Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020

• Название: Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 7.51 Mb.
• Имя файла: conspectus_01.pdf
• Тип: Конспект; #794791
• страница: 12 из 44

Демонстрация:
Адиабатное расширение газа
Адиабатными можно считать процессы, протека- ющие достаточно быстро, когда теплообмен с окружающей средой не успевает произойти, например, при распространении звуковой волны.
2.4.5. Политропный процесс (общий случай) (C = const)
Политропный процесс
— процесс с постоянной теплоёмкостью: const
C 
⇒ const
δQ
C
dT
 
I начало термодинамики:
δQ dU δA


;
2
RT
δA pdV
dV
V
i
dU
RdT








⇒
2
i
RT
δQ
RdT
dV
V


;
2
δQ
i
RT dV
C
R
dT
V dT



Разделим переменные в этом уравнении:
2
i
RT dV
C
R
V dT


⇒
2
dV
C
i dT
V
R
T








,
2 2
1 1
2
V
T
V
T
dV
C
i
dT
V
R
T










(здесь V
1
, T
1
и V
2
, T
2
— параметры соответственно начального и конечного состоя- ний системы),
2 2
1 1
ln ln
2
V
T
C
i
V
R
T








,
2 2
2 1
1
C i
R
V
T
V
T

 
  
 
⇒
2 2
1 1 2 2
i C
i C
R
R
V T
V T



,
2
const
i C
R
VT


Преобразуем это уравнение в координаты (p, V): T pV,
3
0
V
p
1
2
изотерма адиабата
Рис. 11.3

97 2
2
const
i C
i C
R
R
Vp
V



⇒
1 2
2
const
i C
R
i C
R
pV
 


, const
n
pV 
,
—
уравнение политропы
; n —
показатель политропы
. Выразим молярную теп- лоёмкость через показатель политропы:
1 2
2
i C
R
n
i C
R
 


⇒
1 2
2
i
C
i C
n n
R
R

   ⇒


1 1
2 2
C
i
i
n
n
R
   
,


1 1
2 1
2 1
1
V
i
n
i
R
R
C R
R
C
n
n
n
 








,
1
V
R
C C
n



Возможно C ≷ 0.
2.4.6. Зависимость теплоёмкости газа от температуры
1. Теоретическая зависимость
Классическая теория даёт для двухатомного газа
5 2
V
C
R

(см.
РАЗДЕЛ
2.4.2
). График зависимости представлен на
РИС
. 11.4 2. Экспериментальная зависимость
С квантовой точки зрения закон равнораспределения (см.
РАЗДЕЛ
2.3.2
) неверен.
При низких температурах (T < 50 К) вращательные степени свободы молекул не ре- ализуются. Это происходит потому, что энергия поглощается порциями —
кван-
тами
При высоких же температурах начинают реализовываться колебательные степени свободы (которые мы не учитывали ранее). Молекулы не являются жёсткими — атомы в молекуле колеблются около положения равновесия. Энергия колебаний также квантована (см.
РАЗДЕЛ
5.5.4
). Колебания молекул начинают вносить замет- ный вклад в теплоёмкость тогда, когда величина kT становится сравнимой с кван- том энергии колебаний.
При T → 0 C
V
→ 0 по
III
НАЧАЛУ ТЕРМОДИНАМИКИ
Примерный ход экспериментальной зависимости молярной теплоёмкости при по- стоянном объёме от температуры представлен на
РИС
. 11.5
n
0
T
C
V
Рис. 11.4

98
Рис. 11.5
2.5. Тепловые машины
2.5.1. Тепловая машина (тепловой двигатель)
Тепловой двигатель
— устройство, предназначенное для периодического совер- шения работы за счёт внутренней энергии теплового резервуара (за счёт подве- дённого тепла).
Тепловой резервуар — тело с большой по сравне- нию с рабочим телом теплоёмкостью.
Рабочее тело совершает
круговой процесс (цикл)
— процесс, при котором термодинамическая си- стема возвращается в исходное состояние.
Этапы кругового процесса (диаграмма
РИС
. 11.6
):
1-2
: Подвод тепла к рабочему телу от нагревателя:
1 12 0
Q
Q

