Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
 Скачать 7.51 Mb.
|
|
Предельный случай При 1 2 , 2 π β β 0 2 μ I B πb — модуль индукции магнитного поля длинного прямого провода с током. П ОЗДНЕЕ мы получим этот результат другим способом. 2) Расчёт индукции магнитного поля тонкого кольца с током По тонкому кольцу радиуса R идёт ток I. Найти магнитную индукцию в точках на оси кольца: B z ( РИС . 24.5 ). Разобьём кольцо на одинаковые по модулю элементы dl . Воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа и прин- ципом суперпозиции: 0 3 , 4 dl r μ dB I π r , B dB Все dB одинаковы по модулю и образуют конус с верши- ной в точке A, где измеряется поле ( РИС . 24.5 ). Результи- рующая магнитная индукция направлена вдоль оси кольца: B = B z . Найдём B z : 0 0 2 2 sin 2 4 4 π Idl μ μ Idl dB π r π r , 0 2 cos cos 4 z μ Idl dB dB θ θ π r ; r и cos θ одинаковы для всех dl ; 2 2 r R z , 2 2 cos R θ R z z θ A I R O θ z · Рис. 24.5 197 Подставим в формулу для dB z выражения для r и cos θ и проинтегрируем по всей длине кольца: 2 2 0 0 0 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 0 2 4 4 2 πR μ IR μ IR πR μ IR B dl π R z π R z R z (24.2) Предельные случаи а) z = 0 ⇒ 0 2 μ I B R б) z >> R ⇒ 2 0 3 2 μ IR B z — модуль индукции магнитного поля точечного контура. 3) Расчёт индукции магнитного поля прямого круглого соленоида с током По прямому круглому соленоиду (катушке, на которую намотана проволока) ради- уса R, имеющему плотность намотки n, идёт ток I ( РИС . 24.6 А ). Найти магнитную ин- дукцию в точке на оси соленоида, отстоящей от концов соленоида на l 1 и l 2 (точка O на РИС . 24.6 Б ): 1 2 , B l l . Плотность намотки — число витков, приходящихся на отрезок соленоида еди- ничной длины: N n l , где N — число витков соленоида, l — его длина. а б Рис. 24.6 Разобьём соленоид на тонкие кольца и воспользуемся принципом суперпозиции полей B dB и результатом предыдущей задачи (24.2) . Индукция магнитного поля dB , создава- емого каждым тонким кольцом, направлена одинаково; соответственно и резуль- тирующий вектор B направлен так же ( РИС . 24.6 Б ); x B B dB Тонкое кольцо толщиной dx, отстоящее на x от точки O, состоит из dN n dx витков и по нему идёт ток dI IdN nIdx R x l I R I ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ x l 1 O l 2 dx x 2 198 Модуль индукции магнитного поля этого кольца, согласно (24.2) , 2 2 0 0 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 μ dI R μ nR Idx dB R x R x Проинтегрируем это выражение по всей длине соленоида, т. е. от –x 1 до x 2 : 2 2 1 1 2 2 0 0 0 2 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 l l l l μ nR I μ nR I μ nI l l dx x B R R x R l R l R x Если точка O находится в середине соленоида, т. е. 1 2 2 l l l , то 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 μ nI μ nIl μ NI l B l R l R l R Предельный случай При R << l (длинный соленоид) 0 B μ nI Этот результат НИЖЕ будет получен другим способом. 3.7.2. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции Теорема о циркуляции B 66 : циркуляция вектора магнитной индукции по произ- вольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, сцепленных с этим контуром, умноженной на µ 0 : 0 L L Bdl μ I Знак тока выбирается согласно направлению обхода контура L по правилу правого винта. П РИМЕР На РИС . 