Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020

• Название: Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 7.51 Mb.
• Имя файла: conspectus_01.pdf
• Тип: Конспект; #794791
• страница: 14 из 44

Средняя скорость
молекулы идеального газа:
 
0
F
d



v
v v v ,
0 8
8
kT
RT
πm
πμ


v
Средняя квадратичная скорость
молекулы идеального газа:
0
v
F(v)
T
1
T
2
> T
1

113
 
2 2
0 0
3kT
F
d
m




v
v
v v
, кв
0 3
3
kT
RT
m
μ


v
Видно, что вер кв


v
v
v (
РИС
. 13.3
).
Рис. 13.3
2.7.3. Распределение молекул идеального газа по энергиям
Найдём функцию распределения молекул идеального газа по кинетическим энер- гиям ε — F(ε) (здесь имеется в виду кинетическая энергия поступательного движе- ния). Число молекул с энергиями от ε до ε + dε
 
ε
dN
NF ε dε

(13.5)
Эти энергии соответствуют скоростям молекул от v до v + dv. Число молекул dN
ε
можно выразить и через функцию распределения Максвелла F(v)
38
:
 
ε
dN
NF
d

v v .
(13.6)
Приравняв
(13.5)
и
(13.6)
, получим
 
 
F ε dε F
d

v v ;
   
d
F ε
F
dε

v
v
(13.7)
Для того чтобы найти F(ε), выразим скорость молекулы и функцию распределения
Максвелла через кинетическую энергию:
2 0
2
m
ε 
v
⇒
0 2ε
m

v
,
0 0
2 1 1
2 2
d
dε
m
ε
m ε


v
;
 
0 0
3 3
2 2
2 2
0 0
2 0
0 2
8 4
2 2
m
ε
ε
kT m
kT
m
m
ε
π
F
π
e
εe
πkT
m
πkT
m
















v
38
Функции F(v) и F(ε) — это разные функции. Принято обозначать их одним символом.
0
v
F(v)
v
вер
v
кв

114
Из
(13.7)
получим
 
 
 
3 2 3 0
3 2 3 2 1 2 1 2 3 2 3 2 0
0 2
2 2
2
ε
ε
kT
kT
m
π
e
F
ε
εe
m
ε
π
kT
m
π kT




v
,
 
 
3 2 2
ε
kT
F ε
εe
π kT


График этой функции показан на
РИС
. 13.4
Рис. 13.4
Дополнительное задание
Доказать, что наиболее вероятное значение кинетической энергии молекулы вер
2
kT
ε 
, среднее значение энергии
3 2
kT
ε 
2.7.4. Барометрическая формула
Рассмотрим столб идеального газа (молярная масса равна µ) в однородном грави- тационном поле (ускорение свободного падения
g
) при постоянной температуре
T (изотермическая атмосфера). Найдём зависимость давления и концентрации газа от высоты.
Выделим тонкий слой газа толщиной dh на высоте h
(
РИС
. 13.5
). Давление этого слоя
dp
ρgdh
 
,
ρ — плотность газа, знак «–» означает, что давление уменьшается с ростом высоты.
Из уравнения Менделеева-Клапейрона
pμ
ρ
RT

⇒
pμg
dp
dh
RT
 
Разделим переменные:
dp
μg
dh
p
RT
 
⇒
0 0
p
h
p
dp
μg
dh
p
RT
 


⇒
0
ln
p
μgh
p
RT
 
,
0
F(ε)
ε
v
кв
ε
вер
dh
h
p
p
0 0
T
Рис. 13.5

115
p
0
— давление столба газа на нулевом уровне,
0
μgh
RT
p p e


—
барометрическая формула
. Можно записать эту формулу в виде
0
μgh
RT
ρ ρ e


, где ρ
0
— плотность газа на нулевом уровне, и, учитывая, что p = nkT,
0
μgh
RT
n n e


,
n
0
— концентрация молекул газа на нулевом уровне.
Эти формулы можно также представить через массу молекулы m
0
:
0 0
m gh
kT
p p e


,
0 0
m gh
kT
ρ ρ e


,
0 0
m gh
kT
n n e


или через потенциальную энергию молекулы ε
п
= m
0
gh (см.
РАЗДЕЛ
1.8.4
): п
0
ε
kT
p p e


, п
0
ε
kT
ρ ρ e


, п
0
ε
kT
n n e


Графики зависимости концентрации газа от высоты при двух разных температурах и одинаковом давлении на нулевом уровне показаны на
РИС
. 13.6
Рис. 13.6
Демонстрация:
Распределение молекул в поле тяжести
2.7.5. Распределение Максвелла-Больцмана
Распределение Больцмана:
п
0
ε
kT
n n e


, здесь ε
п
— потенциальная энергия молекулы, n
0
— концентрация молекул газа на нулевом уровне потенциальной энергии. Эту формулу мы вывели в
ПРЕДЫДУЩЕМ
РАЗДЕЛЕ
для однородного гравитационного поля, но можно показать, что распреде- ление Больцмана справедливо для любого потенциального поля.
T
1
n
02
n
h
T
2
> T
1
O
n
01

