Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
 Скачать 7.51 Mb.
|
|
1.2.4. Криволинейное движение При описании движения материальной точки по криволинейной траектории удобно ввести систему координат, связанную с тра- екторией материальной точки (воспользо- ваться естественным способом описания движения). Орты этой системы координат: τ — единич- ный вектор, направленный по касательной к траектории по направлению движения мате- риальной точки; n — единичный вектор, направленный по нормали к траектории в сторону её вогнутости (см. РИС . 2.1 ). Разложим векторы скорости и ускорения по осям естественной системы коорди- нат: 0 τ τ n τ v v v ; τ n a a τ a n (2.1) Но, по определению d d dτ a τ dt dt dt v v v (2.2) Разберёмся, чему равны слагаемые в формуле (2.2) . Любую кривую в любой её точке можно представить как дугу окружности радиуса ρ — радиуса кривизны траектории ( РИС . 2.2 ). Δ Δ l ρ α ; 2 1 Δτ τ τ , Δ Δ τ τ α ⇒ ⇒ Δ Δ l τ ρ , Δ Δ l τ n ρ 10 При Δt → 0 dl dτ n ρ , dτ dl n n dt ρdt ρ v Подставляя эти выражения в (2.2) и сравни- вая с (2.1) , получим 2 d a τ n dt ρ v v ; τ d a dt v , 2 n a ρ v ; (2.3) a τ — тангенциальное (касательное) уско- рение , a n — нормальное (центростреми- тельное) ускорение ; 2 2 τ n a a a 10 Следует помнить, что на РИС . 2.2 угол Δα мал. При малом Δα Δτ практически параллелен n t 1 1 t 2 2 Рис. 2.1 v Рис. 2.2 Δα Δα ρ ρ Δl O 24 1.3. Кинематика твёрдого тела 1.3.1. Виды движения 1. Поступательное движение — движение, при котором любая прямая, соеди- няющая две точки движущегося тела, перемещается параллельно самой себе. 2. Вращение вокруг неподвижной оси (вращательное движение) — движе- ние, при котором все точки тела движутся по окружностям, лежащим в парал- лельных плоскостях, таким, что центры этих окружностей лежат на одной пря- мой, называемой осью вращения 3. Плоское движение — движение, при котором все точки тела движутся в па- раллельных плоскостях. Плоское движение = поступательное движение + вращательное движение (см. разделы 1.7.1 и 1.8.1 ). 4. Сферическое движение (вращение вокруг неподвижной точки) — движе- ние, при котором все точки тела движутся по сферам, центры которых нахо- дятся в одной точке, называемой центром вращения 5. Другие случаи – сложное движение 11 Демонстрации: 1) Поступательное и вращательное движение 2) Искры от точила 3) Циклоида 4) Гироскоп 12 Введённых нами ВЫШЕ кинематических величин недостаточно для описания дви- жения твёрдого тела (кроме поступательного). 1.3.2. Угловые кинематические параметры Введём величины, характеризующие вращательное движение твёрдого тела в це- лом, а не отдельных его точек. Такие величины будут аксиальными векторами. (Здесь F — сила, p — импульс, M — момент силы, L — момент импульса.) 11 На практических занятиях рассматривается поступательное движение, вращение вокруг непо- движной оси и плоское движение. Сферическое движение и общий случай сложного движения и в лекционном курсе будут затронуты мало. 12 Движение гироскопа демонстрируется не как пример выполнения закона сохранения момента импульса, а лишь как пример сферического движения твёрдого тела. Векторы полярные (истинные) имеют точку приложения , , , аксиальные (псевдовекторы) не имеют точки приложения , , , 25 1. Угловое перемещение Пусть твёрдое тело вращается вокруг оси z. Точка A этого тела находится на расстоянии r от оси враще- ния ( РИС . 2.3 ). За некоторое время тело повернулось так, что точка A переместилась по дуге окружности радиуса r в положение A'. При этом отрезок OA (точка O – центр окружности, по которой движется точка A) повернулся на угол Δφ. Это движение характеризует вектор углового пере- мещения Δφ k ( k — орт оси вращения z). Вектор- ная величина Δφ вводится лишь для малых угловых перемещений. Направление Δφ выбирается по пра- вилу правого винта. Можно записать Δ Δ z φ φ k , Δφ z ≷ 0. Любой поворот твёрдого тела можно характеризовать скалярной величиной — уг- лом φ. Можно задать закон вращательного движения твёрдого тела z z φ φ t Единица измерения углового перемещения в СИ [φ] = рад (радиан — безразмерная величина); 1 рад 180 π . (При проведении численных расчётов следует обращать внима- ние на единицы измерения углового перемещения!) 