Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020

• Название: Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 7.51 Mb.
• Имя файла: conspectus_01.pdf
• Тип: Конспект; #794791
• страница: 10 из 44

Лекция 9
1.13. Релятивистская динамика
1.13.1. Релятивистский импульс
Рассмотрим замкнутую механическую систему — два груза одинаковой массы m
0
, соединённых пружиной (
РИС
. 9.1
). В системе отсчёта K′ центр масс данной механи- ческой системы покоится. В начальном состоянии пружина сжата, затем она разжи- мается и грузы движутся со скоростями
1
u
u


 и
2
u
u


  .
Должен выполняться закон сохранения импульса: импульс данной замкнутой ме- ханической системы должен сохраняться в любой инерциальной системе отсчёта.
Рис. 9.1
Определим импульс материальной точки, как в классической механике:
0
p m u

Используя
РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ
, получим в системе отсчёта K: проекция начального импульса системы на ось x
1 0
2
x
P
m

v, проекция конечного импульса
2 0
0 2
2 1
1
x
u
u
P
m
m
u
u
c
c










v
v
v
v
Видно, что P
1x
≠ P
2x
. Получается., что в системе отсчёта K закон сохранения не вы- полняется, чего не может быть.
Подберём такое выражение для импульса, чтобы
y
y
p
p
 
. (В классической механике
0
y
dy
p
m
dt

; так как dy = dy′, а dt = dt′, при таком определении
y
y
p
p

 
.) Возьмём в ка- честве элементарного промежутка времени собственное время dτ = dτ′. Тогда
0 0
y
y
dy
dy
p
m
m
p
dτ
dτ


 



Но
2 2
1
u
dτ dt
c


, поэтому
t
x
y
O
K
x′
y′
t′
O′
K′
m
0
m
0

79 0
0 0
2 2
2 2
1 1
y
y
m u
m dy
m dy
p
dτ
u
u
dt
c
c





, аналогично
0 2
2 1
x
x
m u
p
u
c


,
0 2
2 1
z
z
m u
p
u
c


; в векторной форме
0 2
2 1
m u
p
u
c


Запишем это определение в виде, аналогичном формуле классической механики:
p mu

, здесь m —
релятивистская масса
:
0 2
2 1
m
m
u
c


1.13.2. Релятивистское уравнение динамики материальной точки
Если материальная точка изолирована, то её импульс const
p mu


. Если на точку действуют другие объекты, то мера взаимодействия — сила
F
. Запишем уравнение динамики:
Δ
Δ
p F t

или, подставляя выражение для релятивистского импульса,
0 2
2 1
m u
d
F
dt
u
c


—
релятивистское уравнение динамики материальной точки
Так как
 
,
F f u t

и ни время, ни скорость не являются инвариантами преобразо- ваний Лоренца, то и сила не является релятивистским инвариантом. Поэтому по- лученное уравнение динамики малополезно для решения задач.
1.13.3. Энергия в релятивистской механике
Пусть тело движется под воздействием других объектов, которое описывается си- лой
F
, направленной параллельно перемещению
Δl
(
РИС
. 9.2
). Тело разгоняется от начальной скорости
0 0
u  до скорости u .

80 к
0 0
0 0
t
x
u
W




к
0 0
0 0
t
x
u
W




Рис. 9.2
По теореме об изменении кинетической энергии работа силы
F
к к
Δ
A
W W


Найдём работу и, соответственно, кинетическую энергию тела. Элементарная ра- бота на малом перемещении
dl (dl = dx) cos0
δA Fdl Fdx
Fdx



; так как из релятивистского уравнения динамики
dp
F
dt

, релятивистский импульс
p mu

 
 
d mu
δA
dx ud mu
dt


Проинтегрируем это выражение:
 


2 2
0
к
2 0
0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 0
0 0
2 2
0 2
2 2
2 2
2 0
0 0
0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 2
1 2 1
,
1 1
1
u
u
u
u
m
c
A W
ud mu
u mu
mudu mu
u du
u
c
c
u
u
c
c
m c
c
mu
mu
m
m c
u
c
m u
m c
m u
m c
mc
m c
u
u
u
c
c
c


 

































2 2
к
0
W
mc
m c


При u << c
2 2
2 2
0
к
0 0
2 2
2 1
1 1
1 2
2 1
m u
u
W
m c
m c
c
u
c

























— результат классической механики.
Полная энергия
O
x

81 2
W mc

Представим
2 2
к
0
W mc
W
m c



При u = 0 W = W
0
= m
0
c
2
;
2 0
0
W
m c

—
энергия покоя
Энергия покоя может переходить в другие виды энергии.
П
РИМЕРЫ
1) Реакция аннигиляции
При взаимодействии частицы и её античастицы они
аннигилируют
(взаимно уни- чтожаются) с образованием фотонов. Например, реакция электрона и позитрона
2
e
e
γ