24.7 1 2 L I I I . Токи I 3 и I 4 с контуром L не сцеплены. Рис. 24.7 66 Эту теорему иначе называют законом полного тока L I 1 I 4 I 2 I 3 199 Теорема о циркуляции B полезна для расчёта магнитной индукции в отдельных случаях, в том числе при осевой симметрии распределения токов. Сначала направ- ление B определяется по принципу суперпозиции, затем выбирается такой контур интегрирования, циркуляцию по которому легко вычислить. П РИМЕРЫ 1) Расчёт индукции магнитного поля длинного тонкого прямого провода с током По тонкому бесконечно длинному прямому проводу идёт ток I. Найти индукцию магнитного поля как функцию расстояния от провода. Принцип суперпозиции и закон Био-Савара-Лапласа указывают, что в каждой точке магнитная индукция направлена перпендикулярно току (проводу) и радиусу — перпендикуляру к проводу, проведённому в точку, где измеряется поле. Таким образом, силовые линии магнитного поля представляют собой окружности. На РИС . 24.8 А изображён вектор индукции магнитного поля в точке A, лежащей в плос- кости рисунка. Р ИС . 24.8 Б — это РИС . 24.8 А , вид сверху (провод перпендикулярен плоскости рисунка). а б Рис. 24.8 Теорема о циркуляции B : 0 L L Bdl μ I Так как провод бесконечный, модуль B может зависеть только от r. Поэтому выби- раем контур интегрирования L в виде окружности радиуса r, центр которой лежит на проводе ( РИС . 24.8 А , Б ). В каждой точке контура L вектор магнитной индукции направлен по касательной и одинаков по модулю. Циркуляция B по контуру L cos0 2 L L L Bdl Bdl B dl B πr Сумма сцепленных с контуром L токов L I I Получим A ⊗ ⊗ L r I ⊙ I r L A 200 0 2 B πr μ I ⇒ 0 2 μ I B πr Этот результат был нами получен РАНЕЕ по методу суперпозиций. 2) Расчёт индукции магнитного поля длинного прямого соленоида с током По бесконечно длинному соленоиду с плотностью намотки n идёт ток I. Найти ин- дукцию магнитного поля внутри соленоида. По принципу суперпозиции поле соленоида склады- вается из полей бесконечного числа витков. Внутри соленоида суммарная магнитная индукция будет направлена вдоль его оси ( РИС . 24.9 ), более того, поле B будет однородно, а вне соленоида поля витков бу- дут скомпенсированы и результирующая магнитная индукция равна нулю (студенты должны показать это самостоятельно ). Применим теорему о циркуляции B 0 L L Bdl μ I Выберем контур интегрирования L в виде прямоугольника, одна из сторон ( 1-2 ) которого параллельна оси соленоида и лежит внутри него, противолежащая ей ( 3-4 ) — вне соленоида, а две другие ( 2-3 и 4-1 ) перпендикулярны оси соленоида ( РИС . 24.9 ). Циркуляция B по контуру L 2 3 4 1 2 3 1 2 12 1 2 3 4 1 2 4 1 cos0 cos cos 2 2 L π π Bdl Bdl Bdl Bdl Bdl Bdl Bdl Bdl B dl Bl , l 12 — длина прямоугольника L. Сцепленный с контуром L ток 12 L I nl I , nl 12 — число витков, приходящееся на отрезок соленоида длиной l 12 . Получим 12 0 12 Bl μ nl I ⇒ 0 B μ nI (24.3) Как и должно быть, магнитная индукция на зависит от l 12 — параметра произволь- ного контура интегрирования. Магнитная индукция также не зависит от формы и размеров поперечного сечения соленоида. Полученный результат был достигнут нами РАНЕЕ с использованием метода супер- позиций. 3) Расчёт индукции магнитного поля тороида с током Тороид — геометрическое тело, образованное вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры. Имеется тороид, внутренний радиус которого равен R 1 , внешний радиус — R 2 , с об- моткой из N витков, по которым идёт ток I ( РИС . 24.10 ). Найти индукцию магнит- ного поля как функцию расстояния r от оси тороида. Магнитное поле тороида является суперпозицией магнитных полей его витков. По- этому вне тороида (при r < R 1 и r > R 2 ) B = 0. Внутри же тороида вектор магнитной I ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ L 1 2 3 4 Рис. 24.9 0 0 0 201 индукции будет перпендикулярен радиусу, проведённому из центра тороида в точку A, где измеряется поле, модуль магнитной индукции будет зависеть только от r. Применим теорему о циркуляции B 0 L L Bdl μ I Выберем контур интегрирования L в виде окружности радиуса r с центром в центре тороида. Циркуляция B по контуру L cos0 2 L L L Bdl Bdl B dl B πr Сцепленный с контуром L ток L I NI Получим 0 2 B πr μ NI ⇒ 0 2 μ NI B πr при R 1 < r < R 2 График зависимости B(r) представлен на РИС . 