Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
 Скачать 7.51 Mb.
|
|
силовым центром (центром силы) , направленная вдоль радиуса-вектора, соеди- няющего центр силы с точкой приложения силы: r F f r r Пусть материальная точка B движется в поле центральной силы F (силовой центр — точка O) от точки 1 к точке 2 по траектории l ( РИС . 6.9 ).Работа силы F 28 Это выражение не является определением потенциальной энергии, как ошибочно полагают мно- гие студенты. Рис. 6.8 0 h dh h 1 h 2 m 1 2 l α α O l 1 2 B Рис. 6.9 63 2 2 2 12 1 1 1 cos r A Fdl Fdl α F dr Эта величина может зависеть только от r 1 и r 2 , поэтому центральное поле потенци- ально. Потенциальная энергия п 0 п W r r W F r dr (6.2) Частный случай Гравитационное поле (см. РАЗДЕЛ 1.4.5 ) Пусть материальная точка массы m находится в гравитационном поле тела массы M на расстоянии r от его центра масс ( РИС . 6.10 ). По закону всемир- ного тяготения 2 r GMm F r r , G — гравитационная постоянная. Положим начало отсчёта потенциальной энергии в бесконечно удалённой точке: W п (∞) = 0. Согласно (6.2) , п 2 r r GMm GMm GMm W dr r r r 1.8.5. Связь силы и потенциальной энергии. Градиент Из определения потенциальной энергии п dW dA Fdl ⇒ п dW F dl Это записывается как п п grad F W W — оператор « набла » — оператор векторного дифференцирования d dl , в де- картовых координатах i j k x y z , x — частная производная функции трёх переменных x, y, z по x и т. д. Градиент — произведение вектора на скалярную функцию — векторная функ- ция скалярного аргумента; в декартовых координатах п п п п п grad W W W W W i j k x y z (6.3) Направление градиента совпадает с направлением наиболее быстрого возраста- ния скалярной функции. Из II закона Ньютона m M Рис. 6.10 64 п , grad F ma F W ⇒ п grad a W (здесь a — ускорение материальной точки, m — её масса). Материальная точка ускоряется в направлении, противоположном градиенту потенциальной энергии. В точках, где grad W п = 0, 0 a и материальная точка находится в положении рав- новесия. Устойчивое равновесие имеет место в точках, соответствующих минимуму потенциальной энергии. П РИМЕР Дана зависимость потенциальной энергии материальной точки в некотором поле от декартовых координат: W п = axyz, где a — постоянная. Найти силу, с которой поле действует на материальную точку, как функцию координат. Из (6.3) получим п п п п grad W W W F W i j k a yzi xz j xyk x y z Видно, что 0 F в любой точке на всех трёх осях декартовой системы координат — там имеет место равновесие (устойчивое при a > 0 и неустойчивое при a < 0). 1.8.6. Потенциальная энергия механической системы Если механическая система находится во внешних потенциальных полях и/или взаимодействие тел, входящих в эту систему, описывается потенциальными си- лами, то можно характеризовать состояние системы потенциальной энергией. По- тенциальная энергия механической системы равна работе внешних и внутрен- них потенциальных сил при переходе системы из данной конфигурации в конфи- гурацию, где потенциальная энергия системы принята равной нулю (конфигурация системы — это совокупность координат тел (материальных точек), входящих в эту систему): п п п 0 0 W W W A A П РИМЕР Потенциальная энергия системы двух гравитирующих тел Рассмотрим систему из двух тел массами M и m, взаимодействующих гравитаци- онно. Расстояние между центрами масс этих тел равно r ( РИС . 