116
Между распределениями Максвелла в форме
(13.4)
и Больцмана есть большое сход- ство, так как
2 0
к
2
m
ε
kT

v
, ε
к
— кинетическая энергия поступательного движения мо- лекулы.
Распределение Максвелла:
к к
3 2
0 2
ε
kT
ε
x
y
z
m
dN
N
e
d d d
πkT



 



v v v
Распределение Больцмана:
п п
0
ε
kT
ε
dN
n e dxdydz


Закон Максвелла-Больцмана:
к п
3 2
0 0
2
ε ε
kT
x
y
z
m
dN
n e
d d d dxdydz
πkT




 



v v v
— число частиц в элементе объёма фазового пространства (dx, dy, dz, dv
x
, dv
y
, dv
z
).

117
Лекция 14
2.8. Реальный газ. Фазовые переходы
2.8.1. Модель реального газа Ван-дер-Ваальса. Уравнение Ван-дер-Ваальса
Модель реального газа
(в отличие от идеального газа):
1.
Молекулы имеют конечный объём.
2.
Молекулы притягиваются на не слишком больших расстояниях друг от друга (r < r
1
).
Здесь r
1
—
радиус молекулярного действия
, сфера радиуса r
1
—
сфера молекулярного
действия
Аппроксимация экспериментальной зависимости потенциальной энергии взаимодействия моле- кул моделью реального газа показана на
РИС
. 14.1
Получим уравнение состояния реального газа, ос- новываясь на этих двух положениях, исходя из уравнения состояния идеального газа — уравне- ния Менделеева-Клапейрона
μ
pV
RT

(для 1 моля), здесь V
µ
—
молярный объём
— объём, занимаемый 1 молем газа.
1.
При переходе к модели реального газа
μ
μ
V
V
b


, где b — объём, занимаемый молекулами 1 моля газа;
 
3
м моль
b 
2.
Внесём поправку на силы притяжения на межмолеку- лярных расстояниях порядка радиуса молекулярного действия. В слое толщиной r
1
межмолекулярное при- тяжение оттягивает молекулы от стенки сосуда
(
РИС
. 14.2
). Слой, прилегающий к стенке сосуда, оття- гивается от неё с силой
F
. Модуль этой силы пропор- ционален произведению числа молекул в этом слое и числа молекул в слое, который его притягивает, т. е. квадрату общего числа N молекул:
2 2
2 1

μ
F
N
n
V

(n — концентрация молекул газа), а поправка к давлению пропорциональна модулю этой силы:
2
μ
a
p
p
V
 
,
 
6 2
Па м моль
a


Уравнение Ван-дер-Ваальса (уравнение состояния реального газа):
0
r
W
п
r
0
Экспериментальная зависимость
Модель идеального газа
Модель реального газа
r
1
Рис. 14.1
r
1
r
1
Рис. 14.2

118


2
μ
μ
a
p
V
b
RT
V











,
(14.1)
a и b —
постоянные Ван-дер-Ваальса
— характеристики газа.
Уравнение Ван-дер-Ваальса для ν молей идеального газа
2 2
aν
V
p
b
RT
V
ν













Внутренняя энергия реального газа
2
i
aν
U
νRT
V


Поправка
aν
V

обусловлена потенциальной энергией притяжения молекул.
2.8.2. Изотермы реального газа
Фаза
в термодинамике — совокупность однородных, одинаковых по всем своим свойствам частей термодинамической системы.
Представим уравнение Ван-дер-Ваальса
(14.1)
в виде явной зависимости p(V
µ
):
2
μ
μ
RT
a
p
V
b V



Графики этой зависимости при разных температурах представлены на
РИС
. 14.3
Рис. 14.3
Видно, что при низких температурах кривая p(V
µ
) имеет по два экстремума, а при более высоких — зависимость p(V
µ
) монотонна. Пограничная изотерма — крити-
ческая — имеет один горизонтальный перегиб (кривая красного цвета на
РИС
. 14.3
).
Состояние газа с параметрами, соответствующими этой точке, называется
крити-
ческим
. Параметры критического состояния можно найти из условий
V
µ
p
0
p
кр
V
кр
T
кр
1
3
5
2
4

