Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
 Скачать 7.51 Mb.
|
|
а б Рис. 5.8 Момент импульса системы человек-скамья-колесо относительно вертикальной оси сохраняется по той же причине, что и В ПРЕДЫДУЩЕМ ОПЫТЕ Момент импульса системы в начальном состоянии 1 1 1 L I ω , где I 1 — момент инерции колеса относительно его оси; 1 ω — вектор начальной уг- ловой скорости колеса, ω 1 = ω. Момент импульса системы в конечном состоянии 2 1 2 2 L I ω I ω , где I 2 — момент инерции человека и скамьи относительно оси z, 2 ω —вектор конеч- ной угловой скорости колеса, ω 2 = ω, ω — конечная угловая скорость скамьи. z z 55 Так как 1 2 L L , 1 1 1 2 2 I ω I ω I ω В проекции на ось z 1 1 2 I ω I ω I ω ⇒ 1 2 2I ω ω I Скамья будет вращаться в направлении, совпадающем с начальным направлением вращения колеса. 56 Лекция 6 1.8. Работа и энергия 1.8.1. Кинетическая энергия Кинетическая энергия — энергетическая характеристика движения; [W к ] = Дж (джоуль). 1. Кинетическая энергия материальной точки Кинетическая энергия материальной точки равна произведению массы мате- риальной точки на квадрат её скорости, делённый пополам: 2 к 2 m W v . 2. Кинетическая энергия механической системы Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энер- гий тел (материальных точек), составляющих эту систему: к кi W W ; (6.1) 2 к 2 C M W v (M — масса системы, v C — скорость центра масс)! Кинетическая энергия поступательного движения тела: 2 к 2 m W v , где m — масса тела, v — модуль его скорости. 3. Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента инерции тела на квадрат его угловой скорости, делённый пополам: 2 к 2 Iω W Доказательство Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью ω ( РИС . 5.6 ). Разобьём тело на малые фрагменты массой Δm i . Вычислим кинетическую энергию по определению (6.1) (с учётом того, что i i ωr v ): 2 2 2 2 2 2 к к Δ 1 Δ Δ 2 2 2 2 i i i i i i i m ω Iω W W m ω r m r v , ч. т. д. 4. Кинетическая энергия твёрдого тела, совершающего плоское 26 движение Теорема Кёнига: кинетическая энергия твёрдого тела, совершающего плоское движение, равна сумме кинетической энергии поступательного движения этого 26 Можно сформулировать эту теорему для общего случая сложного движения, если рассматривать второе слагаемое как кинетическую энергию вращения вокруг центра масс. 57 тела со скоростью, равной скорости центра масс тела, и вращения тела вокруг оси, проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости движения: 2 2 к 2 2 C C m I ω W v Доказательство Пусть твёрдое тело массы m совершает плоское движение. Разобьём тело на малые фрагменты массой Δm i . Вычислим кинетическую энергию тела по определению (6.1) : 2 2 к к Δ 1 Δ 2 2 i i i i C i m W W m u v v , где скорость i-го фрагмента i C i u v v , i u — скорость этого фрагмента относи- тельно центра масс тела (см. ВЫВОД ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ТВЁРДОГО ТЕЛА , СОВЕРШАЮЩЕГО ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ). Продолжим преобразования: 2 2 2 2 2 к 1 1 Δ 2 Δ Δ Δ Δ Δ 2 2 2 C i i C i C i i i i C i i i dρ W m m u m u m m m ω ρ dt v v v v , здесь i ρ — радиус-вектор i-го фрагмента, проведённый из центра масс, и i i dρ u dt ; ω — угловая скорость тела. Очевидно, Δ i m m — массе тела. Далее: 2 2 2 2 2 к Δ Δ 2 2 2 2 C C C C i i i i m m I ω d ω W m ρ m ρ dt v v v , ч. т. д. 1.8.2. Работа и мощность Работа — скалярная физическая величина — энергетическая характеристика вза- имодействия 27 ; [A] = Дж. 1. Элементарная работа Элементарная работа равна скалярному произведению силы на элементарное (бесконечно малое) перемещение точки приложения этой силы ( РИС . 