 ;
12 0
A 
— работа рабочего тела.
2-1
: Отвод тепла от рабочего тела к холодильнику:
2 21 0
Q
Q

 ,
21 0
A 
— работа совершается внешними телами над рабочим телом.
Полезная работа
12 21 12 21
A A
A
A
A




Коэффициент полезного действия (КПД)
— безразмерная характеристика дви- гателя, равная отношению полезной работы к затраченной энергии. Для теплового двигателя
1
A
η
Q

0
T, К
C
V
50 100 10 0
5000 поступ. поступ. +
+ вращ. поступ. +
+ вращ.+
+ колеб.
Составные части тепловой машины
Рабочее тело
тело, совершающее работу
Нагреватель
тепловой резервуар
Холодильник
тепловой резервуар
0
V
p
1


2
A
Q
1
Q
2
Рис. 11.6

99
Запишем I начало термодинамики для цикла, совершаемого рабочим телом:
Δ
Q
U A


;
1 2
1 2
Q Q
Q
Q
Q




⇒
1 2
Q
Q
A


,
1 2
1 2
1 1
Q
Q
Q
Q
η
Q
Q




2.5.2. Холодильная машина
Холодильная машина
— устройство, предназначенное для охлаждения теплового резервуара путём передачи его внутренней энергии другому резервуару.
Этапы кругового процесса (диаграмма
РИС
. 11.7
):
1-2
: Подвод тепла к рабочему телу от холодильника:
2 12 0
Q
Q

 ;
12 0
A 
— работа рабочего тела.
2-1
: Отвод тепла от рабочего тела к нагревателю:
1 21 0
Q
Q

 ,
21 0
A 
— работа совершается внешними телами над ра- бочим телом.
Работа рабочего тела
12 21 12 21 0
A A
A
A
A





I начало термодинамики для рабочего тела:
Q A

;
1 2
2 1
Q Q
Q
Q
Q




,
A
A
 
⇒
2 1
Q
Q
A

 
,
1 2
Q
Q
A


2.5.3. Цикл Карно
Обратимый термодинамический процесс
— процесс, при котором термодина- мическая система проходит через один и тот же ряд последовательных равновес- ных состояний в прямом и обратном направлении.
Процесс, при котором тепло передаётся от более нагретого тела к менее нагретому, необратим (см.
РАЗДЕЛ
2.6.5
). Поэтому, чтобы процесс был обратимым, контакт ра- бочего тела с тепловым резервуаром должен происходить только при постоянной температуре — квазистатический изотермический процесс.
Другой обратимый процесс — это квазистатический адиабатический процесс, т. е. бесконечно медленный процесс в теплоизолированной системе.
Цикл Карно
— единственно возможный обратимый цикл, который можно осуще- ствить при помощи двух тепловых резервуаров с разными температурами.
0 0
V
p
1
2
Q
2
Q
1
Рис. 11.7

100
Рис. 11.8
Соответственно, цикл Карно состоит из квазистатических изотермических и адиа- батных процессов (см. диаграмму
РИС
. 11.8
):
1-2
— изотермические процессы,
3-4
2-3
— адиабатные процессы.
4-1
Найдём КПД теплового двигателя, работающего по циклу Карно. Рабочее тело — идеальный газ.
По определению
2 1
1 1
Q
A
η
Q
Q

 
Рабочее тело сообщается с нагревателем на этапе
1-2
:
2 1
12 12 1
1
ln
V
Q
Q
A
νRT
V



