Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020

• Название: Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 7.51 Mb.
• Имя файла: conspectus_01.pdf
• Тип: Конспект; #794791
• страница: 26 из 44

Объёмная плотность энергии магнитного поля
2 0
2
W
B
w
V
μ


Этот результат обобщается на случай неоднородного магнитного поля.
В вакууме напряжённость магнитного поля
0
B
H
μ

(см.
3.1.4
), отсюда
2
BH
w 
; эта формула справедлива для любой среды.
В однородной неферромагнитной среде
2 0
2
B
w
μ

V

221
(относительная магнитная проницаемость неферромагнитной среды µ ≈ 1, см.
3.11.6
).
Энергия неоднородного магнитного поля в области пространства объёмом V
2
V
V
BH
W
wdV
dV




В общем случае
объёмная плотность энергии электромагнитного поля
2 2
DE BH
w 

, здесь
D
— электрическое смещение,
E
— напряжённость электрического поля.
3.11. Магнитное поле в веществе
3.11.1. Макротоки и микротоки. Намагниченность
Макротоки
— упорядоченное движение заряженных частиц, при котором ча- стицы перемещаются на расстояния, много большие межмолекулярных.
Микротоки
— движение заряженных частиц внутри атомов и молекул.
Магнитное поле в веществе определяется полем макротоков и усреднённым полем микротоков:
0
B B
B

 .
Каждый электрон в атоме (молекуле), двигаясь вокруг ядра, создаёт микроток и собственное магнитное поле; это движение характеризуется микротоком i и маг- нитным моментом
m
p
. В отсутствие внешнего магнитного поля (макротоков) все магнитные моменты атомов ориентированы разнонаправленно и
  0
B
(см.
ТАБЛ
. 27.1
). поле макротоков поле микротоков

222
Таблица 27.1
Процесс намагничивания
0 0
B 
0 0
B 
69 0
m
p 

0
m
p 

0
B 
0
i
B
B





Вещество намагничивается, т. е. приобре- тает отличный от нуля магнитный момент.
Намагниченность
— векторная характеристика магнитного поля в веществе, рав- ная дипольному моменту вещества, занимающего единичный объём:
m
p
J
V


,
 
А
м
J 
3.11.2. Теорема о циркуляции намагниченности, магнитной индукции и напряжён-
ности магнитного поля
1. Теорема о циркуляции
B
Циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна сумме макротоков и микротоков, сцепленных с этим контуром:
 
 
0 0
L
L
L
Bdl μ
I
μ
i





(27.3)
Здесь и далее в этом параграфе I — макроток, i — микроток
70
Вторая сумма в правой части этого равенства не поддаётся прямому вычислению, так как распределение микротоков заранее не известно.
2. Теорема о циркуляции
J
Проведём внутри вещества (магнетика) замкнутый контур L (
РИС
. 27.1
А
)и подсчи- таем сумму микротоков, сцепленных с этим контуром.
69
На рисунке в этой колонке показано, что магнитные моменты молекул выстраиваются вдоль поля макротоков. Так происходит, если вещество парамагнитно (см.
РАЗДЕЛ
3.11.8
). У диамагнетиков
(
РАЗДЕЛ
3.11.7
) магнитные моменты молекул выстраиваются, наоборот, против внешнего поля.
70
В «живой» лекции можно обозначать I
макро
, i
микро или другим образом.
i
i
i
i
i
i
i
i

223
а
б
Рис. 27.1
Рассмотрим элемент контура L длиной Δl (
РИС
. 27.1
Б
). Центры микротоков, сцеплен- ных с участком Δl, находятся внутри цилиндра длины Δl и площади основания, рав- ной площади S микротоков. Основание этого цилиндра параллельно плоскостям микротоков и составляет угол α с участком Δl. Объём этого цилиндра
Δ
Δ cos
V S l
α

Число микротоков, сцепленных с участком Δl,
Δ
Δ
Δ cos
N n V nS l
α


, где n — концентрация магнетика — число микротоков (молекул), находящихся в веществе единичного объёма. Сумма микротоков, сцепленных с участком Δl,
 
Δ
Δ
Δ cos
Δ cos
Δ
Δ
m
m
l
i
i N inS l
α np l
α np l J l






,
m
p — магнитный момент молекулы. Просуммируем эти выражения при Δ
0
l  , т. е. проинтегрируем по всему контуру L:
 
L
L
Jdl
i



(27.4)
—
теорема о циркуляции намагниченности:
циркуляция вектора намагничен- ности по произвольному замкнутому контуру равна сумме микротоков, сцеплен- ных с этим контуром.
3. Теорема о циркуляции
H
Преобразуем выражение теоремы о циркуляции
B
(27.3)
, подставив циркуляцию
J
(27.4)
:
 