,
γ — фотон рентгеновского излучения. Массы покоя электрона и позитрона одина- ковы (m
0
), а масса покоя фотона равна нулю. Энергия покоя электрона и позитрона переходит в энергию фотона (энергию электромагнитного поля).
2) Дефект масс
Атомные ядра состоят из
нуклонов
— протонов и нейтронов (см.
РАЗДЕЛ
7.1.1
).
Массы покоя протона и нейтрона в свободном состоянии соответственно равны m
p
и m
n
; масса покоя ядра — m
я
Всегда масса ядра меньше суммы масс составляющих его нуклонов:


я
p
n
m
Zm
A Z m



, здесь Z — число протонов в ядре — заряд ядра, A — массовое число, (A – Z) — число нейтронов в ядре. Разность


0
я
Δ
0
p
n
m
Zm
A Z m m




 ,
—
дефект масс
Рассмотрим
реакцию синтеза атомного ядра
(см.
РАЗДЕЛ
7.3.5
) — реакцию получе- ния ядра из отдельных нуклонов. Изменение энергии системы нуклонов


2 2
к
0
к
0
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
W
W
m c
W
c m




В замкнутой системе ΔW = 0. Поэтому
2
к
0
Δ
Δ
W
c m
 
⇒ к
0 2
Δ
Δ
W
m
c
 
1.13.4. Вектор энергии-импульса
В 4-пространстве оперируют физическими величинами — 4-векторами.
4-вектор энергии-импульса
m
0
m
0
m
0
= 0

82
x
y
z
W
i
c
p
P
p
p

















Найдём модуль вектора энергии-импульса:
2 0
2 2
0 2
2
,
1 1
m c
W
u
c
m u
p
u
c













⇒
2
p
u
W c

,
u cp
c W

;
2 0
2 2 2
1
m c
W
c p
W


⇒
2 2 2 2 4 0
inv
W
c p
m c



— модуль вектора энергии-импульса является релятивистским инвариантом.

83 2. Молекулярная физика и термодинамика
2.1. Предмет термодинамики и статистической физики. Молекулярно-кинетическая
теория. Уравнение состояния
2.1.1. Постулаты молекулярно-кинетической теории (МКТ)
1.
Все тела состоят из мельчайших частиц (
молекул
).
2.
Эти частицы находятся в непрерывном хаотическом (
тепловом
) движении и взаимодействии.
П
РИМЕРЫ
1. Броуновское движение
Броуновское движение
— беспорядочное движение частиц, взвешенных в жидкости или газе. Под микроскопом видно, что частицы дрожат.
Это явление объясняется тем, что взвешенная частица (боль- шое пятно неправильной формы на
РИС
. 9.3
) испытывает бес- порядочные столкновения с молекулами жидкости или газа
(изображены на
РИС
. 9.3
мелкими кружками), которые в микро- скоп не видны. В результате этих столкновений взвешенной частице передаётся импульс
Δp
; эта величина изменяется непрерывно и хаотически — частица дрожит.
Демонстрация:
Модель броуновского движения
2. Явления переноса
Кинетические явления — диффузия, теплопроводность и внутреннее трение — объясняются только из молекулярно-кинетических представлений (см.
РАЗДЕЛ
2.9.3
).
Взаимодействие молекул
носит характер притяжения и отталкивания, в зависимости от расстояния между молекулами. График зависи- мости потенциальной энергии W
п взаимодей- ствия двух молекул от расстояния r между их центрами представлен на
РИС
. 9.4
. «Радиус мо- лекулы» r
0
≈ 10
–10
м.
Демонстрация:
Сцепление свинцовых ци- линдров
Количество вещества
— мера числа частиц;
[ν] = моль.
В 1 моле содержится N
A
= 6,02·10 23
(моль
–1
) ча- стиц —
число Авогадро
;
Рис. 9.3
0
r
W
п
r
0 отталкивание притяжение
Рис. 9.4

84
A
N
ν
N

, где N — число молекул.
Молярная масса
— масса 1 моля вещества;
 
кг моль
μ 
;
m
μ
ν

, где m — масса вещества. Молярную массу легко вычислить по таблице Менделеева, зная химическую формулу вещества:
 
