Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
 Скачать 7.51 Mb.
|
|
1 2 Рис. 23.7 188 — электродвижущая сила (ЭДС) — энергетическая характеристика электромаг- нитного поля (поля сторонних сил), равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда из начала в конец проводника; В E 3.6.2. Закон Ома Большинство проводников подчиняется закону Ома. Экспериментальный 64 закон Ома в дифференциальной форме: j σE , (23.4) где σ — удельная электропроводность вещества . Закон Ома справедлив для ве- ществ, в которых концентрация носителей заряда остаётся неизменной. Удельное электрическое сопротивление вещества 1 ρ σ ; См м σ , [ρ] = Ом·м. Подставим напряжённость электрического поля в виде (23.3) в закон Ома в форме (23.4) , затем умножим скалярно на элемент контура dl : кул стор j σ E E , кул стор кул стор E dl E dl jdl σE dl σE dl ρ ρ Умножим это выражение на ρ и проинтегрируем по контуру 1-2 ( РИС . 23.7 ): 2 2 2 кул стор 1 2 12 1 1 1 ρ jdl E dl E dl φ φ E . (23.5) По определению плотности тока dI dI I jdl ndl dl dl dS dS S , где S ⏊ — площадь сечения проводника в направлении, перпендикулярном плотно- сти тока. Подставим это выражение в (23.5) и проинтегрируем по участку 1-2 : 2 1 2 12 1 ρdl I φ φ S E . Интеграл в левой части этого равенства — электрическое сопротивление участка цепи 1-2 – характеристика проводника, зависящая от его формы, размеров и материала: 2 12 1 ρdl R S ; (23.6) [R] = Ом. 64 Этот закон для металлических проводников будет выведен в ПАРАГРАФЕ 6.5 189 С учётом определения (23.6) перепишем (23.5) в виде 12 1 2 12 IR φ φ E (23.7) — обобщённый закон Ома для участка цепи . Здесь: φ 1 – φ 2 — разность потенциалов на участке 1-2 ; E 12 — ЭДС на участке 1-2 ; кул стор 12 12 12 12 0 0 A A IR U q q — падение напряжения на участке 1-2 Демонстрации: 1) Падение потенциала вдоль верёвки 2) Усы Курёпина 3.6.3. Способы соединения проводников В этом разделе рассматриваются однородные участки цепи, т. е. такие, в которых неэлектростатические поля не совершают работы (E 12 = 0). Закон Ома для одно- родного участка цепи 12 12 IR U 1. Последовательное соединение ( РИС . 23.8 ) Для N проводников, соединённых последова- тельно 1 2 i N I I I I I , так как по закону сохранения заряда заряд, проходящий через любое сечение каждого из проводников в определённый промежуток времени, одинаков. Для однородного участка I i R i = U i = φ 1i – φ 2i ; общее падение напряжения 1 2 i N i U U U U U U Сопротивление участка цепи, состоящего из N проводников, соединённых последо- вательно, i i i i U U U R R I I I ; 1 N i i R R R 1 R 2 R i R N I Рис. 23.8 190 2. Параллельное соединение ( РИС . 23.9 ) В этом случае напряжение на всех проводниках одинаково, а токи суммируются: 1 2 i N U U U U U , 1 2 i N i I I I I I I Сопротивление участка цепи, состоящего из N проводников, со- единённых параллельно, 1 1 1 i i i i U U R I I I R U , 1 1 1 N i i R R 3.6.4. Правила Кирхгофа Приведённые ниже два правила являются выражениями физических законов — за- кона сохранения электрического заряда и закона Ома — и позволяют рассчитать токи и напряжения на любом участке сколь угодно сложной электрической цепи. 1. Алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю: узел 0 i I Узел электрической цепи — место (точка на электриче- ской схеме), где соединяются два и более проводников ( РИС . 23.10 ). При записи I правила Кирхгофа втекающие в узел токи считаются положительными, вытекающие — отрицательными. I правило Кирхгофа следует из закона сохранения элек- трического заряда. 