Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020

• Название: Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 7.51 Mb.
• Имя файла: conspectus_01.pdf
• Тип: Конспект; #794791
• страница: 31 из 44

3.14.7. Формулы Френеля
Способом, аналогичным тому, как мы вывели законы отражения и преломления, можно получить и выражения для амплитуд поля в отражённой и преломлённой волне при известных амплитудах падающей волны. Соответствующие формулы —
формулы Френеля
— запишем для
E
—
светового вектора
В падающей волне выделим
p-волну
— колебания
E
в плоскости падения и
s-волну
— колебания
E
, перпендикулярные плоскости падения. На
РИС
. 33.2
А
,
Б
изображены направления
E
и
H
в p- и s-волне.
p-волна
s-волна
а
б
Рис. 33.2
Формулы Френеля




0
tg tg
i
pm
pm
i r
E
E
i r

 





0
sin sin
i
sm
sm
i r
E
E
i r

 


 

0 2cos sin sin cos
r
pm
pm
i
r
E
E
i r
i r





0 2cos sin sin
r
sm
sm
i
r
E
E
i r


Амплитуды преломлённой волны
r
pm
E ,
0
r
sm
E 
при любых углах i и r. При i > r
(n
1
< n
2
)
0
i
pm
E  и
0
i
sm
E 
— фаза отражённой волны отличается на π от фазы пада- ющей. При этом фаза колебаний напряжённости магнитного поля не изменяется.
При i < r — наоборот.
Коэффициент отражения
— отношение интенсивности отражённой волны к интенсивности падающей волны:
2 0
0
i
i
m
m
E
I
ρ
I
E



 



⇒




2 2
tg tg
p
i r
ρ
i r



и т. д.
Коэффициент пропускания
— отношение интенсивности преломлённой волны к интенсивности падающей волны:
n
1
n
2
i
i


r

r
n
1
n
2
i
i




266 2
0 0
r
r
m
m
E
I
τ
I
E



 



⇒




2 2
2 2
4cos sin sin cos
p
i
r
τ
i r
i r



и т. д.
Угол Брюстера
При
2
π
i r
 
0
i
pm
E  — p-волна не отражается. Из закона Снеллиуса
(33.2)
:
1 2
sin sin
n
i n
r

⇒
1 2
2
sin sin cos
2
π
n
i n
i
n
i



 




;
2
Бр
21 1
tg
n
i
n
n


,
i
Бр
—
угол Брюстера
Закон Брюстера:
при падении электромагнитной волны на поверхность раздела двух диэлектриков под углом Брюстера отражённая волна поляризована перпен- дикулярно плоскости падения.
Полное внутреннее отражение
При sin r = 1 (отражённая волна направлена вдоль поверхности раздела сред)
2
пр
21 1
sin
n
i
n
n


при n
2
< n
1
. При падении волны на поверхность раздела двух диэлектриков под уг- лом, большим i
пр
—
угла полного внутреннего отражения
— преломлённая волна отсутствует и всё излучение отражается.
Демонстрации:
1) Волновая машина со связями
2) Опыты Герца

267
III семестр
Лекция 34
4. Волновая оптика
4.1. Интерференция электромагнитных волн
Интерференция
— наложение (сложение) волн; устойчивое во времени перерас- пределение энергии в пространстве, которое наблюдается при сложении когерент- ных волн. В результате этого перераспределения возникает интерференционная картина, которая зачастую в оптике представляет собой чередование светлых и тёмных полос. Расчёт интерференционной картины сводится к сложению колеба- ний от волн, приходящих в данную точку от разных источников.
4.1.1. Интерференция монохроматических волн. Когерентность
Пусть в пространстве имеются два источника гармонических колебаний S
1
и S
2
с циклическими частотами ω
1
и ω
2
(
РИС
. 34.1
). Эти колебания распространяются в пространстве в виде монохроматических волн той же частоты. Волна от источника
S
1
достигнет точки M и вызовет в ней колебания той же частоты, но запаздываю- щие по фазе на величину, зависящую от расстояния S
1
M = x
1
. Аналогично, фаза волны от источника S
2
будет зависеть от расстояния S
2
M = x
2
Рис. 34.1
Уравнения плоских бегущих монохроматических волн от источников S
1
и S
2
:


1 1
01 01 1
1 01 1
,
cos cosΦ
x
E x t
E
ω t
φ
E
















v
,


2 2
02 02 2
2 02 2
,
cos cosΦ
x
E x t
E
ω t
φ
E
















v
, где v — скорость распространения волны, t — время.
По принципу суперпозиции полей
1 2
E E
E


. Результат интерференции
01 02 1
2
cosΦ
cosΦ
E E
E


(34.1)
Положим
1 2
E E
. Тогда уравнение
(34.1)
в проекции на направление колебаний
E
(ось z) даёт
01 1
02 2
cosΦ
cosΦ
z
E
E
E


