Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
 Скачать 7.51 Mb.
|
|
4-потенциал 3.8. Действие магнитного поля на движущиеся заряды 3.8.1. Движение точечного заряда в магнитном поле Магнитная составляющая электромагнитного поля действует на точечный заряд q, движущийся со скоростью v , с силой 2 F q B v — сила Лоренца (магнитная составляющая) (см. РАЗДЕЛ 3.1.3 ). Магнитная составляющая силы Лоренца всегда перпендикулярна скорости ча- стицы. По этой причине магнитное поле не совершает работы. П РИМЕР Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле Частица массы m, имеющая заряд q > 0, влетает со скоростью v в область простран- ства, где имеется однородное магнитное поле с индукцией B ( РИС . 25.3 ). Угол между v и B равен α. По какой траектории будет двигаться частица? Запишем II закон Ньютона для данной частицы 2 ma F , (25.4) где 2 F q B v . Сила 2 F и ускорение a изображены на РИС . 25.3 А , Б в разных проек- циях. Методы расчёта магнитной индукции метод суперпозиций теорема о циркуляции через 205 а б Рис. 25.3 Сила 2 F перпендикулярна скорости частицы, так же направлено и ускорение, т. е. a = a n — нормальное ускорение. Следовательно, вдоль оси, параллельной линиям магнитной индукции, частица будет двигаться равномерно, а в проекции на плос- кость, перпендикулярную линиям магнитной индукции (плоскость РИСУНКА 25.3 Б ) — по окружности. Спроецируем векторное равенство (25.4) на нормаль к проекции траектории ча- стицы на плоскость, перпендикулярную линиям магнитной индукции: sin n ma q B α v По известной формуле кинематики (2.3) 2 n a R v , где v ⏊ = v sin α, R — радиус траек- тории; 2 m q B R v v ⇒ m R qB v . Можно также найти шаг спирали, по которой движется частица. При q < 0 траектория будет закругляться в другую сторону. Демонстрация: Электронно-лучевая трубка 3.8.2. Действие магнитного поля на проводник с током Рассмотрим участок проводника длиной dl, находя- щийся в магнитном поле с индукцией B , по которому идёт ток I ( РИС . 25.4 ). Заряд носителей равен q (будем считать, что в проводнике движутся положительно за- ряженные частицы), скорость их упорядоченного дви- жения — v . На каждый носитель магнитное поле дей- ствует с силой 2 F q B v . Всего на данном участке про- водника находится dN носителей заряда, их общий за- ряд dQ q dN Сила, с которой магнитное поле действует на все эти заряды, А 2 dF F dN q B dN dQ B v v m, q ⊕ ⊙ α O R ⊕ m, q ⊙ Рис. 25.4 ⊗ q ⊕ I 206 Представим dl dt v (dt — время, за которое носитель заряда проходит расстояние dl; направим dl в сторону упорядоченного движения зарядов), тогда А , , dl dQ dF dQ B dl B I dl B dt dt , так как dQ I dt Закон Ампера: А , dF I dl B , где А dF — сила Ампера — сила, с которой магнитное поле действует на проводник с током. П РИМЕР Взаимодействие прямых проводов с токами Имеются два прямых параллельных длинных провода с токами I 1 и I 2 , текущими в одну сторону ( РИС . 25.5 А ). Расстояние между проводами равно d. Найти силу, с кото- рой магнитной поле одного провода действует на отрезок другого провода единич- ной длины. Направление индукции магнитного поля 1 B провода с током I 1 в точках, через ко- торые проходит провод с током I 2 , и индукции магнитного поля 2 B провода с током I 2 в точках, через которые проходит провод с током I 1 ; 21 dF — сила, с которой поле провода с током I 1 действует на элемент тока 2 dl ; 12 dF — сила, с которой поле про- вода с током I 2 действует на элемент тока 1 dl показаны на РИС . 25.5 А а б Рис. 25.5 По закону Ампера ⊗ d I 1 I 2 ⊙ ⊗ d I 1 I 2 ⊗ 207 12 2 2 1 21 1 1 2 , , , dF I dl B dF I dl B ⇒ 12 2 1 2 21 1 2 1 , dF I B dl dF I B dl Модули магнитной индукции (см. ПРИМЕР В РАЗДЕЛЕ 3.7.2 ) 0 1 1 2 μ I B πd , 0 2 2 2 μ I B πd При l 1 = l 2 = 1 0 1 2 12 21 2 μ I I F F πd При одинаково направленных токах провода притягиваются. При разнонаправлен- ных токах I 1 , I 2 ( РИС . 25.5 Б ) провода отталкиваются (формула для модуля силы вза- имодействия проводов будет той же). Демонстрация: Взаимодействие прямых токов 3.8.3. Рамка с током в магнитном поле Поместим прямоугольную рамку 1234 с током I в однородное магнитное поле с ин- дукцией B ; нормаль к плоскости рамки расположена под углом α к линиям магнит- ной индукции ( РИС . 