6.1 ): cos , l dA Fdl Fdl F dl Fdl Вектор элементарного перемещения всегда направлен по касательной к траекто- рии; F l — проекция вектора силы на это направление. 2. Работа Работа равна сумме (интегралу) элементарных работ по траектории точки при- ложения силы: 27 Так как работа —– это характеристика взаимодействия, допустимо говорить «работа такого-то объекта», т. е. источника этого взаимодействия, и «работа силы», т. е. характеристики этого взаи- модействия (первый вариант предпочтительнее); например, «работа гравитационного поля Земли» или «работа силы тяжести». 0, т. к. точка C — центр масс I C 58 l l l l A dA Fdl F dl Здесь l — траектория точки B приложения силы (кривая 1-2 на РИС . 6.1 ); Графический смысл работы: площадь под кривой F l (l) равна модулю работы силы F по траектории l ( РИС . 6.2 ). Рис. 6.1 Рис. 6.2 3. Работа при вращательном движении твёрдого тела Пусть сила F приложена к точке B твёрдого тела, находящейся на расстоянии r от оси вращения z ( РИС . 6.3 А ). Элементарная работа, которую совершает эта сила, ко- гда тело совершает элементарное угловое перемещение dφ , cos dA Fdl Fdl α (см. РИС . 6.3 Б ). а б Рис. 6.3 Модуль линейного перемещения точки B — длина малой дуги dl r dφ ; cos sin 2 z π dA Fr α dφ Fr α dφ M dφ ; dA Mdφ B α 1 2 l l F l 0 1 2 A z r O B B ⊙ z ⊙ r dφ α 59 4. Мощность Мощность — энергетическая характеристика взаимодействия (или тела, соверша- ющего работу), равная скорости совершения работы; [N] = Вт (ватт). Средняя мощность равна отношению работы к промежутку времени, за который эта работа совершена: Δ A N t Мгновенная мощность равна мгновенной скорости совершения работы — произ- водной работы по времени dA N dt Преобразуем это выражение с учётом определения элементарной работы: dA Fdl N F dt dt v ; N F v , где v — скорость точки приложения силы. 1.8.3. Теорема об изменении кинетической энергии Изменение кинетической энергии механической системы равно сумме работ внеш- них и внутренних сил: к Δ e i W A A Доказательство Рассмотрим материальную точку массы m, которая испытывает воздействие, описываемое силой F Точка движется по кривой 1-2 ( РИС . 6.4 ). Элемен- тарная работа на перемещении dl dA Fdl С учётом того, что dl dt v , где v — скорость мате- риальной точки, работа по перемещению точки по траектории 1-2 2 1 2 1 t t A Fdl F dt v , где t 1 и t 2 — моменты времени, в которые материальная точка проходит соответ- ственно положения 1 и 2 По II закону Ньютона F ma , а ускорение d a dt v , поэтому 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 к2 к1 к Δ 2 2 2 t t t t m m d m A ma dt m dt m d W W W dt v v v v v v v v v v v v m t 1 1 t 2 2 Рис. 6.4 60 (здесь v 1 , v 2 — модули скорости материальной точки соответственно в положениях 1 и 2 ). Теперь рассмотрим механическую систему. Для i-ой материальной точки, входя- щей в эту систему, к2 к1 i i i A W W Просуммируем это выражение по всем точкам: к2 к1 к2 к1 к Δ i i i A A W W W W W , ч. т. д. В этом доказательстве мы не делали никаких различий между внешними и внут- ренними силами и их работами, поэтому подразумевается, что A = A e + A i 1.8.4. Потенциальная энергия материальной точки Поле (в математике) — величина как функция радиуса-вектора (или координат). Задать силу как функцию радиуса-вектора материальной точки, воздействие на ко- торую описывается этой силой, значит задать силовое поле. Поле в физике — физический объект (см. РАЗДЕЛ 0.1 и, более подробно, 3.1.1 ). Поле потенциально (сила потенциальна), если работа поля при перемещении ма- териальной точки по любой замкнутой траектории равна нулю (иначе говоря, цир- куляция силы по произвольному замкнутому контуру равна нулю): 1 1 0 A , 0 L Fdl В этом случае работа поля по перемещению материальной точки не зависит от формы её траектории, а зависит только от начального и конечного положения точки. Доказательство Пусть в потенциальном поле материальная точка пере- мещается из положения 1 в положение 2 сначала по тра- ектории 1-3-2 , а затем по траектории 1-4-2 ( РИС . 