;
*
*
S
1
S
2
x
1
x
2
M

268 2
2 2
2 2
2 2
2 01 1
02 2
01 02 1
2 1
2 01 02 1
2
cos Φ
cos Φ
2
cosΦ cosΦ
2
cosΦ cosΦ
z
E
E
E
E
E E
E
E
E E







Усредним это выражение по времени (намного превышающему период волны) и учтём, что интенсивность волны
2 0

I E
:
  
1 2
1 2 1
2 2
cosΦ cosΦ
I I
I
I I
Так как












1 2
1 2
1 2
1
cosΦ cosΦ
cos Φ
Φ
cos Φ
Φ
2
,














1 2
1 2
1 2
1
cos Φ Φ
cos Φ
Φ
cos Φ
Φ
2
;

















v
v
1 2
1 2
1 2
1 2
01 02
cos Φ
Φ
cos
ω
ω
ω
ω t
x
x
φ
φ
осциллирует с циклической частотой (ω
1
+ ω
2
) и в среднем по времени равно нулю. Поэтому


  

1 2
1 2 1
2
cos Φ
Φ
I I
I
I I
При Φ
1
– Φ
2
≠ const
1 2
I I
I
  .
При Φ
1
– Φ
2
= const
1 2
I I
I
  .
Волны, разность фаз которых постоянна во времени (Φ
1
– Φ
2
= const), называются
когерентными
Условие когерентности Φ
1
– Φ
2
= const эквивалентно двум условиям:
1) ω
1
= ω
2
— волны монохроматичны (одноцветны),
2)
02 01
const
φ
φ


— разность начальных фаз не зависит от времени.
При ω
1
= ω
2
= ω (с учётом того, что
ω
k

v
— волновое число)


1 2
1 01 2
02 2
1 01 02
Φ
Φ
ω
ω
ωt
x
φ
ωt
x
φ
k x
x
φ
φ











v
v
Геометрическая разность хода
волн
2 1
Δ x
x

 .
При φ
02
= φ
01



1 2
2
Φ
Φ
Δ
Δ
π
k
λ
, где λ — длина волны.
Если волна распространяется в веществе, то скорость распространения волны
c
n
v =
; n — показатель преломления среды;
ω
ω
k
n
c


v
,






1 2
2 1
2 Δ
Φ
Φ
ω
πn
n
x
x
c
λ
,
(34.2) здесь λ — длина волны в вакууме.
Оптическая разность хода
волн

269


2 1
δ n x
x


Если волны от источников S
1
и S
2
распространяются в разных средах с показате- лями преломления, соответственно равными n
1
и n
2
, то оптическая разность хода будет равна
2 2 1 1
δ n x
n x


Разность фаз при распространении интерферирующих волн в среде


1 2
2
Φ
Φ
π
δ
λ
При интерференции когерентных волн максимум интенсивности наблюдается при




1 2
cos Φ
Φ
1, а минимум – при



 
1 2
cos Φ Φ
1 (см.
ТАБЛ
. 34.1
).
Таблица 34.1
Условия максимумов и минимумов
при интерференции двух когерентных волн



1 2
cos Φ
Φ

1 2
Φ
Φ
δ (при
02 01
φ
φ

)
Максимум
1 2πm
mλ
Минимум
–1
(2m + 1)π


2 1
2
λ
m 
Здесь m = 0, ±1, ±2, … — целое число.
Волны, испускаемые различными источниками, не являются когерентными
(см.
4.1.4
). Ниже, в
РАЗДЕЛАХ
4.1.2
и
4.1.3
, рассмотрены основные способы получе- ния когерентных волн.
4.1.2. Схема Юнга
Когерентные источники можно получить, разделив волновой фронт на два. В этом и состоит смысл схемы Юнга, которую поясним на различных её вариантах.
П
РИМЕРЫ
1) Опыт Юнга
Перед точечным источником S ставят непрозрачный экран с двумя щелями S
1
и S
2
(
РИС
. 34.2
). При соблюдении условий когерентности (см.
4.1.4
) щели S
1
и S
2
явля- ются когерентными источниками, так как их излучение — это излучение в различ- ных участках фронта волны, испускаемой одним источником S. Результат интерфе- ренции — интерференционная картина — наблюдается на экране
Э
в области, где излучение источников S
1
и S
2
перекрывается — области интерференции; точка M на
РИС
. 34.2
— одна из точек в этой области.

270
Рис. 34.2
2) Бипризма Френеля
Между точечным источником (или щелью) S и экраном
Э
ставят
бипризму Фре-
неля
— стеклянный оптический прибор, склеенный из двух одинаковых призм с очень малым преломляющим углом β (
РИС
. 34.3
). Благодаря преломлению волн, из- лучаемых источником S, в обеих половинах бипризмы получаются два мнимых ис- точника S
1
и S
2
— изображения источника S. Источники S
1
и S
2
, так как они «сде- ланы» из одного источника S, можно считать когерентными. Малость угла β необ- ходима для соблюдения условий когерентности (см.
4.1.4
).
Рис. 34.3
Демонстрация:
Бипризма Френеля
3) Зеркало Ллойда
Точечный источник (или щель) S расположен перед плоским зеркалом
З
, в котором получается мнимое изображение источника — Sˊ (
РИС
. 34.4
). Действительный ис- точник S и мнимый источник Sˊ когерентны. В поле интерференции этих источни- ков помещается экран
Э
, на котором наблюдается интерференционная картина.
S
Э
M
S
1
S
2
*
β
M
Э
S
S
1
S
2
*
*
*

