Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020

• Название: Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 7.51 Mb.
• Имя файла: conspectus_01.pdf
• Тип: Конспект; #794791
• страница: 39 из 44

пирометрами
Введём ряд энергетических характеристик излуче- ния
85
Поток излучения
Φ — средняя мощность оптиче- ского излучения за время, много большее периода све- товой волны.
Энергетическая освещённость
— поток излучения, приходящийся на единичный участок поверхности тела, на которое падает свет:
Φ
d
E
dS

;
 
2
Вт м
E 
Энергетическая сила света
— поток излучения тела в определённом направле- нии (под углом φ к нормали поверхности излучающего тела), приходящийся на единичный телесный угол:
Φ
Ω
d
I
d

;
 
Вт ср
I 
Энергетическая яркость
— энергетическая сила света, испускаемого с единич- ного участка поверхности тела в направлении нормали к поверхности: cos
dI
B
dS
φ

;
 
2
Вт м ср
B 

Смысл обозначений dS, dΩ, φ показан на
РИС
. 44.1
Спектральная плотность энергетической яркости
— энергетическая яркость в единичном диапазоне частот (длин волн):
ω
dB
b
dω

,
λ
dB
b
dλ

;
 
2
Дж м ср
ω
b 

,
 
3
Вт м ср
ω
b 

Радиационная температура
T
р
— температура чёрного тела, при которой его энергетическая яркость равна энергетической яркости исследуемого тела:
85
Следует отличать вводимые ниже характеристики от аналогичных фотометрических величин, которые вводятся для видимого излучения и привязаны к чувствительности глаза к оптическому излучению.
Пирометры
радиационные
регистрируют интегральное излучение нагретого тела
оптические
регистрируют излучение нагретого тела на узком участке спектра
dS
φ
dΩ
Рис. 44.1

342
 
0
р
B T
B

Яркостная температура
T
я
— температура чёрного тела, при которой его спек- тральная плотность энергетической яркости равна спектральной плотности энер- гетической яркости исследуемого тела для данной длины волны:
 
0
я
λ
λ
b T
b
 .
Цветовая температура
T
ц
— температура чёрного тела, при которой относи- тельные распределения спектральной плотности энергетической яркости иссле- дуемого тела и чёрного тела близки в видимой области спектра:








0 1
ц
1 0
2 2
ц
,
,
,
,
λ
λ
λ
λ
b λ T
b λ T
b λ T
b λ T

Обычно λ
1
= 660 нм (красный) и λ
2
= 470 нм (зелёно-голубой).
Цветовая температура серого тела совпадает с его истинной (термодинамической) температурой и может быть найдена из закона смещения Вина.
6.4. Электронный газ в металле
6.4.1. Общие положения. Модель свободных электронов
Электронные оболочки атомов, находящихся в узлах кристаллической решётки, перекрываются, в результате этого валентные электроны обобществляются и ста- новятся свободными. Можно считать, что сила, с которой кристаллическая ре- шётка, а также соседние электроны действуют на электрон, равна нулю. Поэтому в первом приближении электронный газ можно представить как коллектив нейтральных частиц с массой m = m
e
, находящихся в сосуде объёмом, равном объ-
ёму образца металла.
Свойства электронного газа
1.
Электроны находятся внутри потенциального ящика. Энергия электронов квантована.
2.
Электронный газ вырожден (критическая температура T
кр

5·10 4
К).
3.
Спин электрона
1 2
s  . Электроны подчиняются статистике Ферми-Дирака.
Функция распределения (плотность заполнения фазовых ячеек)
 
1 1
i
i
ε μ
kT
f ε
e



6.4.2. Распределение электронов по энергиям
Подсчитаем число электронов с энергией от ε
i
до ε
i
+ dε. По определению функции распределения
 
i
ε
i
dN
f ε
dg

(Далее индекс i опускаем.) Число фазовых ячеек, в которых энергия частицы лежит от ε
i
до ε
i
+ dε,

343 3
3 2 Γ
Γ
2
p
Vd
d
dg
h
h


, здесь V — объём образца, dΓ
p
— элемент фазового объёма в подпространстве им- пульсов;
2
Γ
4
p
d
πp dp

Выразим импульс электрона через его энергию:
2
p
mε

,
2 2
2
mdε
mdε
dp
ε
mε


;
4 2
Γ
4 2
2
p
π mε mdε
d
πm mεdε
mε




;
 
3 2 3
3 2
4 4
2 2
V
πV
dg
πm mεdε
m
εdε
h
h


Число электронов с энергией от ε до ε + dε
 
3 2 3
4 2
1
ε
ε μ
kT
πV
εdε
dN
m
h
e



Функция распределения электронов по энергиям
 
ε
dN
F ε
dε

,
 
 
3 2 3
4 2
1
ε μ
kT
πV
ε
F ε
m
h
e



График этой функции представлен на
РИС
. 44.2
Рис. 44.2
ε
0
F(ε)