0 0
L
L
L
Bdl μ
I
μ
Jdl





⇒


 
0 0
L
L
B μ J dl μ
I




,
 
0
L
L
B
J dl
I
μ












Обозначим
0
B
J H
μ
 
—
напряжённость магнитного поля
— вспомогательная силовая характери- стика магнитного поля.
L
i
i
i
i
i
Δl
ΔV
L
α

224
Теорема о циркуляции напряжённости магнитного поля:
циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по произвольному замкнутому контуру равна сумме макротоков, сцепленных с этим контуром:
 
L
L
Hdl
I



(27.5)
Напряжённость магнитного поля определяется только макротоками.
3.11.3. Связь магнитной индукции, намагниченности и напряжённости магнитного
поля
1) В любом случае согласно определению напряжённости магнитного поля
0 0
B μ H μ J


(27.6)
2) Для изотропных магнетиков, неферромагнетиков
J H
, J

H;
J χH

,
(27.7)
χ —
магнитная восприимчивость
вещества.
Подставим
(27.7)
в
(27.6)
:


0 0
0 1
B μ H μ χH μ
χ H




Обозначим
1
μ
χ
 
(27.8)
—
относительная магнитная проницаемость
вещества.
С учётом определения
(27.8)
получим
0
B μ μH

(27.9)
Эта формула связи
B
и
H
справедлива только для изотропных магнетиков. В ваку- уме µ = 1.
В отсутствие магнетиков индукция магнитного поля макротоков
0 0
B
μ H

При наличии изотропного магнетика
0
B μ μH

. Отсюда следует, что
0
B
μ
B
 .
Магнитная индукция при наличии магнетика отличается от индукции магнитного поля при том же распределении макротоков в µ раз. Возможно µ ≷ 1 (см.
РАЗДЕЛ
3.11.6
).
3) Для ферромагнетиков зависимости B(H) и J(H) нелинейные (см.
3.11.9
).
3.11.4. Условия на границе раздела двух магнетиков
Проанализируем, как изменяется магнитное поле при переходе из одной среды
(магнетика) в другую.
Пусть имеются два изотропных магнетика (относительные магнитные проницае- мости µ
1
и µ
2
), граничащие друг с другом (
РИС
. 27.2
). В среде с µ
1
существует магнит- ное поле с индукцией
1
B
и напряжённостью
1
H . Макротоки на границе раздела

225 сред отсутствуют. Найдём векторные характеристики поля в среде с µ
2
—
2
B
и
2
H
(в проекциях на нормаль
n
и касательную
τ к поверхности раздела сред).
а
б
Рис. 27.2
1) B
n
Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для
B
0
S
BdS 

Выберем поверхность интегрирования S в виде цилиндра, основания которого па- раллельны границе раздела сред, а высота мала (
РИС
. 27.2
А
). Магнитный поток


бок
1
торц
2
торц
2 1
торц
0
n
n
n
n
S
S
BdS
B S
BdS B S
B
B S
 







;
2 1
n
n
B
B

(27.10)
— нормальная составляющая вектора магнитной индукции не претерпевает скачка на границе раздела магнетиков.
2) H
n
Связь
B
и
H
в изотропном магнетике
0
B μ μH

,
Поэтому, с учётом условия
(27.10)
,
0 1 1
0 2 2
n
n
μ μ H
μ μ H

⇒
2 1
1 2
n
n
H
μ
H
μ

(27.11)
— нормальная составляющая напряжённости магнитного поля претерпевает ска- чок на границе раздела магнетиков.
3) H
τ
Воспользуемся теоремой о циркуляции
H
 
L
L
Hdl
I



Выберем контур интегрирования L в виде прямоугольника, одна пара сторон кото- рого параллельная границе раздела сред (стороны
1-2
и
3-4
на
РИС
. 27.2
Б
), а другая мала (стороны
2-3
и
4-1
). Циркуляция
H
по контуру L
µ
1
µ
2
S
µ
1
µ
2
L
1
2
3
4
0

226


3 1
1 12 2 34 1
2 12 2
4 0
τ
τ
τ
τ
L
Hdl H l
Hdl H l
Hdl
H
H
l










, так как макротоки на границе раздела сред отсутствуют и
 
0
L
I 

;
2 1
τ
τ
H
H

(27.12)
— тангенциальная составляющая напряжённости магнитного поля не претерпе- вает скачка на границе раздела магнетиков.
4) B
τ
Из связи
B
и
H
(27.9)
и условия
(27.12)
получим
1 2
0 1 0 2
τ
τ
B
B
μ μ
μ μ

⇒
2 2
1 1
τ
τ
B
μ
B
μ

(27.13)
— тангенциальная составляющая магнитной индукции претерпевает скачок на границе раздела магнетиков.
0 0