271
Рис. 34.4
Найдём условия интерференционных минимумов и максимумов при интерферен- ции излучения двух когерентных источников, полученных по схеме Юнга.
Пусть расстояние между когерентными монохроматическими точечными источ- никами S
1
и S
2
(длина волны излучения λ) равно d, а расстояние от источников до экрана
Э
равно L >> d (
РИС
. 34.5
). Среда — воздух (n = 1). Найдём разность фаз
Φ
2
– Φ
1
интерферирующих волн в точке M на экране
Э
, находящейся на расстоянии
y от оси симметрии системы.
Рис. 34.5
Будем считать начальные фазы волн, испускаемых источниками S
1
и S
2
, одинако- выми: φ
01
= φ
02
. Тогда по формуле
(34.2)
разность фаз волн от источников S
1
и S
2
, приходящих в точку M,


2 1
2 1
2 2
Φ
Φ
Δ
π
π
x
x
λ
λ




(здесь x
1
= S
1
M, x
2
= S
2
M на
РИС
. 34.5
);
2
Δ
sin
S D d
α d α


  , так как угол α мал из-за того, что L >> d. Угол α найдём из соотношения
2
tg
d
y
y
α
α
L
L


  , так как расстояние y = OˊM >> d. Получим
Δ
d y
L


M
Э
*
*
S
Sˊ
З
Oˊ
α
*
*
M
Э
O
S
1
S
2
y
y
L
d
x
1
x
2
D
Δ
α
∙
λ

272
Условие интерференционных максимумов
Δ
δ
mλ
 
⇒ max
mλL
y
d

;
условие минимумов


Δ
2 1
2
λ
δ
m
 

⇒


min
2 1
2
m
λL
y
d


Ширина интерференционной полосы
— расстояние между соседними интерфе- ренционными максимумами или минимумами. В схеме Юнга она одинакова по всему полю интерференции и равна
λL
Y
d

Интерференционная картина представляет собой чередование светлых и тёмных полос одинаковой ширины
2
Y
4.1.3. Интерференция в тонких плёнках
Волна от некогерентного источника может разделяться на когерентные волны че- рез отражение и преломление на границах раздела сред, расположенных настолько близко друг от друга, чтобы соблюдались условия когерентности (
4.1.4
). Рассмот- рим три варианта данной схемы.
1. Плоскопараллельная пластинка
Пусть плоская волна длиной λ падает из воздуха (n = 1) на плоскопараллельную пластинку толщиной h, состоящую из вещества с показателем преломления n, под углом i (
РИС
. 34.6
). На первой границе раздела сред (в точке A) падающая волна
0
частично отражается (волна
1
), а частично — преломляется (волна
2
) и проходит через границу. Затем волна
2
частично отражается от второй границы раздела сред
— нижней стороны пластинки в точке B, падает на верхнюю сторону пластинки и проходит через неё, преломляясь, в точке C. Волны
1
и
2
когерентны, так как обра- зованы из одной падающей волны
0
(если толщина пластинки не слишком велика, см.
РАЗДЕЛ
4.1.4
).
Рис. 34.6
Оптическая разность хода волн
1
и
2
h
∙
i i
λ
n
A
r
B
C
D
0
1
2

273


2
λ
δ n AB BC
AD



 .
Слагаемое
2
λ
появляется здесь потому, что волна
1
отражается в воздух от оптиче- ски более плотной среды — вещества пластинки (см.
РАЗДЕЛ
3.14.7
). Найдём длины всех отрезков, входящие в эту формулу: cos
h
AB BC
r


,


sin
2 tg sin
AD AC
i
h r
i
Углы падения i и преломления r связаны по закону Снеллиуса sin sin
i n
r

⇒ sin sin
i
r
n

, отсюда
2 2
2
sin cos
1 sin
1
i
r
r
n




,
2 2
2 2
sin sin sin tg cos sin sin
1
r
i
i
r
r
i
n
i
n
n





;


 




2 2
2 2
2 2
2 2 sin
2 tg sin
,
cos
2 2
sin sin
1
h
λ
hn
h
i
λ
δ n
h r
i
r
i
n
i
n
2 2
2
sin
2
λ
δ
h n
i


 .
Если осветить плёнку белым (немонохроматическим) светом, то она будет окра- шена в цвет, для длины волны, соответствующей которому, при данной оптиче- ской разности хода будет выполняться условие интерференционных максимумов.
Если плёнка имеет переменную толщину, то она будет окрашена в разные цвета.
2. Тонкий клин
На клин с малым углом β нормально падает свет с длиной волны λ. Клин сделан из материала с показателем преломления n (
РИС
. 34.7
).
На верхней поверхности клина падающая волна