Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
 Скачать 7.51 Mb.
|
Энергетическая диаграмма показана на РИС . 41.4 . Третий уровень гелия и четвёртый уровень неона совпадают. В результате газового разряда происходит возбуждение атомов гелия (коэффициент Эйнштейна B 13 ) и неона (B 14 ). Столкновения возбуждённых атомов гелия с невозбуждёнными атомами неона приводят к резонансной передаче возбуждения. Так как атомов гелия в 10 раз больше, чем атомов неона, заселённость четвёртого уровня неона резко увеличивается. Вместе с быстрым опустошением уровня 3 это создаёт инверсную заселённость уровней 4 и 3 неона. Так как резонатор лазера настроен на длину волны λ 43 , это приводит к созданию лавины фотонов именно этой длины волны. Свойства лазерного излучения 1. Высокая временная и пространственная когерентность 2. Высокая плотность потока энергии 3. Высокая степень монохроматичности (ширина линии генерации Δλ ≈ 0,1 Å) 4. Узкая направленность пучка B 13 3 1 красный λ 43 = 6328 Å B 43 B 14 2 3 4 He Ne 323 6. Квантовая статистика. Физика твёрдого тела 6.1. Макросистемы и способы их описания. Фазовое пространство 82 6.1.1. Макросистемы и способы их описания Макросистема — система, состоящая из огромного числа частиц. Закрытая система — макросистема с постоянным числом N частиц. Открытая система —макросистема с переменным числом частиц. 6.1.2. Термодинамическое описание состояния макросистемы Термодинамическое описание — это описание состояния системы в целом. Будем рассматривать равновесное состояние системы. Равновесное состояние (состояние термодинамического равновесия) — состояние макросистемы, в котором она может находиться сколь угодно долго при неизменных внешних условиях. Термодинамические параметры (макропараметры) — параметры, описывающие макросистему в целом: давление p, объём V, температура T, внутренняя энергия U, энтропия S и т. п. Термодинамические параметры можно определить для системы в целом только в её равновесном состоянии. I начало термодинамики dU δQ δA , Q — количество теплоты, переданное системе, A — работа, совершённая системой. Так как δA = pdV, обрат δQ dS T , для закрытой системы dU TdS pdV Для открытой системы внутренняя энергия может изменяться и за счёт изменения числа частиц: dU TdS pdV μdN , где μ — химический потенциал — термодинамический параметр системы. Его смысл прост. Для теплоизолированной (dS = 0) системы при V = const dU μdN ⇒ const const S V dU μ dN ; 82 Материал этого параграфа во многом повторяет содержание разделов 2.1.2 , 2.1.3 и 2.6.2 . Но так как рассматриваемые темы впервые изучались в I семестре, нужно повторить определение термо- динамической системы и т. д. Способы описания состояния макросистем термодинамический статистический 324 [μ] = Дж. Химический потенциал равен изменению внутренней энергии теплоизолированной системы постоянного объёма при увеличении числа её частиц на единицу. Возможно μ ≷ 0. Для идеального газа μ < 0; для фотонного газа μ = 0. Контакт двух теплоизолированных макросистем Рис. 41.5 При контакте двух теплоизолированных макросистем с химическими потенциалами μ 1 и μ 2 ( РИС . 41.5 ) поток энергии (энергия, переносимая сквозь границу между системами за какой-либо промежуток времени) слева направо на рисунке будет равен потоку энергии справа налево: 1 2 2 1 dU dU ⇒ * * 1 12 2 21 μ dN μ dN , где * 1 μ , * 2 μ —химические потенциалы систем 1 и 2 после приведения их в контакт; dN 12 , dN 21 — число частиц, переходящих из системы 1 в систему 2 и наоборот за один и тот же малый промежуток времени. Так как dN 12 = dN 21 , * * 1 2 μ μ — в состоянии термодинамического равновесия химические потенциалы макросистем равны. 6.1.3. Статистическое описание состояния макросистемы Микропараметры — параметры, характеризующие состояние каждой частицы, входящей в состав макросистемы: масса, импульс, координата, энергия и т. п. Задача статистической физики — установление связи между микро- и макропараметрами. Пусть имеется система N тождественных, слабо взаимодействующих частиц (газ). Благодаря взаимодействию между частицами система может прийти в равновесное состояние. 6.1.4. Фазовое пространство в классической физике Фазовое пространство — 6-мерное пространство координат и проекций импульса: x, y, z, p x , p y , p z μ 1 μ 2 Частицы, составляющие макросистемы классические частицы Подчиняются законам классической физики. фермионы полуцелый спин ( ) Подчиняются принципу Паули. бозоны целый спин ( ) Не подчиняются принципу Паули. 