2. Угловая скорость Угловая скорость — векторная величина, характеризующая быстроту и направ- ление вращения; dφ ω dt ; 1 рад с с ω 3. Угловое ускорение Угловое ускорение — векторная величина, характеризующая быстроту и направ- ление изменения угловой скорости; 2 2 dω d φ ε dt dt ; 2 2 рад с с ε При вращении вокруг неподвижной оси Δφ ω ε k ( k — орт оси вращения); знаки проекций этих векторов на ось вращения могут быть различны. 4. Частота вращения Частота вращения — скалярная положительная величина, характеризующая быстроту вращения, равная числу оборотов тела вокруг оси вращения за единич- ный промежуток времени; z O r A Δφ Рис. 2.3 26 2 ω ν π ; 1 об с с ν 5. Период вращения Период вращения — скалярная положительная величина, характеризующая быст- роту вращения, равная времени, за которое вращающееся тело совершает один полный оборот вокруг оси вращения; 1 2π T ν ω ; [T] = с. Период вводится только при равномерном вращении, т. е. при вращении с посто- янной угловой скоростью. 1.3.3. Связь между линейными и угловыми кинематическими параметрами Пусть твёрдое тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью ω и ускорением ε . Точка M отстоит от оси вращения на расстояние r; её скорость равна v ( РИС . 2.4 А ). а б Рис. 2.4 (Значки ⊙, ⊗ на РИС . 2.4 означают направление вектора, перпендикулярного плос- кости чертежа, — соответственно «на нас» и «от нас».) За время Δt точка M переместилась в положение M по дуге длиной ΔS ( РИС . 2.4 Б ). Тело за это время совершило угловое перемещение Δφ; Δ Δ S r φ , Δ Δ Δ Δ S r φ ω r t t v , где ω — среднее значение модуля угловой скорости за время Δt. При Δt → 0 ωr v , а соответствующее векторное равенство ωr v (2.4) (направление можно проверить по РИС . 2.4 А ). Здесь квадратные скобки означают векторное произведение векторов. (Следует помнить о том, что векторное произ- ведение антикоммутативно!) Формула (2.4) справедлива и в произвольном случае сложного движения. Тогда sin , ωr ω r v ⊗ M z O t + Δt t Δφ z ⊙ ΔS M r 27 Выразим компоненты линейного ускорения (т. е. ускорения точки M), воспользо- вавшись формулой (2.3) : τ z d ωr d dω dr a r ω ε r dt dt dt dt v , 2 2 2 2 n ω r a ω r r r v Полное ускорение dr a εr ω dt , a εr ω εr ω ωr v (2.5) Для сложного движения твёрдого тела C C ω r r v v , где C r — радиус-вектор центра масс тела (см. РАЗДЕЛ 1.4.4 ), C v — скорость центра масс. 0 28 Лекция 3 1.4. Динамика материальной точки Динамика — раздел механики, изучающий влияние взаимодействия тел на меха- ническое движение. 1.4.1. Законы Ньютона I закон Ньютона: существуют такие системы отсчёта, в которых материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие других объектов не выведет её из этого состояния. II закон Ньютона: ускорение материальной точки совпадает по направлению с си- лой, с которой действуют на неё другие тела, и равно отношению этой силы к массе точки: F a m (см. РИС . 3.1 ). III закон Ньютона: две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю, противоположными по направлению и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки: 12 21 F F (см. РИС . 