6.10 ). Найти потенци- альную энергию системы. Единственная сила, которая здесь учитывается, гравитационная сила — внутрен- няя и ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ . Положим начало отсчёта потенциальной энергии в беско- нечно удалённой точке: W п (∞) = 0. Найдём работу гравитационной силы при уда- лении тела массой m (или тела массой M) в бесконечность. Она будет равна потен- циальной энергии системы п 2 r r r r r GMm GMm GMm W A F r dr dr r r r , здесь G — гравитационная постоянная. 65 Лекция 7 1.8.7. Закон сохранения и изменения механической энергии Рассмотрим механическую систему; тела, входящие в эту систему, претерпевают внешние и внутренние воздействия, описываемые потенциальными и непотенци- альными силами, и конфигурация системы изменяется. Изменение кинетической энергии системы (см. РАЗДЕЛ 1.8.3 ) равно сумме работ внешних и внутренних сил: п нп п нп к Δ e e i i W A A A A , где A e п — сумма работ внешних потенциальных сил, A i нп — сумма работ внутрен- них непотенциальных сил и т. п. Перенесём работу потенциальных сил в левую часть этого равенства: п п нп нп к Δ e i e i W A A A A (7.1) В левой части равенства (7.1) стоит сумма изменений кинетической и потенциаль- ной энергии системы. Введём величину к п W W W — механическая энергия системы — сумма кинетической и потенциальной энер- гии. Соответственно левая часть уравнения (7.1) равна изменению механической энергии системы. Т. е. нп нп Δ e i W A A — закон изменения механической энергии системы: изменение механической энергии системы равно сумме работ внешних и внутренних непотенциальных сил. Закон сохранения механической энергии: механическая энергия системы не из- меняется с течением времени, если сумма работ внешних и внутренних непотенци- альных сил равна нулю, а все внешние потенциальные силы стационарны (т. е. не зависят явным образом от времени). Консервативные силы — потенциальные силы и непотенциальные силы, работы которых равна нулю. Диссипативные силы — непотенциальные силы, работа которых меньше нуля. При наличии взаимодействий, описываемых диссипативными силами, происходит диссипация энергии — переход механической энергии в другие виды энергии. Демонстрации: 1) Маятник Максвелла 2) «Мёртвая петля» 1.9. Удар 1.9.1. Абсолютно неупругий удар Абсолютно неупругий удар — удар, после которого соударяющиеся тела дви- жутся как единое целое. При неупругом ударе импульс системы соударяющихся тел сохраняется, а механи- ческая энергия — нет. Происходит диссипация энергии. Рассмотрим абсолютно неупругое центральное соударение двух шаров. (Централь- ное соударение — соударение, перед которым центры шаров движутся по прямой, ΔW п 66 их соединяющей.) Массы шаров равны m 1 и m 2 , их скорости до соударения — соот- ветственно 1 v и 2 v ( РИС . 7.1 ). Найдём скорость u шаров после удара. До удара: После удара: Рис. 7.1 Закон сохранения импульса: 1 1 2 2 1 2 m m m m u v v Спроецируем это равенство на ось x (вдоль направления движения шаров): 1 1 2 2 1 2 x x x m m m m u v v Отсюда получим 1 1 2 2 1 2 x x x m m u m m v v В этой формуле содержится информация о модуле и о направлении скоростей ша- ров; x u u Найдём долю η механической энергии, перешедшей во внутреннюю при ударе: к к1 к2 к2 к1 к1 к1 Δ 1 W W W W η W W W , здесь W к1 — кинетическая энергия системы до удара, W к2 — после удара, ΔW к — изменение кинетической энергии при ударе; 2 2 1 1 2 2 к1 2 2 m m W v v , 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 к2 2 1 2 1 2 2 2 2 x x x x m m u m m m m m m W m m m m v v v v , 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 x x m m η m m m m v v v v Если до соударения шары двигались в одну сторону, то v 1x = v 1 , v 2x = v 2 и 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 m m m m m m m m m m m m η m m m m m m m m v v v v v v v v v v v v v v Если же шары двигались в разные стороны, то 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 m m η m m m m v v v v При v 2 = 0 2 1 2 m η m m m 1 m 2 m 1 + m 2 x 67 1.9.2. Абсолютно упругий удар Абсолютно упругий удар — удар, при котором соударяющиеся тела испытывают упругую деформацию. При абсолютно упругом ударе сохраняется и импульс, и механическая энергия си- стемы соударяющихся тел. Рассмотрим абсолютно упругое центральное соударение двух шаров. Массы шаров равны m 1 и m 2 , их скорости до соударения — соответственно 1 v и 2 v ( РИС . 