344
6.4.3. Электронный газ при T = 0
1. Функции распределения электронов по энергетическим ячейкам и по энергиям
В потенциальной яме имеется система энергетических уровней. При T = 0 заполня- ется
2
N
нижних уровней (N — общее число электронов). Последний заполненный энергетический уровень при T = 0 —–
уровень Ферми
, а энергия электрона, соот- ветствующая этому уровню, —
энергия Ферми
ε
F
. При T = 0 заполнены все энерге- тические ячейки с ε
i
≤ ε
F
. Поэтому функция распределения по энергетическим ячей- кам при T = 0
 
 
F
F
1,
,
0,
;
i
i
i
i
f ε
ε
ε
f ε
ε
ε








график этой функции изображён на
РИС
. 44.3
А
. С другой стороны, подставляя T = 0 в функцию распределения Ферми-Дирака, получим
 










 







0 0
0 0
1 1,
,
1 1
1 0,
,
1 1
ε μ
kT
T
ε μ
e
f ε
ε μ
e
e
здесь μ
0
— химический потенциал электронного газа при T = 0. Таким образом,
0
F
μ
ε

(в общем случае μ ≠ ε
F
).
Функция распределения электронов по энергиям
 
 
 
 




 



3 2 3 2 0
3 3
0 4
2
,
,
4 2
0,
πV
m
ε ε μ
πV
F ε
m
ε f ε
h
h
ε μ
График этой функции представлен на
РИС
. 44.3
Б
а
б
Рис. 44.3
2. Расчёт энергии Ферми
Условие нормировки функции F(ε):
ε
0
f(ε)
μ
0
= ε
F
1
ε
0
F(ε)
μ
0
= ε
F

345
 
0
ε
N
dN
F ε dε





При T = 0
 
 
 
F
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
F
F
3 3
3 0
4 4
8 2
0 2
2 3 2 3
F
ε
ε
ε
πV
πV
πV
N
m
εdε
dε
m
m
ε
h
h
h







,
2 3 2 3 3
2
F
3 1
3 8
2 8
Nh
n
h
ε
πV
m
π
m














,
(44.1) где
N
n
V

— концентрация электронов.
Численная оценка
n 10
–28
м
3
, m 10
–30
кг ⇒ ε
F
= (3 ÷ 10) эВ
3. Расчёт средней энергии электрона
Среднее значение энергии электрона
 
 
0 0
εF ε dε
ε
F ε dε





При T = 0
 
 
 
F
5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 2
F
F
3 3
3 0
1 4 4
8 2
2 2
5 2 5
ε
ε
πV
π
π
ε
m
ε dε
m
m
ε
N
h
nh
nh




Так как из
(44.1)
следует
 
3 2 3 2
F
3 8
3
m
πε
n
h

,
 
 
3 2 5 2 3
F
F
3 2 3
3 2
F
8 2 3
3 5
5 8
π m
ε
h
ε
ε
h πε
m


Численная оценка
Средняя энергия электрона
3 5 эВ 3 эВ
5
ε  

; среднеквадратичная скорость электрона
6
кв
2
м
10
с
ε
m


v
4. Внутренняя энергия электронного газа
Внутренняя энергия 1 моля электронного газа
A
U N ε

,
N
A
— число Авогадро.
N

346
Найдём эффективную температуру классического идеального газа, внутренняя энергия 1 моля которого равна внутренней энергии 1 моля электронного газа при
T = 0:
A
A
ид
N ε
N ε

⇒ эфф
F
3 3
2 5
kT
ε

⇒
F
эфф
2 5
ε
T
k

Численная оценка
Внутренняя энергия 1 моля электронного газа при T = 0 23 19 6 10 3 1,6 10 Дж 300 кДж
U

 
 


Для сравнения: внутренняя энергия 1 моля классического идеального газа при
T = 300 К ид
3 3,7 кДж
2
U
RT


!
(Здесь R — универсальная газовая постоянная.)
Эффективная температура классического идеального газа при ε
F
= 5 эВ
19 4
эфф
23 2 5 1,6 10 2 10 К
5 1,38 10
T





 

Между классическими и квантовыми представлениями огромная разница!
6.4.4. Влияние температуры на функции распределения
При повышении температуры от абсолютного нуля до T электрон приобретает энергию
Δε kT

Повышение температуры влияет на электроны, находящиеся вблизи уровня
Ферми в полосе шириной kT
86
Можно получить, что химический потенциал электронного газа
2 2
F
F
1 12
π kT
μ ε
ε
















Так как kT << ε
F
, можно считать, что μ ≈ ε
F
Функция распределения электронов по фазовым ячейкам
 
F
1 1
ε ε
kT
f ε
e



,
(44.2) график этой функции показан на
РИС
. 44.4
А
Функция распределения по энергиям
 
 
F
3 2 3
4 2
1
ε ε
kT
πV
ε
F ε
m
h
e



,
(44.3) график на
РИС
. 44.4
Б
При kT ε
F
функция распределения
(44.2)
превращается в функцию распределе- ния Максвелла-Больцмана.
86
Это выражение нужно понимать так: энергия электронов отличается от уровня Ферми не более, чем на величину порядка kT.