3.2 ). Рис. 3.1 Рис. 3.2 Демонстрация: Тележки 1.4.2. Инерциальные системы отсчёта. Инертность С точки зрения физики покой и равномерное прямолинейное движение суть одно и то же. Инерциальная система отсчёта (ИСО) — система отсчёта, относительно кото- рой материальная точка, не испытывающая внешних воздействий, движется рав- номерно и прямолинейно. I закон Ньютона можно сформулировать так: инерциальные системы отсчёта су- ществуют. Примеры систем отсчёта, которые можно считать инерциальными в условии боль- шинства задач: Все тела обладают инертностью — свойством сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения в отсутствие внешних воздействий. m 1 2 ИСО гелиоцентрическая тело отсчёта — Солнце лабораторная тело отсчёта — лаборатория (земля) 29 Масса — скалярная физическая величина — характеристика тела, являющаяся ме- рой его инертности; кг m 1.4.3. Сила Сила — векторная величина — мера воздействия на данное тело другого объекта. Каждая сила описывает действие какого-либо объекта; Н F (ньютон). Линия действия силы — прямая, вдоль которой направлена сила. Силовая линия —кривая, касательные к которой в каждой её точке совпадают по направлению с силой. П РИМЕР Силовые линии гравитационного поля Земли ( РИС . 3.3 ) Рис. 3.3 Главный вектор 13 — векторная сумма всех сил, описывающих действие на данное тело других объектов: 1 n i i F F (здесь n — число воздействующих объектов). Принцип независимости действия сил: если на материальную точку одновре- менно действует n объектов, то ускорение этой точки 1 n i i F a m , где m — масса материальной точки, i F — сила, описывающая воздействие i-го объ- екта на данную точку. 13 Вводится ещё понятие равнодействующей силы — силы, эквивалентной данной системе сил, т. е. силы, описывающей такое воздействие на данную механическую систему, под которым система будет двигаться так же, как под воздействием всех n объектов. Не для каждой системы сил можно подобрать равнодействующую. Для материальной точки понятия равнодействующей и главного вектора сил эквивалентны. m O 30 Так как 2 2 d r a dt , II закон Ньютона можно записать в виде 2 2 d r m F dt — дифференциальное уравнение движения материальной точки ( F — глав- ный вектор сил, с которыми другие объекты действуют на данную точку). В проек- ции на оси декартовой системы координат это уравнение представляется в виде трёх дифференциальных уравнений 2 2 2 2 2 2 , , x y z d x m F dt d y m F dt d z m F dt 1.4.4. Центр масс механической системы Внешние силы — силы, описывающие действие объектов, не входящих в данную механическую систему, на тела, входящие в неё. Будем обозначать такие силы e F 14 Внутренние силы — силы, описывающие взаимодействие тел, входящих в данную механическую систему (обозначение i F ). Для любой механической системы из III закона Ньютона следует, что сумма внут- ренних сил равна нулю: 0 i F Рассмотрим механическую систему из N материальных точек. Центр масс механической системы— точка, для которой 1 0 N i i i m ρ или 1 0 N i i C i m r r , где m i —масса i-ой материальной точки, i ρ — радиус-вектор, соединяю- щий центр масс с i-ой материальной точкой, i r — радиус-вектор i-ой мате- риальной точки, C r — радиус-вектор центра масс. (На РИС . 3.4 точка C — центр масс, O — начало отсчёта.) Как найти положение центра масс системы? Из определения центра масс следует 14 В «живой» лекции лучше использовать обозначения русскими буквами: внеш F и т. п. m 1 m 2 m N m i O C Рис. 3.4 31 1 1 N N i i i C i i m r m r ⇒ 1 N i i i C m r r M , где 1 N i i M m — масса механической системы. В декартовой системе координат 1 N i i i C m x x M , 1 N i i i C m y y M , 1 N i i i C m z z M (3.1) П РИМЕР Нахождение центра масс системы двух материальных точек Две материальные точки массами m 1 и m 2 находятся на расстоянии l друг от друга ( РИС . 3.5 ). Где находится центр масс системы? Центр масс C системы, очевидно, должен находиться на прямой между материаль- ными точками. Радиусы-векторы, соединяю- щие центр масс и материальные точки, пока- заны на РИС . 3.5 . Введём ось x, как показано на рисунке, и совместим начало отсчёта с мате- риальной точкой массы m 1 ; тогда координата точки массой m 2 равна l. Из формулы (3.1) получим 1 1 2 2 2 1 2 1 2 C m x m x m l x m m m m Если тело (механическая система) центральносимметрично, то его центр масс сов- падает с центром симметрии. Если же тело осесимметрично, то центр масс лежит на оси симметрии. |