3 0
1 10
кг
m
μ
m


;
1 атомная единица массы (а. е. м.) m
1
= 1,6606·10
–27
кг.
2.1.2. Микропараметры и макропараметры. Статистический и термодинамиче-
ский методы исследования макросистем
Термодинамическая система (макросистема)
— совокупность (коллектив) большого числа частиц.
Пусть термодинамическая система состоит из N частиц.
Микросостояние
системы характеризуется 6N
микропараметров
— 3 координатами и 3 проекциями скоро- сти каждой частицы (x
i
, y
i
, z
i
; v
xi
, v
yi
, v
zi
)
30
. Эти параметры можно найти, решив си- стему из N дифференциальных уравнений движения материальной точки, задав начальные условия — 6N параметров. Это практически невозможно из-за боль- шого числа параметров. Более того, термодинамическая система является
стоха-
стической
, т. е. её движение неустойчиво по отношению к изменению начальных условий. Поэтому разработаны методы описания состояния системы без решения уравнений динамики.
Термодинамические параметры
— параметры, описывающие термодинамиче- скую систему в целом: p, T, S, V, U
31
и т. д. (Так,
температура
T — это мера нагре- тости тела.)
Макросостояние
системы характеризуется совокупностью термодинамических параметров.
30
Число микропараметров, исчерпывающе описывающих микросостояние термодинамической си- стемы, равно 6N, если молекула считается материальной точкой. Если же молекула имеет струк- туру, то число этих микропараметров больше (см.
ТАБЛ
. 10.1
). Можно вводить и другие микропара- метры.
31
Каждое из этих обозначений разъяснено далее в тексте данной главы. масса молекулы а. е. м.

85
2.1.3. Термодинамический процесс. Уравнение состояния
Термодинамический процесс
— изменение макросостояния термодинамической системы.
Равновесное состояние
(состояние
термодинамического равновесия
) — макро- состояние, которое сохраняется сколь угодно долго при неизменных внешних условиях. Имеет смысл вводить термодинамические параметры только для равно- весных состояний.
Равновесный процесс
— термодинамический процесс, при котором макросистема проходит через ряд последовательных равновесных состояний. Равновесный про- цесс должен быть
квазистатическим
— протекать бесконечно медленно.
Уравнение состояния
— уравнение, связывающее термодинамические пара- метры системы (как правило, давление p, объём V и температуру T):


, ,
const
f p V T 
Такое уравнение можно аналитически точно записать только для одной термоди- намической системы —
идеального газа
2.2. Идеальный газ
2.2.1. Модель идеального газа
Идеальный газ — коллектив огромного числа молекул:
1.
Среднее расстояние между молекулами намного больше их линейных разме- ров
32
и собственным объёмом молекул можно пренебречь по сравнению с объ-
ёмом, занимаемым газом.
2.
Молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении.
3.
Молекулы взаимодействуют между собой и со стенками сосуда посредством аб- солютно упругого удара. Между соударениями молекулы не взаимодействуют.
На
РИС
. 9.5
показано, как модель идеального газа аппроксимирует эксперименталь- ную зависимость потенциальной энергии взаимодействия двух молекул от рассто- яния между их центрами (
РИС
. 9.4
).
32
Хотя размеры молекул малы, молекулы сталкиваются друг с другом. Можно показать это путём численной оценки.
Методы исследования термодинамических систем
термодинамический
основан на общефизических зако- нах
статистический
использует модельный подход
Исходя из модели, находят термо- динамические параметры.

86
Рис. 9.5
2.2.2. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы
Уравнение состояния идеального газа:
const
pV
T

Это уравнение является обобщением экспериментальных фактов.
Частные случаи (газовые законы):
1.
T = const: const
pV 
—
закон Бойля-Мариотта
2.
p = const: const
V
T

—
закон Гей-Люссака
3.
V = const: const
p
T

—
закон Шарля
Уравнение состояния идеального газа можно представить в виде
m
pV
RT
μ

—
уравнение Менделеева-Клапейрона
,
Дж
8,31
моль К
R 

—
универсальная газо-
вая постоянная
Преобразуем уравнение Менделеева-Клапейрона, подставив
m
ν
μ

:
A
N
pV νRT
RT NkT
N



,
(9.1)
23
A
Дж
1,38 10
К
R
k
N




—
постоянная Больцмана
Концентрация молекул
— характеристика макросистемы, равная числу частиц в единичном объёме:
N
n
V

; [n] = м
–3
Из
(9.1)
получим
0
r
W
п
r
0
Экспериментальная зависимость
Модель идеального газа
k

87
N
p
kT
V

,
p nkT

(9.2)
Закон Дальтона:
давление смеси газов равно сумме парциальных давлений ком- понент смеси:
i
p
p


Доказательство
Запишем уравнение
(9.2)
для i-ой компоненты смеси:
i
i
p n kT

(9.3)
Общая же концентрация смеси
i
i
i
N
N
N
n
n
V
V
V







, где N
i
— число молекул i-ой компоненты. Теперь просуммируем выражения
(9.3)
по всем компонентам смеси:
i
i
i
p
n kT kT
n nkT



 

, что, согласно
(9.1)
, равно давлению p смеси.
Хотя идеальный газ — это модель, газовые законы хорошо работают в условиях, близких к нормальным.