119 2
2 0,
0.
μ
μ
dp
dV
d p
dV








Проведя преобразования, получим кр
3
V
b

, кр
8 27
a
T
Rb

, кр
2 27
a
p
b

В реальности зависимости давления от объёма с двумя экстремумами не наблюда- ются. Вещество, в котором давление растёт с ростом объёма при постоянной тем- пературе, не может быть стабильным. В таких областях вещество становится неод- нородным и расслаивается на две фазы.
Состояния, в которых с ростом давления растёт объём, нестабильны и не реализу- ются (участок
2-3-4
одной из кривых на
РИС
. 14.3
). Их заменяет прямой участок
1-5
Перечислим, в каком состоянии находится вещество на разных участках изотермы
Ван-дер-Ваальса:
1-5
—
насыщенный пар
— газ, находящийся в термодинамическом равновесии со своей жидкостью, и
жидкость
;
1-2
—
перегретая жидкость
;
4-5
—
пересыщенный пар
39
Критическая температура — это температура, при которой стирается различие между жидкостью и газом
40
. При температуре больше критической принципи- ально невозможно перевести газ в жидкое состояние.
Критическая температура воды: t
кр
= 374°С.
На
РИС
. 14.4
показано, в какой фазе находится вещество на разных участках диа- граммы (p, V). Обозначения:
Г
— газ,
Ж
— жидкость,
П
— пар,
К
— критическая точка.
39
Перегретую жидкость и пересыщенный пар можно получить, если нагревать жидкость (или, со- ответственно, охлаждать пар) очень осторожно, так чтобы в жидкости (паре) не образовывались зародыши газообразной (жидкой) фазы, т. е. в среде должны отсутствовать неоднородности, а также следует избегать механических возмущений.
40
Термин «пар» используется для обозначения газообразного состояния при температурах ниже критической, а «газ» — при температурах, соответственно, выше критической.

120
Рис. 14.4
Демонстрация:
Критическое состояние эфира
2.8.3. Диаграммы состояния вещества
Разные фазы одного и того же вещества могут находиться в термодинамическом равновесии друг с другом. При этом каждому значению давления соответствует своё значение температуры. Совокупность равновесных состояний двух и более фаз изображается на диаграммах (p, T) (
РИС
. 14.5
).
Рис. 14.5. Фазовая диаграмма вещества
Обозначения на
РИС
. 14.5
:
Г
— газ,
Ж
— жидкость,
ТТ
— твёрдая фаза,
К
— критиче- ская точка,
Тр
– тройная точка.
Тройная точка
– единственная точка на фазовой диаграмме, в которой три фазы вещества находятся в термодинамическом равновесии.
Для воды p
тр
= 6,4·10 2
Па = 5 мм рт. ст.; T
тр
= 273,15 К (точно
41
).
2.8.4. Фазовые переходы
Фазовой переход
— переход вещества из одной фазы к другой.
41
Единственность тройной точки делает её удобной для установления эталона температуры.
p
V
0
П
К

Г
Ж + П
Ж
p
T
0
Г
Ж
Тр
ТТ
К

121
Теплота фазового перехода
Q (характеризует переходы I рода) — количество теплоты, выделяемое (поглощаемое) веществом при фазовом переходе.
Удельная теплота фазового перехода
— теплота фазового перехода, приходя- щаяся на вещество единичной массы:
Q
λ
m

,
 
Дж
К
λ 
2.9. Неравновесные процессы
2.9.1. Длина свободного пробега молекулы идеального газа
Молекулы идеального газа — это упругие шарики. Двигаясь хаотиче- ски, они сталкиваются между собой.
Размер этих шариков —
эффективный диаметр молекулы
(
РИС
. 14.6
); d = d(T) — слабая функция температуры.
Эффективное се-
чение молекулы
2 4
πd
σ 
Средняя длина свободного пробега
молекулы идеального газа — среднее рассто- яние, которое молекула проходит между двумя последовательными соударениями.
Найдём эту величину. Будем считать молекулы неподвижными, движется только «тень» одной молекулы. «Тень» столкнётся со всеми молеку- лами, центры которых лежат внутри цилиндра диаметром 2d (
РИС
. 14.7
). Число этих молекул ΔN равно числу столкновений «тени»


2
Δ
Δ
N πd l n
, здесь n — концентрация молекул газа, Δl — длина цилиндра. Средняя длина свободного пробега
2
Δ
1
Δ
l
λ
N πd n


На самом деле молекулы не неподвижны. Теперь рассмотрим движение молекулы относительно других молекул. Относительная скорость молекулы
Фазовые переходы
I рода
скачкообразно изменяются ρ, n
Q
П
РИМЕРЫ
:
сублимация, кипение, переход ве- щества из одной кристалличе- ской модификации в другую, пе- реход вещества из сверхпроводя- щего состояния в нормальное
II рода
скачкообразно изменяется C
П
РИМЕРЫ
:
переход вещества из ферромаг- нитного состояния в парамагнит- ное, из нормального состояния в сверхпроводящее
d
Рис. 14.6
2d
Δl
Рис. 14.7

122 отн
2 1


v
v
v
,
 
2 2
2 2
2
отн
1 2
1 2 1
2 1 2 1
2 2
2
cos
,






v
v
v
v v
v
v
v v
v v .
Усредним:
 
2 2
2 2
отн
1 2 1
2 2
cos
,
2




v
v
v
v v
v v
v .
Среднеквадратичные скорости пропорциональны среднеарифметическим, по- этому
2
отн отн кв

2
2

v
v
v
v ;
2 1
2
λ
πd n