24.11 Рис. 24.11 Предельный случай При R 1 ≈ R 2 ≈ R ( тонкий тороид ) 0 0 2 μ NI B μ nI πR , (24.4) где 2 N n πR — плотность намотки тороида. Формула (24.4) совпадает с (24.3) — ин- дукцией магнитного поля длинного соленоида. x 0 B R 1 R 2 Рис. 24.10 O R 1 R 2 r L A I 202 Лекция 25 3.7.3. Теорема Остроградского-Гаусса для магнитной индукции Теорема Остроградского-Гаусса для магнитной индукции: поток вектора маг- нитной индукции сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю: 0 S BdS Поток вектора магнитной индукции — магнитный поток Φ S BdS ; [Φ] = Вб (вебер). Поток магнитной индукции сквозь незамкнутую поверхность не зависит от формы этой поверхностью, а зависит только от ограничивающего её контура. Доказательство Пусть на контур L натянуты две поверхности S 1 и S 2 ( РИС . 25.1 ). Составная поверхность S 1 + S 2 — замкнутая. По теореме Остроградского-Гаусса для B 1 2 0 S S BdS При вычислении потока по замкнутой поверхности dS — внешняя нормаль. Поэтому 1 2 1 2 1 2 S S S S BdS BdS BdS При расчёте же магнитного потока сквозь незамкнутые поверхности направление нормали выбирается по правилу правого винта, соответственно, нормали 1 dS и 2 dS будут направлены в одну сторону; 2 2 dS dS . Из этого следует, что 1 2 1 2 0 S S BdS BdS ⇒ 1 2 1 2 S S BdS BdS , ч. т. д. П РИМЕР Поток однородного магнитного поля сквозь полусферу Найдём поток однородного магнитного поля с индук- цией B сквозь полусферу радиуса R, при том что сило- вые линии магнитного поля направлены под углом α к нормали к основанию полусферы ( РИС . 25.2 ). Полусфера S натянута на окружность радиуса R с цен- тром в центре полусферы — точке O. На ту же окруж- ность натянуто и плоское основание S′. Следова- тельно, магнитные потоки сквози поверхности S и S′ равны: 2 Φ Φ cos cos cos cos . S S S BdS BdS α B α dS BS α πR B α Рис. 25.1 L S 1 S 2 α R S S′ O Рис. 25.2 203 3.7.4. Векторный потенциал Ротор — векторная функция векторного аргумента — векторное произведение оператора векторного дифференцирования ∇ на векторную функцию: rot , B B . В декартовых координатах rot x y z i j k B x y z B B B Ротор вектора всегда перпендикулярен этому вектору. Из теоремы о циркуляции B в интегральной форме 0 L S Bdl μ jdS ( j — плотность тока) следует, что 0 rot B μ j (25.1) — теорема о циркуляции магнитной индукции в дифференциальной форме Векторный потенциал A — векторная величина — энергетическая характери- стика магнитного поля — такая, что rot A B , (25.2) причём div 0 A ; [A] = Тл·м. Подставим определение (25.2) в теорему о циркуляции B (25.1) : 0 rot rot A μ j Преобразуем левую часть этого равенства по известной формуле двойного вектор- ного произведения: 2 rot rot A A A A A , 2 0 A μ j (25.3) В декартовых координатах: 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 , , x x x x y y y y z z z z A A A μ j x y z A A A μ j x y z A A A μ j x y z 0 204 Это три независимых дифференциальных уравнения второго порядка в частных производных. Поэтому при известном распределении плотности тока в некоторых случаях удобнее решить эти уравнения по отдельности и найти все компоненты векторного потенциала, а затем по определению (25.2) , проведя дифференцирова- ние, найти магнитную индукцию. Выражение, подобное (25.3) , можно получить и для электрической компоненты электромагнитного поля: 0 , E φ ρ E ε ⇒ 2 0 ρ φ ε (напоминаем, что φ—потенциал, ρ — объёмная плотность заряда). Единая энергетическая характеристика электромагнитного поля: x y z icφ A A A A — |