25.6 А ). Равнодействующая сил Ампера, с которыми магнитное поле действует на все четыре стороны рамки, равна нулю, но суммарный момент сил нулю равен не будет — рамка будет разворачиваться вокруг оси, перпендику- лярной линиям магнитной индукции. а б Рис. 25.6 Найдём момент сил Ампера — момент пары сил 12 F и 34 F . Пусть ось, перпендику- лярная линиям магнитной индукции — ось z проходит через сторону 12 . Един- ственная сила, которая имеет ненулевой момент относительно этой оси, это сила 34 F . Её момент 34 23 34 M M l F ; 34 23 34 23 34 sin sin sin M l F α l IBl α IBS α , где S = l 23 l 34 — площадь рамки; z I 1 3 2 4 α α I 2 3 ⊙ ⊗ α α ⊗ ⊙ 208 m M p B , (25.5) где m p ISn — магнитный момент рамки — характеристика замкнутого проводника (кон- тура) с током ( n — нормаль к поверхности рамки); [p m ] = А·м 2 Вектор магнитного момента показан на РИС . 25.6 Б — вид со стороны 23 рамки. Направление магнитного момента выбирается в соответствии с направлением тока в рамке по правилу правого винта. Соотношение (25.5) справедливо и для рамки произвольной формы. Магнитное поле стремится развернуть рамку с током так, чтобы её магнитный момент был направлен вдоль линий магнитной индукции. Демонстрации: 1) Рамка с током в магнитном поле 2) «Сознательные» катушки 3.8.4. Работа силы Ампера 1. Энергия рамки с током в магнитном поле Рассмотрим рамку с током, находящуюся в однородном магнитном поле (см. ПРЕДЫ- ДУЩИЙ РАЗДЕЛ ). Чтобы повернуть рамку на угол dα, внешние силы должны совер- шить работу * * sin m δA M dα Mdα Mdα p B αdα , здесь * M M — момент внешних сил, вектор углового перемещения dα обозна- чено на РИС . 25.6 Б и направлен «на нас», так как угол принято отсчитывать против часовой стрелки; sin m M p B α по формуле (25.5) Приращение энергии контура в магнитном поле при повороте на малый угол dα * sin m dW δA p B αdα Энергия контура sin cos const m m W p B αdα p B α Положим константу в этой формуле равной нулю; получим m W p B , cos m W p B α График зависимости W(α) представ- лен на РИС . 25.7 α = 0 — устойчивое равновесие; α = π — неустойчивое равновесие. α π W 0 Рис. 25.7 209 Лекция 26 3.8.4. Работа силы Ампера (продолжение) 2. Работа при перемещении проводника с током в магнитном поле Пусть прямолинейный проводник длиной l, по которому идёт ток I, движется в однородном магнитном поле. Магнитное поле дей- ствует на проводник с силой Ампера , F I l B . Работу будет совер- шать составляющая этой силы, лежащая в плоскости перемещения проводника, F IlB , где B ⏊ — компонента вектора магнитной индукции, перпендику- лярная плоскости движения проводника ( РИС . 26.1 ). Работа магнитного поля по перемещению проводника на малое расстояние dx (со- ответствующее перемещению dr ) Φ δA F dr F dx IlB dx IB dS Id , здесь dS — площадь поверхности, ометаемой проводником при малом перемеще- нии dx (заштрихованная область на РИС . 26.1 ), dΦ — магнитный поток сквозь эту поверхность. При перемещении проводника из положения 1 в положение 2 2 1 Φ A Id При I = const ΔΦ A I (26.1) Это выражение мощно обобщить на случай проводника произвольной формы. В РАЗДЕЛЕ 3.8.1 мы пояснили, что сила Лоренца не совершает работы. Почему же совершает работу сила Ампера, которая есть суперпозиция сил Лоренца, с кото- рыми магнитное поле действует на отдельные носители заряда в проводнике? На самом деле работу совершает не магнитное поле, а источник тока. 3. Работа при перемещении контура с током в магнитном поле Пусть имеется замкнутый проводник с током I, находящийся в магнитном поле. Проводник перемещается из положения 12 в положение 1′2′ ( РИС . 26.2 ). Найдём работу магнитного поля по перемещению двух половин этого контура – 12 и 21 по формуле (26.1) : 12 21 1 0 2 0 2 1 Φ Φ Φ Φ Φ Φ , A A A I I I где Φ 1 — магнитный поток сквозь поверх- ность, ограниченную контуром 12 , Φ 2 — кон- туром 1′2′ , Φ 0 — контуром 11′2′2 ( РИС . 26.2 ); ΔΦ A I , I I 1 2 1′ 2′ Φ 0 Φ 1 Φ 2 ⊙ Рис. 26.2 I dx ⊙ ⊙ Рис. 26.1 210 здесь ΔΦ = Φ 2 – Φ 1 — разность магнитных потоков сквозь поверхности, натянутые на проводящий контур в начальном и конечном положении. 