2. Сумма падений напряжений на замкнутом участке цепи равна сумме ЭДС на этом участке: i i i I R E Доказательство Применим обобщённый закон Ома (23.7) к каждому из N проводников на замкну- том участке цепи: 1 2 i i i i i I R φ φ E . Просуммируем эти выражения по всему замкнутому участку: 1 2 i i i i i I R φ φ E , ч. т. д. Для расчёта токов в цепи произвольно выбирают направления токов в каждом не- разветвлённом участке и направления обхода замкнутых контуров. Составляют си- стему линейных алгебраических уравнений: N – 1 уравнений по I правилу Кирхгофа (N — число узлов); I 2 I i I 1 I N I R 1 R 2 R i R N Рис. 23.9 I i I N I 2 I 1 Рис. 23.10 0, т. к. контур замкнут 191 k уравнений по II правилу Кирхгофа (k — число независимых замкнутых контуров, т. е. таких контуров, которые нельзя целиком составить из других рассматривае- мых контуров). Эта система уравнений должна иметь одно и только одно решение. П РИМЕР Расчёт токов в разветвлённой цепи Электрическая цепь состоит из трёх источников постоянного тока и трёх однородных проводников (схема цепи на РИС . 23.11 ). Параметры E 1 , E 2 , E 3 , R 1 , R 2 , R 3 известны. Найти токи в каждой из ветвей цепи. Число узлов в цепи N = 2, число независимых контуров k = 2. Произвольно обозначим направления токов в ветвях цепи, вы- берем направления обхода контуров I и II (см. РИС . 23.11 ). Можно было бы выбрать другие два из трёх замкнутых контуров в этой цепи. Запишем уравнение по I правилу Кирхгофа для узла 1 и уравнения по II правилу Кирхгофа для контуров I и II : 1 2 3 1 1 2 2 1 2 2 2 3 3 2 3 1: 0; I: , II: I I I I R I R I R I R E E E E Эта система содержит 3 уравнения с 3 неизвестными. Студентам предлагается ре- шить её самостоятельно I 2 I 1 I 3 R 1 R 2 R 3 E 1 E 2 E 3 1 2 I II Рис. 23.11 192 Лекция 24 3.6.5. Закон Джоуля-Ленца При протекании электрического тока энергия электрического поля — работа сто- ронних сил расходуется на приращение внутренней энергии проводника (A = ΔU = Q — количество теплоты, выделившееся в цепи). Работа электростатического поля по переносу заряда dq по однородному участку цепи 1-2 ( РИС . 23.7 ) 2 1 δA φ φ dq ; по определению силы тока dq = Idt, а по закону Ома для однородного участка цепи IR = φ 1 – φ 2 . Работа по переносу заряда по участку цепи 1-2 за конечное время t 2 2 1 0 0 0 t t t A φ φ Idt IR Idt I Rdt ; 2 0 t Q I Rdt — закон Джоуля-Ленца в интегральной форме При I = const 2 2 U Q I Rt UIt t R Мощность тока [по определению мощности (см. РАЗДЕЛ 1.8.2 )] δQ N dt Удельная мощность тока — энергетическая характеристика тока, равная энер- гии электрического поля, переходящей во внутреннюю энергию проводника в еди- ничный промежуток времени в единичном объёме: δQ w Vdt ; 3 Вт м w Так как δQ = I 2 Rdt, 2 I R w V Для проводника цилиндрической формы ( РИС . 24.1 ) V Sl , ρl R S (ρ — удельное сопротивление проводника); если плотность тока j постоянна по сечению проводника, то I = jS и 2 2 2 j S ρl w ρj S Sl ; 2 w ρj — закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме . Можно показать, что этот закон справедлив для проводника любой формы и при любом распределении плот- ности тока. Рис. 24.1 l S I 193 П РИМЕР Параллельное и последовательное соединения ламп накаливания Две одинаковые лампы подключаются к одному и тому же источнику сначала па- раллельно, затем последовательно. В каком случае лампы будут ярче гореть? Демонстрация: Лампы накаливания Лампа будет гореть тем ярче, чем больше её температура, т. е. чем больше энергия, переходящая во внутреннюю энергию, — мощность тока, протекающего через лампу. Представим лампы как проводники сопротивлением R; источник, к которому они подключаются, имеет ЭДС E и внутреннее сопротивление r. а б Рис. 24.2 1) Параллельное соединение (схема на РИС . 