7.2 ). Найдём скорости 1 u и 2 u шаров после удара. До удара: После удара: Рис. 7.2 Закон сохранения импульса: 1 1 2 2 1 1 2 2 m m m u m u v v (7.2) Закон сохранения механической энергии: 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 m m m u m u v v (7.3) Спроецируем векторное равенство (7.2) на ось x (вдоль направления движения ша- ров), преобразуем уравнение (7.3) (подставим 2 2 1 1x v v и т. п.) и запишем систему уравнений 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 , x x x x x x x x m m m u m u m m m u m u v v v v Решим эту систему самым быстрым способом: 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 , ; x x x x x x x x m m u m u m m m u m u m v v v v затем разделим нижнее уравнение на верхнее и исключим u 2x : 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 x x x x x x x x u u u u v v v v ⇒ 1 1 2 2 x x x x u u v v ⇒ 2 1 2 1 x x x x u u v v , 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 x x x x x x m m u m m m u m v v v v , 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 x x x x m m m m m u v v v , 1 2 1 2 2 1 1 2 2 x x x m m m u m m v v , 2 1 2 1 1 2 1 2 2 x x x m m m u m m v v (7.4) m 1 m 2 m 1 m 2 x 68 Частные случаи 1. Упругое соударение шаров одинаковой массы При m 1 = m 2 = m из (7.4) получим 1 2 x x u v , 2 1 x x u v . Соударяющиеся тела обмениваются скоростями. 2. Удар шара об упругую плиту Масса плиты намного больше массы шара (m 2 >> m 1 ); в ла- бораторной системе отсчёта плита покоится (v 2 = 0). Из (7.4) получим 1 1 2 1 1 1 2 1 1 x x x m m u m m v v ( РИС . 7.3 ). Демонстрация: Удары шаров 1.10. Повторение: Поступательное и вращательное движение Цель данного параграфа — обобщение материала, касающегося механики точки (поступательного движения твёрдого тела) и вращения твёрдого тела вокруг не- подвижной оси, который отрабатывается на практических занятиях в I семестре. 1.10.1. Сравнение физических величин и законов поступательного и вращательного движения Таблица 7.1 Величина / закон Поступательное движение Вращательное движение Перемещение Перемещение Δr Угловое перемещение Δφ Скорость Скорость dr dt v Угловая скорость dφ ω dt Ускорение Ускорение 2 2 d d r a dt dt v Угловое ускорение 2 2 dω d φ ε dt dt ωr v a εr ω ωr 0 0 Рис. 7.3 m 1 69 Таблица 7.1 (продолжение) Величина / закон Поступательное движение Вращательное движение Закон движения r r t φ φ t Частные случаи: Равномерное движение const v 0 r t r t v const ω 0 z φ t φ ω t Равноускоренное движение const a 2 0 0 2 at r t r t v const ε 2 0 0 2 z z ε t φ t φ ω t Мера инертности Масса m Момент инерции I Мера взаимодействия Сила F Момент силы M Основной закон динамики Теорема о движении центра масс ma F Основное уравнение дина- мики вращательного движе- ния Iε M Мера инертности и движения Импульс p m v Момент импульса L Iω Основной закон динамики в дифференциальной форме dp F dt dL M dt Условие сохранения Условие сохранения импульса const P при 0 F Условие сохранения момента импульса const L при 0 M Элементарная работа dA Fdr dA Mdφ Кинетическая энер- гия 2 к 2 m W v 2 к 2 Iω W |