325 Каждой частице сопоставляется изобразительная точка , координаты которой в фазовом пространстве полностью характеризуют состояние частицы. Изобразительная точка движется по фазовой траектории П РИМЕР Колебания пружинного маятника Запишем закон сохранения механической энергии в применении к пружинному маятнику: 2 2 const 2 2 m kx W v , где m —– масса груза, v — его скорость, x — отклонение груза от положения равновесия, k — жёсткость пружины. Выражим энергию маятника через координаты двумерного фазового пространства — проекцию p x импульса груза на направление колебаний и координату груза (x = 0 — в положении равновесия): 2 2 2 2 x p kx W m Это уравнение фазовой траектории частицы, которая имеет форму эллипса ( РИС . 41.6 ). Для макросистемы из N частиц имеем шестимерное облако из N изобразительных точек. Таким образом полностью задаётся микросостояние системы. Нас интересует форма этого облака и распределение изобразительных точек в нём. Разобьём фазовое пространство на ячейки объёма dγ = dxdydzdp x dp y dp z (микросостояние частицы задаётся с соответствующей точностью). Микросостояние системы определяется плотностью заполнения ячеек с учётом индивидуальных номеров частиц. Число микросостояний, с помощью которых реализуется данное макросостояние, — статистический вес Ω макросостояния. Равновесному состоянию соответствует макросостояние с максимальным статистическим весом, т. е. то, которое реализуется наибольшим числом микросостояний. Пронумеруем частицы и ячейки. Таким образом, состояние определённой частицы будет задаваться номером фазовой ячейки, в которой находится соответствующая изобразительная точка. Будем обозначать энергию частицы в i-ой ячейке ε i . Макросостояние системы будет определяться числом изобразительных точек в каждой ячейке без учёта индивидуальных номеров частиц. П РИМЕР Распределение двух изобразительных точек (частиц) по двум фазовым ячейкам i = 1 i = 2 i = 1 i = 2 A B B A x p x 0 Рис. 41.6 326 Это 1 макросостояние и 2 микросостояния, Ω = 2. i = 1 i = 2 i = 1 i = 2 1 макросостояние 1 микросостояние Ω 1 1 макросостояние 1 микросостояние Ω 1 B A B A 327 Лекция 42 6.1.5. Фазовое пространство в квантовой физике В квантовой механике координата и соответствующая проекция импульса одно- временно не измеримы. Соотношения неопределённостей Гейзенберга: Δ Δ , 2 Δ Δ , 2 Δ Δ 2 x y z x p y p z p В результате этого на объём фазовой ячейки накладывается ограничение 3 Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ 8 x y z γ x y z p p p Различным фазовым ячейкам будут соответствовать различные квантовые состо- яния, если Δγ ħ 3 . Одной ячейке соответствует одно квантовое состояние. Примеры заполнения фазовых ячеек в различных квантовых термодинамических системах приведены на РИС . 42.1 Солнечный свет Излучение лазера а б Рис. 42.1 Заполнение фазовых ячеек Лучше взять ячейку объёмом 3 Δ 2 h γ Квантовые частицы фермионы Подчиняются принципу Паули. В одной ячейке —– 2 изобразительные точки с противоположными спинами (↑↓). бозоны Не подчиняются принципу Паули. В одной ячейке — любое число изобразительных точек. Классические частицы В одной ячейке — любое число изобразительных точек. 328 Найдём плотность заполнения фазовых ячеек, которая бы соответствовала равно- весному состоянию системы. Будем исходить из условий, приведённых в ТАБЛИЦЕ 42.1 Таблица 42.1 Классическая статистика Квантовые статистики 1. На размер ячейки не накладываются ограничения. Пусть 3 Δ 2 h γ Объём ячейки 3 Δ 8 γ . Пусть 3 Δ 2 h γ 2. Все частицы одинаковы, но разли- чимы. Перестановка частиц изменяет микросостояние системы. Частицы одинаковы и неразличимы. Перестановка частиц не изменяет микросостояние системы. 3. Внутри ячейки может быть любое число изобразительных точек. Для фермионов внутри ячейки может находиться не более 1 изобразитель- ной точки. Для бозонов число изобразительных точек в ячейке не ограничено. 4. Все допустимые микросостояния замкнутой системы равновероятны. 5. В замкнутой системе внутренняя энергия U = const и число частиц N = const (для бозонов — не обязательно). 6. Равновесное состояние реализуется наибольшим числом микросостояний. П РИМЕР Распределение двух изобразительных точек по двум фазовым ячейкам В ТАБЛ . 