24.2 А ) I правило Кирхгофа для узла 1 : 0 1 1 1 2 I I I I ⇒ 0 1 2 I I Для нахождения тока I 0 воспользуемся обобщённым законом Ома и формулой для сопротивления параллельно и последовательно соединённых проводников: 0 общ I R E , общ 2 R R R R r r R R ⇒ 0 2 2 2 I R r R r E E , 1 2 I r R E Мощность тока, протекающего через каждую из ламп, 2 2 1 1 2 N I R R r R E 2) Последовательное соединение (схема на РИС . 24.2 Б ) Цепь неразветвлённая. Ток в цепи и в каждой из ламп 2 2 I r R E Мощность тока в одной лампе 2 2 2 2 2 N I R R r R E Отношение I 1 I 0 R I 1 R E, r 1 I 2 R R E, r 194 2 2 2 1 2 2 2 2 2 N r R r R N r R r R E E Обычно внутреннее сопротивление источника сравнительно невелико: r << R. В та- ком случае 2 1 2 2 4 N R N R При параллельном соединении лампы горят в четыре раза ярче, чем при последо- вательном. 3.7. Постоянное магнитное поле в вакууме В этом случае 0 E , 0 B t Уравнения Максвелла: II. 0 0 L L S Bdl μ jdS μ I IV. 0 S BdS Силовые линии магнитного поля замкнуты. 3.7.1. Закон Био-Савара-Лапласа. Расчёт индукции магнитного поля методом супер- позиций Закон Био-Савара-Лапласа: индукция магнитного поля точечного тока (беско- нечно малого участка dl тонкого проводника с током I) 0 3 , 4 dl r μ dB I π r , (24.1) где r — радиус-вектор, соединяющий точечный ток с точкой, где измеряется ин- дукция магнитного поля ( РИС . 24.3 ); µ 0 — магнитная постоянная; dl направлен по току. Направление dB выбирается по правилу правого винта 65 . На РИС . 24.3 векторы dl и r лежат в плоскости чертежа, а dB перпендикулярен плоскости чертежа. Модуль элементарной магнитной индукции 0 2 sin 4 μ Idl α dB π r Закон Био-Савара-Лапласа — эмпирический закон. Исходя из него может быть доказана теорема о циркуляции вектора магнитной ин- дукции(см. 3.7.2 ). 65 Можно пользоваться правилом правой руки, известным из школьного курса физики, в следующей формулировке: если пальцы правой руки направить по току, а большой палец — в сторону точки, где измеряется поле, то линии магнитной индукции будут входить в ладонь. I α ⊗ Рис. 24.3 195 Принцип суперпозиции в применении к вектору магнитной индукции (см. РАЗДЕЛ 3.1.5 ): i B B , B dB Любую сколь угодно сложную систему токов можно разбить на точечные токи (или токи другой формы, поле которых легко рассчитать) и рассчитать магнитную ин- дукцию, воспользовавшись законом Био-Савара-Лапласа и принципом суперпози- ции. П РИМЕРЫ 1) Расчёт индукции магнитного поля тонкого прямого провода с током Тонкий прямой провод AC, по которому идёт ток I, виден из точки D, находящейся на перпендикуляре к нему на расстоянии b, под углами β 1 и β 2 ( РИС . 24.4 ). Найти ин- дукцию магнитного поля в точке D. Полем подводящих проводов пренебречь. Рис. 24.4 Разобьём проводи на малые фрагменты dl — точечные токи. По закону Био-Са- вара-Лапласа 0 3 , 4 dl r μ dB I π r , направление dB — перпендикулярно плоскости чертежа «от нас». Применим принцип суперпозиции B dB dβ β b β 2 α dβ rdβ A C O · β 1 ⊗ , D I 196 Все dB направлены одинаково, поэтому результирующая магнитная индукция B направлена так же. Найдём модуль B : B dB ; 0 2 sin 4 μ Idl α dB π r ; r, α, l — зависящие друг от друга переменные. Выразим их через угол β, так как ин- тегрировать по этому углу удобнее: sin cos α β , cos b r β , 2 cos cos rdβ bdβ dl β β ; 2 0 0 2 2 cos cos cos 4 cos 4 μ I μ I bdβ β dB β βdβ π b β πb ; 2 1 0 0 1 2 cos sin sin 4 4 β β μ I μ I B βdβ β β πb πb |