6.5 ). Ра- бота по замкнутой траектории 1-3-2-4-1 13241 0 A по определению потенциального поля. Но, согласно определению работы, 13241 132 241 132 142 A A A A A ⇒ 132 142 A A , ч. т. д. Изменением потенциальной энергии материальной точки при перемещении точки из положения 1 в положение 2 называется работа потенциального поля, со- вершаемая при этом перемещении, взятая с обратным знаком: п п12 12 ΔW A Потенциальная энергия материальной точки — работа потенциального поля по перемещению материальной точки в данное положение из точки, где потенци- альная энергия принята равной нулю, взятая с обратным знаком: п п 0 1 п п 0 1 W W W A Fdl Fdl 2 1 3 4 Рис. 6.5 61 Физический смысл имеет изменение потенциальной энергии. Сама же по себе по- тенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной. При ответе на вопрос, чему равна потенциальная энергия, нужно обязательно указы- вать, где выбрано начало её отсчёта (нулевой уровень). П РИМЕРЫ РАСЧЁТА РАБОТЫ И ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 1. Работа силы сухого трения Пусть материальная точка B скользит по шерохо- ватой плоской поверхности по траектории l, со- единяющей начальную и конечную точки 1 и 2 ( РИС . 6.6 ). Сила трения тр F постоянна по модулю (F тр = F тр max , см. РАЗДЕЛ 1.4.5 ) и всегда направлена противоположно элементарному перемещению dl , т. е. тр , F dl π . Элементарная работа тр тр тр cos dA F dl F dl π F dl , работа при перемещении из точки 1 в точку 2 тр тр l A F dl F l Видно, что работа силы трения зависит от длины траектории, соединяющей начальную и конечную точки, следовательно, сила трения не является потенци- альной. 2. Работа силы упругости Пусть пружина жёсткостью k растягивается из состояния с деформацией x 1 до де- формации x 2 ( РИС . 6.7 ). В промежуточном положении x сила упругости упр F kxi Элементарная работа при увеличении деформации на dl dxi упр dA F dl kxi dxi kxdx ; полная работа при растягивании пружины от x 1 до x 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 x x x x kx kx kx A kxdx Рис. 6.7 Эта работа не зависит от того, каким образом пружина переходит от деформации x 1 к деформации x 2 , значит, сила упругости потенциальна. Изменение потенциаль- ной энергии 2 2 2 1 п12 Δ 2 2 kx kx W A 0 x k x x 1 x 2 dx B 1 2 l Рис. 6.6 62 Положим начало отсчёта потенциальной энергии в положении недеформирован- ной пружины: W п (0) = 0; при этом потенциальная энергия деформированной пру- жины 2 п 2 kx W 3. Работа силы тяжести Пусть материальная точка массы m перемещается из точки 1 в точку 2 по траектории l ( РИС 6.8 ). Эле- ментарная работа силы тяжести т F mg на малом перемещении dl т т т cos dA F dl F dl α F dh mgdh (знак «–» появляется из-за того, что изменение высоты отрицательно). Полная работа 2 1 2 1 h h A mgdh mg h h , где h 1 — высота точки 1 над нулевым уровнем, h 2 — высота точки 2 . Эта работа не зависит от формы траектории l, а определяется только высотой начального и ко- нечного положений материальной точки массой m, следовательно, сила тяжести потенциальна. Аналогично, любое однородное поле будет потенциальным. Изменение потенциальной энергии п12 2 1 ΔW mg h h Положим начало отсчёта потенциальной энергии на нулевом уровне: W п = 0 при h = 0, тогда потенциальная энергия тела массы m в однородном гравитационном поле (поле тяжести) п W mgh 28 4. Поле центральных сил Центральная сила — сила, модуль которой зависит только от расстояния от точки, назы- ваемой |