42.2 показаны все возможные микросостояния такой макросистемы в слу- чае, если она состоит из классических частиц, фермионов и бозонов. Статистиче- ский вес макросистемы Ω 0 — общее число микросостояний, в которых может находиться данная макросистема. Таблица 42.2 Классические частицы Бозоны Фермионы Ω 0 = 4 Ω 0 = 3 Ω 0 = 1 6.1.6. Функция распределения Функция распределения (см. 2.7.1 ) f(ε i ) определяется средней заполняемостью фа- зовых ячеек изобразительными точками (числом точек в одной ячейке) в малой области фазового пространства: i i i dN ε f ε dg ε , A B B A B A B A 329 где dN(ε i ) — число частиц, а dg(ε i ) — число ячеек, в которых энергия частицы при- нимает значения от ε i до ε i + dε. Проведя термодинамический расчёт, можно получить функции распределения, ко- торые приведены в ТАБЛ . 42.3 (k — постоянная Больцмана). Это распределение ча- стиц по ячейкам ε i , а не по энергиям ε! Таблица 42.3 Классические частицы Фермионы Бозоны Спин свойства частиц не важны полуцелый целый Статистика Максвелла-Больцмана Ферми-Дирака Бозе-Эйнштейна Плотность заполнения ячеек 1 N g 1 N g 1 N g Функция распределения i ε μ kT i f ε e 1 1 i i ε μ kT f ε e 1 1 i i ε μ kT f ε e Химический потенциал μ < 0 μ < 0 μ ≤ 0 Температура (см. 6.1.7 ) T > T кр T < T кр 6.1.7. Критерий вырождения газа Индивидуальные свойства частиц влияют на поведение макросистемы только при высокой плотности заполнения фазовых ячеек 1, 1 N N g g . Такая система под- чиняется квантовой статистике. Подобный газ называется вырожденным При низкой плотности заполнения ячеек 1 N g индивидуальные свойства ча- стиц не важны и работают законы классической физики. Такой газ называется не- вырожденным Параметром, который разграничивает вырожденный и невырожденный газ, явля- ется температура. Если T > T кр , где T — критическая температура , то газ не вы- рожден. Если T < T кр , то газ вырожден. Можно показать, что 2 2 3 кр 0 3 h n T km , где n — концентрация газа, m 0 — масса частицы. Численная оценка Для идеального газа, состоящего из молекул, T кр 5 К, т. е. этот газ при условиях, близких к нормальным, не вырожден. Для электронного газа в металле T кр 5∙10 4 К, т. е. этот газ вырожден. 330 6.2. Распределение молекул идеального газа по энергиям. Химический потенциал идеального газа Эта тема рассматривалась в I семестре ( 2.7.2 , 2.7.3 ). Подойдём к этому вопросу с другой стороны. Функция распределения i ε μ kT i f ε e , (42.1) μ < 0; график функции распределения представлен на РИС . 42.2 . Газ не вырожден, т. е. f(ε i ) << 1. Подсчитаем число частиц, энергия кото- рых лежит в интервале от ε i до ε i + dε. По определению функции распределения i i ε i ε dN f ε dg ⇒ i i ε i ε dN f ε dg Далее индекс i опустим. Число фазовых ячеек Γ Δ d dg γ , где dΓ — объём области фазового пространства, соответствующей энергиям частиц от ε до ε + dε; 3 Δ 2 h γ — объём фазовой ячейки. Пусть энергия молекулы не зависит от её координаты. Тогда Γ Γ x y z p V d dxdydz dp dp dp Vd , V — объём сосуда, в котором находится газ; 3 Γ 2 p Vd dg h (42.2) Найдём dΓ p — элемент объёма в простран- стве импульсов — трёхмерном подпро- странстве фазового пространства. Выразим энергию частицы через её импульс: 2 0 2 p ε m Энергия частицы зависит только от модуля импульса. Поэтому разбиваем подпро- странство импульсов на бесконечно тонкие сферические слои радиусом p и толщиной dp ( РИС . 42.3 ). Объём такого слоя 2 Γ 4 p d πp dp Подставим это выражение в (42.2) : p z p y p x 0 p dp Рис. 42.3 μ f(ε i ) ε i 0 μ Рис. 42.2 331 2 3 4 2 V πp dp dg h Перейдём от p к ε: 0 2 p m ε , 0 0 2 2 2 m dε dε dp m ε ε ; 3 2 0 0 0 3 3 4 2 16 2 2 2 V π m ε m πVm dε dg εdε h ε h Число частиц, учитывая вид функции распределения (42.1) , 3 2 0 3 16 2 ε μ kT ε πVm dN f ε dg εe dε h Найдём химический потенциал из условия нормировки ε dN N : 3 2 3 2 0 0 3 3 0 0 3 2 3 2 3 2 0 0 3 3 4 2 16 2 4 2 2 2 ; 2 ε μ μ ε kT kT kT μ μ kT kT πV m πVm N εe dε e εe dε h h πV m V πm kT π e kT e h h 3 3 2 0 ln 2 2 Nh μ kT V πm kT ; 3 3 2 0 2 2 μ kT Nh e V πm kT , 3 2 3 0 3 2 3 2 3 0 16 2 2 2 2 ε ε kT kT ε πVm Nh N dN εe dε εe dε h V πm kT π kT Введём функцию распределения частиц по энергиям как плотность вероятности попадания частицы в данный интервал энергий: 3 2 2 ε ε kT dN F ε εe Ndε π kT Графики этой функции при разных температурах газа представлены на РИС . 42.4 Среднее значение энергии частицы 0 0 3 2 εF ε dε ε kT F ε dε 2 2 1 |