.
Теплоёмкость системы (тела)
— характеристика термодинамической системы и совершаемого ею процесса, равная количеству теплоты, которое необходимо пе- редать системе для нагревания её на один градус:
δQ
C
dT

;
 
Дж
К
C 
Удельная теплоёмкость вещества
— теплоёмкость вещества единичной массы:
δQ
c
mdT

;
 
Дж кг К
c 

Молярная теплоёмкость вещества
— теплоёмкость одного моля вещества:
μ
δQ
C
νdT

;
Дж моль К
μ
C
  
 

Следует понимать, что удельные и молярные теплоёмкости одного и того же веще- ства различаются в зависимости от термодинамического процесса.
2.3.5. I начало термодинамики
I начало термодинамики — закон сохранения энергии в применении к термодина- мическим процессам.
I начало термодинамики:
количество теплоты, переданное термодинамической системе, равно сумме изменения внутренней энергии системы и работы, совершён- ной системой;
в интегральной форме:
Δ
Q
U A


;
в дифференциальной форме:
δQ dU δA



94
Лекция 11
2.4. Политропный процесс идеального газа
2.4.1. Изотермический процесс (T = const)
Уравнение процесса const
pV 
График процесса в координатах (p, V) показан на
РИС
. 10.6
34
Так как T = const, ΔU = 0.
I начало термодинамики запишется как
Q A

Молярная теплоёмкость
T
δQ
C
dT

 
(все формулы этого параграфа записываются для ν = 1 моль).
2.4.2. Изохорный процесс (V = const)
График процесса показан на
РИС
. 11.1
Так как V = const, ΔV = 0, A = 0.
I начало термодинамики:
Δ
Q
U

Так как
2
i
U
RT

, молярная теплоёмкость
2
V
δQ dU
i
C
R
dT dT



2.4.3. Изобарный процесс (p = const)
График процесса показан на
РИС
. 11.2
В этом процессе ΔU ≠ 0 и A ≠ 0.
I начало термодинамики:
Δ
Q
U A


Молярная теплоёмкость
2
p
δQ dU pdV
i
pdV
C
R
dT
dT
dT





Из уравнения Менделеева-Клапейрона pV = RT, по- этому
pdV RdT

⇒
pdV
R
dT
 ;
2 2
2
p
i
i
C
R R
R


 
34
В «живой» лекции
РИСУНОК
10.6
нужно воспроизвести.
0 0
V
p
1
2
Рис. 11.1
0
V
p
1
2
Рис. 11.2

95
Всегда C
p
>C
V
;
p
V
C
C
R


—
формула Майера
. Отношение
2
p
V
C
i
C
i


Смысл этого соотношения разъясняется в
РАЗДЕЛЕ
2.4.4
2.4.4. Адиабатный процесс (δQ = 0)
Адиабатный процесс
— процесс в теплоизолированной системе.
I начало термодинамики:
0 ΔU A


⇒
Δ
A
U
 
Молярная теплоёмкость ад
0
δQ
C
dT

 .
Найдём уравнение адиабатного процесса идеального газа:
δA
dU
 
;
2
RT
δA pdV
dV
V
i
dU
RdT








⇒
2
RT
i
dV
RdT
V
 
; разделим переменные в этом дифференциальном уравнении:
2
dV
i dT
V
T
 
,
2 2
1 1
2
V
T
V
T
dV
i dT
V
T
 


(здесь V
1
, T
1
и V
2
, T
2
— параметры соответственно начального и конечного состоя- ний системы),
2 2
1 1
ln ln
2
V
T
i
V
T
 
,
2 2
2 1
1
i
V
T
V
T



  


⇒
2 2
1 1 2 2
i
i
V T
V T

;
2
const
i
VT 
—
уравнение адиабаты (уравнение Пуассона)
в координатах (V, T).
Преобразуем это уравнение в координаты (p, V): T

pV,
2 2
const
i
i
Vp V 
⇒
1 2
2
const
i
i
p V


⇒
2
const
i
i
pV


, const
γ
pV 
,
0

96 2
p
V
C
i
γ
i
C



—
показатель адиабаты (коэффициент Пуассона)
. Для одноатом- ного газа
5 3
γ  , для двухатомного —
7 5
γ  .
График адиабатного процесса представлен на
РИС
. 11.3
. Для сравнения на этой же диаграмме по- казан график изотермического процесса. Давле- ние при адиабатном расширении убывает быст- рее, чем при изотермическом расширении (γ > 1).
[Студенты
самостоятельно
выводят уравнение
Пуассона в координатах (p, T).]