, где T
1
— температура нагревателя (см.
ПРИМЕР РАСЧЁТА РАБОТЫ
; по уравнению Мен- делеева-Клапейрона в процессе
1-2
pV = νRT
1
), V
1
и V
2
— соответственно объёмы газа в состояниях
1
и
2
; а с холодильником — на этапе
3-4
:
3 4
2 34 34 2
2 3
4
ln ln
V
V
Q
Q
A
νRT
νRT
V
V



 
, где T
2
— температура холодильника, V
3
и V
4
— соответственно объёмы газа в со- стояниях
3
и
4
Найдём связь между отношениями объёмов через уравнение адиабаты в коорди- натах (V, T):
p
V
0
1
2
4
3
Q
1
Q
2

101 2
const
i
VT 
⇒
2 2
2 1 3 2 2
2 1 1 4 2
,
i
i
i
i
V T
V T
V T
V T







Разделим верхнее уравнение на нижнее:
3 2
1 4
V
V
V
V

Подставим эти результаты в выражение для КПД:
3 2
4 2
1 2
2 1
1 1
1
ln
1 1
ln
V
νRT
V
T
T T
η
V
T
T
νRT
V

 
 

;
1 2
Карно
1
T T
η
T


, всегда η < 1.
2.5.4. Теоремы Карно (без доказательства)
1.
КПД теплового двигателя, рабочее тело которого совершает цикл Карно, не за- висит от природы рабочего тела и равен отношению максимальной и мини- мальной температур к максимальной температуре рабочего тела: max min
Карно max
T
T
η
T


2.
КПД любого теплового двигателя, рабочее тело которого совершает обрати- мый цикл, не превосходит КПД теплового двигателя, рабочее тело которого со- вершает цикл Карно: обрат
Карно
η
η

3.
КПД теплового двигателя, рабочее тело которого совершает необратимый цикл, меньше КПД теплового двигателя, рабочее тело которого совершает об- ратимый цикл, при прочих равных условиях (при тех же максимальной и мини- мальной температурах рабочего тела): необрат обрат
η
η

Из трёх теорем Карно следует, что max min необрат max
T
T
η
T


2.6. Энтропия. II начало термодинамики
2.6.1. Неравенство Клаузиуса
Пусть некоторое рабочее тело совершает цикл между двумя тепловыми резервуа- рами с температурами T
1
и T
2
(T
1
> T
2
). Из теорем Карно
2 1
Карно
1
T T
η η
T



⇒
1 2
1 2
1 1
Q
Q
T T
Q
T



⇒
2 2
1 1
1 1
Q
T
Q
T

 
⇒
2 2
1 1
Q
T
Q
T
 

102
(так как Q
2
< 0; здесь использованы обозначения
ПРЕДЫДУЩЕГО ПАРАГРАФА
);
1 2
1 2
0
Q
Q
T
T


—
неравенство Клаузиуса
;
Q
T
—
приве-
дённая теплота
. В этих уравнениях знак
«=» соответствует обратимому циклу, «<»
— необратимому.
Сумма приведённых теплот, полученных рабочим телом за цикл, равна нулю, если цикл обратимый, и меньше нуля, если цикл необратимый.
Если имеется бесконечное множество теп- ловых резервуаров, то между ними можно совершить бесконечное множество обрати- мых циклов. Соответственно, любой цикл можно разбить на бесконечное множество обратимых циклов (
РИС
. 11.9
). Запишем неравенство Клаузиуса для каждого из этих циклов и просуммируем эти неравенства:
11 21 11 21 1
2 1
2
Δ
Δ
0,
,
Δ
Δ
0,
i
i
i
i
Q
Q
T
T
Q
Q
T
T


 









⇒
Δ
0
i
i
Q
T


—
неравенство Клаузиуса
: количество приведённого тепла, полученного рабо- чим телом в обратимом цикле, равно нулю, а в необратимом цикле — меньше нуля.
Теперь пусть ΔQ
i
→ 0. Тогда при обратимом цикле
0
δQ
T