347
Критическая температура электронного газа

 
4
F
кр
5 10 К
ε
T
k
а
б
Рис. 44.4
6.4.5. Теплоёмкость электронного газа
При T ≠ 0 средняя энергия электрона
2 2
F
F
3 5
1 5
12
π kT
ε
ε
ε
















Молярная теплоёмкость электронного газа





2 2
2
A
A F
2
F
F
3 5
2 5
12 2
e
ε
π k T
π kRT
C
N
N ε
T
ε
ε
,
R = kN
A
ε
F
2kT
f(ε)
ε
0 1
0
F(ε)
ε
0
ε
F
2kT
Критерий вырождения газа
вырожденный газ
kT << ε
F
невырожденный газ
kT ε
F
2

348
По
закону Дюлонга и Пти
молярная теплоёмкость кристаллической решётки реш
3
C
R

Сравним эти теплоёмкости:

2
реш
F
6
e
C
π kT
C
ε
При низких температурах C
e
<< C
реш

349
Лекция 45
6.5. Электропроводность металлов
При возникновении в проводнике электрического поля напряжённостью
E
возни- кает электрический ток, т. е. упорядоченное движение электронов —
дрейф
. Сред- няя скорость этого движения —
скорость дрейфа
u . Электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми, под действием электрического поля переходят на вышеле- жащие уровни.
Рассмотрим малый участок проводника сече- нием S

, который электрон со средней дрейфо- вой скоростью проходит за время dt (
РИС
. 45.1
).
Модуль плотности тока
enS udt
dQ
j
enu
S dt
S dt






; где n — концентрация электронов; с учётом знака заряда электрона
j
enu
 
Численная оценка
Дрейфовая скорость мм
1 с
u 
, среднеквадратичная скорость теплового движения электрона (см.
6.4.3
)
6
кв м
10
с

v
⇒ v
кв
>> u.
Найдём, как зависит дрейфовая скорость электрона от напряжённости электриче- ского поля. Рассмотрим процесс резкого включения и выключения поля: после включения поля электроны не сразу разгоняются, а после включения не сразу оста- навливаются. Поэтому изменение тока запаздывает по отношению к изменению поля.
Запишем II закон Ньютона для электрона в металле:
*
с
d
m
eE F
dt
 

v
,
(45.1) где m
*
—
эффективная масса
электрона, v — его ско- рость, с
F — тормозящая сила, описывающая влияние соударений электрона с неоднородностями и узлами кристаллической решётки (
РИС
. 45.2
). Положим с
F
α
  v.
Спроецируем уравнение
(45.1)
на ось x:
*
d
m
eE α
dt


v
v .
Разделим переменные и умножим уравнение на (–α):
*
αd
α
dt
eE α
m

 

v
v
;
udt
⊝
Рис. 45.1
x
⊝
Рис. 45.2

350
*
ln
eE α
αt
C
m

 
v
,
C — постоянная интегрирования;
*
αt
m
eE α
Ce



v
При t = 0 v = 0, поэтому C = eE,
*
αt
m
eE α
eEe



v
⇒
*
1
αt
m
eE
e
α











v
График этой функции представлен на
РИС
. 45.3
. При t → ∞
eE
u
α

 
v
Время релаксации — время, за которое скорость электрона уменьшается в e раз,
*
m
τ
α

⇒
*
m
α
τ

,
1
t
τ
u
e









v
Рис. 45.3
В векторной форме
*
eτ
u
E
m
 
⇒
2
*
e nτ
j
E
m

Коэффициент в последней формуле – константа, зависящая от свойств вещества:
2
*
e nτ
σ
m

,
j σE

— закон Ома в дифференциальной форме; σ — удельная электропроводность веще- ства. Таким образом, мы подтвердили справедливость закона Ома, исходя из элек- тронных представлений.
Благодаря тепловому движению электрон теряет скорость, соударяясь с другими электронами.
Средняя длина транспортного пробега
— расстояние, после про- хождения которого скорость электрона уменьшается в e раз:


кв кв
L
u τ
τ



v
v
Отсюда
t
0
v

351 кв
L
τ 
v
⇒
2
*
кв
e nL
σ
m

v
Электрическое поле сначала воздействует на электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми (см.
РИС
. 44.4
Б
);

2
F
*
F
e nL
σ
m v
,
(45.2) где L
F
— средняя длина транспортного пробега электронов, находящихся вблизи уровня Ферми; v
F
— средняя квадратичная скорость этих же электронов. В этой формуле от температуры зависит только L
F
. Расчёт показывает, что при низких температурах σ T
–5
, при высоких температурах — σ T
–1