227
Лекция 28
3.11.5. Магнитный момент атома. Спин
Электрон, движущийся по орбите вокруг ядра
71
, представляет собой микроток (
РИС
. 28.1
). Так как за- ряд электрона отрицательный, сила тока i направ- лена против скорости v , а магнитный момент элек- трона
m
p — против момента импульса
L
Модуль магнитного момента электрона
m
p
iS
 , (28.1) где S = πr
2
(r – радиус орбиты) — площадь орбиты; сила тока
Δ
Δ
2
q e
e
i
t T
πr

  v ,
(28.2) где T — период обращения электрона по орбите; мо- мент импульса
e
L m
r
 

 
v ⇒
e
L m r

v ,
(28.3) где m
e
— масса электрона. Подставив
(28.2)
в
(28.1)
и сравнив с
(28.3)
, получим
2 2
2
m
e
e r
p
πr
πr


v
v
⇒
2
m
e
eL
p
m

,
2
m
e
e
p
L
m

Гиромагнитное отношение орбитальных моментов
2
m
e
p
e
g
L
m


(28.4) не зависит от r, v и т. п., а является характерной константой.
Помимо момента импульса и магнитного момента, описывающих орбитальное движение, электрон обладает ещё и собственным моментом импульса и магнит- ным моментом —
спином
. Спин — квантовый релятивистский эффект, не объяс- нимый с точки зрения классической теории.
Гиромагнитное отношение спиновых моментов
s
e
e
g
m

;
(28.5) модуль собственного магнитного момента
24
Б
Дж
9,27 10 2
Тл
s
m
e
e
p
μ
m





,
(28.6)
71
С точки зрения современных — квантовых — представлений данная картина некорректна. Тем не менее сейчас, работая в рамках классической физики, мы представляем электрон как материаль- ную точку, движущуюся по определённой (а именно круговой) траектории. Даже из таких представ- лений мы получим результаты, согласующиеся с экспериментом.
i
⊕
⊝
⊙
⊗
Рис. 28.1

228
µ
Б
—
магнетон Бора
, ħ —
постоянная Планка
. Модуль собственного момента им- пульса
3 2
s
L 
72
(28.7)
3.11.6. Классификация магнетиков
Демонстрация:
Ориентация парамагнитного и диамагнитного стержней в маг- нитном поле
3.11.7. Диамагнетизм
Рассмотрим атом (один электрон, обращающийся вокруг ядра), находящийся во внешнем магнитном поле с индукцией
B
. Магнитный момент
m
p и момент им- пульса
L
электрона направлены под углом α к вектору магнитной индукции
(
РИС
. 28.2
). Магнитное поле действует на электрон с моментом сил
M
(см.
3.8.3
), вследствие этого изменяется момент импульса электрона. Изменение момента им- пульса за время dt
dL Mdt

, так как M = p
m
B sin α, sin
m
dL p B
α dt


72
Формулы
(28.5)
,
(28.6)
,
(28.7)
— экспериментальные результаты, обоснованные квантовой реля- тивистской теорией. Обратим внимание на то, что
s
m
s
s
p
g
L

В отсутствие магнитного поля
парамагнетики
Al, Mg, Pt
ферромагнетики
Fe, Co, Ni
Магнетики
слабомагнитные вещества
сильномагнитные вещества
диамагнетики
H
2
O, Zn, Cu, Au

229
За время dt плоскость, в которой лежат
m
p и
L
, т. е. плоскость нормали к орбите электрона, повернётся вокруг направления
B
на угол sin sin sin
m
m
p B
αdt
p B
dL
dθ
dt
L
α
L
α
L



; угловая скорость этого вращения
L
2
m
e
p B
dθ
eB
ω
dt
L
m



[здесь мы использовали гиромагнитное отношение ор- битальных моментов
(28.4)
].
Вращение направлений магнитного момента и мо- мента импульса электрона в атоме, находящемся в маг- нитном поле, вокруг направления вектора магнитной индукции называется
ларморовой прецессией
Угловая скорость ларморовой прецессии
L
2
e
eB
ω
m

При ларморовой прецессии атом приобретает добавочный магнитный момент
m
p , направленный против
B
; если считать орбиту круговой и её радиус r постоян- ным, то
2 2
2
L
2 4
m
e
eω r
e Br
p
m
 

(28.8)
[ср. вывод формулы
(28.4)
].
Получается, что все электроны в атомах вещества, магнитные моменты которых ориентированы беспорядочно, если поместить это вещество в магнитное поле, приобретут дополнительные магнитные моменты, направленные одинаково — против поля. Соответственно вещество намагнитится против внешнего магнит- ного поля. Этот эффект называется
диамагнитным
и присущ все веществам без исключения.
Намагниченность
m
J Znp

, где Z — число электронов в атоме, n — концентрация атомов вещества; с учётом
(28.8)
2 2
2 4
4
e
e
Zne B r
Ze n S
J
B
m
πm


, где
2
r
— средний квадрат радиуса орбиты электрона, а
S
— её средняя пло- щадь.
Найдём магнитную восприимчивость диамагнетика. Так как µ ≈ 1,
0
B μ H

; для изо- тропных слабомагнитных веществ
J χH

;
⊕
i
⊝
α
dθ