3.9. Электромагнитная индукция 67 3.9.1. Закон Фарадея-Максвелла Пусть в пространстве существует переменное магнитное поле. I уравнение Макс- велла L S B Edl dS t Левая часть этого уравнения равна ЭДС в произвольном замкнутом контуре L: L Edl E , а правая (с точностью до знака) — скорости изменения магнитного потока сквозь произвольную поверхность S, натянутую на контур L: Φ S S B dS BdS t t t Поэтому Φ i d dt E E (26.2) — закон Фарадея-Максвелла (закон электромагнитной индукции) ; E i — ЭДС индукции Явление электромагнитной индукции — возникновение электрического поля в замкнутом контуре при изменении магнитного потока сквозь поверхность, натя- нутую на этот контур. ЭДС индукции — энергетическая характеристика этого поля. В замкнутом проводнике, магнитный поток сквозь который (поверхность, ограни- ченную которым) изменяется, возникает индукционный ток Правило Ленца: направление индукционного тока таково, чтобы компенсировать вызвавшее индукционный ток изменение магнитного потока. Правило Ленца вы- ражается знаком «–» в выражении закона Фарадея-Максвелла. Явление электромагнитной индукции можно трактовать как возникновение вих- ревого электрического поля при переменном магнитном поле. Получим закон Фарадея-Максвелла из других опытных законов. 1) Вывод закона Фарадея-Максвелла из закона сохранения энергии Проводник с током I (ток создаётся источником с ЭДС E) движется в однородном магнитном поле с индук- цией B , перпендикулярной плоскости движения про- водника ( РИС . 26.3 ). Энергия источника расходуется на совершение механической работы и увеличение внутренней энергии проводника — в тепло: ист мех A A Q . (26.3) 67 Материал II семестра в разделах 3.9–3.14 имеется также в виде лекционных презентаций. R E I ⊙ Рис. 26.3 211 По определению ЭДС, работа источника при прохождении через источник малого заряда dq ист δA dq E ; (26.4) механическая работа — работа силы Ампера мех Φ δA Id , (26.5) Φ — магнитный поток сквозь поверхность, натянутую на замкнутую цепь, содер- жащую источник и движущийся проводник; количество теплоты, выделяющееся в цепи за время dt прохождения через источник заряда dq, 2 δQ I Rdt , (26.6) R — сопротивление всей цепи. Подставим в выражение закона сохранения энергии (26.3) слагаемые (26.4) , (26.5) , (26.6) : 2 Φ dq Id I Rdt E Так как dq I dt , 2 Φ Idt Id I Rdt E , Φ d IR dt E Это обобщённый закон Ома для замкнутой цепи: сумма падений напряжений равна сумме ЭДС. Обозначим Φ i d dt E . Это и есть ЭДС индукции. 2) Вывод закона Фарадея-Максвелла из электронных представлений Пусть металлический проводник длиной l движется в однородном магнитном поле B со скоростью v , перпендикулярной линиям индукции ( РИС . 26.4 ). На свободные заряды (электроны) в проводнике магнитное поле действует с силой 2 F . Из-за этого электроны будут перемещаться по проводнику до тех пор, пока не устано- вится равновесие, т. е. возникшее по этой причине электрическое поле не скомпен- сирует воздействие магнитного поля силой 1 F . Рис. 26.4 Рассмотрим один электрон в проводнике. Он движется с постоянной скоростью — скоростью проводника v , значит, его ускорение равно нулю. Запишем II закон Нью- тона: 1 2 0 F F ; ⊝ + – x l 0 212 1 F eE , 2 F e B v , где –e — заряд электрона, E — напряжённость электрического поля внутри про- водника; 0 eE e B v ⇒ E B v , E B v . Поле E внутри проводника однородно. Разность потенциалов между концами проводника, по интегральной связи напря- жённости и потенциала электростатического поля, U φ φ El Bl v . Применим к рассматриваемому проводнику обобщённый закон Ома: 0 i φ φ E (правая часть этого равенства равна нулю, так как тока в проводнике нет). Отсюда i φ φ U Bl v E Но dx dt v 68 , поэтому Φ i d BS d BS dx dS d Bl B dt dt dt dt dt E , ч. т. д. (Здесь S = lx — площадь поверхности, ометаемой проводником при его движении; S направлен по нормали к этой поверхности.) Мы получили разными способами одинаковый результат — закон Фарадея-Макс- велла. Это указывает на единство природы электромагнитного поля в разных его проявлениях. |