Подынтегральное выражение — функция состояния термодинамической системы; обрат
δQ
dS
T


 



,
S —
энтропия
;
 
Дж
К
S 
Приращение энтропии равно количеству приведённого тепла, полученного систе- мой в обратимом процессе.
При необратимом процессе
δQ
dS
T

0
V
p
ΔQ
1i
ΔQ
2i
Рис. 11.9

103
Лекция 12
2.6.2. Фазовое пространство
Состояние частицы определяется 6 микропара- метрами: x
i
, y
i
, z
i
; v
xi
, v
yi
, v
zi
(
РИС
. 12.1
). Микросо- стояние системы определяется 6N микропара- метрами (N — число частиц в системе).
Фазовое пространство
— 6-мерное простран- ство координат и проекций скоростей (импуль- сов). Фазовое пространство можно разбить на области
(фазовые ячейки)
. Размер ячейки не детерминирован в классической физике, но определён в квантовой механике (см.
РАЗДЕЛ
6.1.5
).
Изобразительная точка
— точка в фазовом пространстве, эквивалентная молекуле.
В классической физике тождественные ча- стицы различимы — изобразительные точки можно пронумеровать.
Микросостояние задаётся распределением изобразительных точек (по номерам) по фазовым ячейкам.
Макросостояние задаётся количеством изобразительных точек в каждой фазовой ячейке.
2.6.3. Термодинамическая вероятность
Термодинамическая вероятность (статистический вес)
W макросостояния — число микросостояний, которым может быть реализовано данное макросостояние.
Термодинамическая вероятность — функция состояния системы.
Все микросостояния считаются равновероятными. Вероятность i-го макросостоя- ния
0
i
i
W
P
W

, где W
0
— статистический вес макросистемы — число возможных микросостоя- ний данной макросистемы.
Равновесному состоянию соответствует макросостояние, которое реализуется наибольшим числом микросостояний (статистический вес W
max
).
Любая замкнутая термодинамическая система стремится к состоянию с макси- мальной термодинамической вероятностью. Любой самопроизвольный термоди- намический процесс идёт в сторону возрастания термодинамической вероятности.
П
РИМЕРЫ
1) Распределение четырёх изобразительных точек по двум фазовым ячейкам
Число изобразительных точек (молекул) N = 4, число фазовых ячеек n = 2
Распределение показано в
ТАБЛ
. 12.1
z
y
x
O
m
i
Рис. 12.1

104
Таблица 12.1
Левая
Правая
Число изобразительных точек в ячейке
0 4


1 микросостояние
1 3







 4 микросостояния
2 2




…
6 микросостояний


2 4
4!
2 3 4 6
2! 4 2 !
2 2
С
 





3 1
…
4 микросостояния
4 0
…
1 микросостояние
Макросостояние
Число микросостояний =
= статистический вес
макросостояния
Вероятность
макросостояния
левая ячейка правая ячейка
0 4
1 1/16 1
3 4
1/4 2
2 6
3/8 3
1 4
1/4 4
0 1
1/16
Статистический вес макросистемы
4 0
16 2
N
W
n



Видно, что наиболее упорядоченные макросостояния (0 и 4, 4 и 0) наименее веро- ятны, а наименее упорядоченное (5 и 5) — наиболее вероятно.
2) Распределение десяти изобразительных точек по двум фазовым ячейкам
N = 10, n = 2
Статистический вес макросистемы
10 0
2 1024
W 

Наиболее вероятное макросостояние:
5 5
Статистический вес этого макросостояния

105


5 5,5 10 10!
252 5! 10 5 !
W
С




Наименее вероятные макросостояния:
0 10 10 0
Статистический вес этих макросостояний
0,10 10,0 1
W
W

 .
3) Распределение 10 25
изобразительных точек по двум фазовым ячейкам
N = 10 25
, n = 2
Статистический вес макросистемы
25 10 0
2
W 
(Студентам предлагается