Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020

• Название: Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 7.51 Mb.
• Имя файла: conspectus_01.pdf
• Тип: Конспект; #794791
• страница: 17 из 44

Таблица 18.1
2 0
F 
1 0
F 
Все заряды неподвижны:
Создадим такие условия, при которых поле действует только на движущийся заряд:
2 0
F 
,


1 0
, поле
F F q

1 0
F 
,


2 0
, , поле
F F q

v
Рассмотрим отношение
1 0
F q
. Оно опре- деляется только величиной поля и явля- ется одной из характеристик поля:
Из опыта:
1) F
2
q
0
;
2) F
2
v;
3) F
2
зависит от направления
v и изме- няется от 0 до F
max
;
4) F
2
полю.
Отношение модуля максимальной силы, с которой поле действует на пробный заряд, к величине этого заряда и мо- дулю его скорости — характеристика только поля:
1 0
F
E
q

2max
0
F
B
q

v
,
—
напряжённость электрического
поля
(электрическая компонента элек- тромагнитного поля).
B
—
индукция магнитного поля
(маг- нитная компонента электромагнитного поля).
Направление
B
совпадает с ориента- цией магнитной стрелки, помещённой в данную точку пространства:
Демонстрации:
1) Султаны
2) Силовые линии электрического поля
47
Демонстрации:
1) Опыт Эрстеда
2) Силовые линии магнитного поля
Сила, с которой электромагнитное поле действует на неподвижный пробный за- ряд
1 0
F
q E

Обратная задача:
найти
2
F
Зная
B
, можно найти силу, с которой электромагнитное поле действует на движущийся пробный заряд. Оказыва- ется, что
2
F  v
,
2
F
B

47
Демонстрации «Силовые линии электрического поля» и «Силовые линии магнитного поля» реко- мендуется показывать последовательно одну за другой.
N
S

144 2
sin
F
α ,
2 0
F
q
B


  
v
Общий случай:
 
0 0
0
,
F q
q E q
B



  
v
v
—
формула Лоренца
,
F
—
сила Лоренца
(
1 0
F 
и
2 0
F 
).
3.1.4. Силовые характеристики электромагнитного поля
Для того чтобы охарактеризовать электромагнитное поле как единый объект, нужно ввести два вектора —
E
и
B
⊗
+
q
0
α
+
q
0
⊙
Основные силовые характеристики электромагнитного поля
Напряжённость электрического поля
Индукция магнитного поля
,
(тесла)

145
Электрическая и магнитная постоянные не имеют физического смысла, они — кон- станты СИ. Физический смысл имеет величина
2 0 0 1
c
ε μ
 ,
8 0 0 1
м
3,00 10
с
c
ε μ



—
скорость электромагнитных волн в вакууме
Вспомогательные силовые характеристики нужны для описания электромагнит- ного поля в веществе (см.
3.3.3
и
3.11.2
).
3.1.5. Принцип суперпозиции полей
Этот принцип следует из опыта.
Принцип суперпозиции полей:
напряжённость электрического поля индукция магнитного поля



, создавае- мого системой


заряженных частиц движущихся заряженных частиц токов



, равна сумме напряжённостей индукций



полей, создаваемых каждым из этих зарядов токов



в отдельности.
Для дискретного распределения зарядов токов



,
i
i
E
E
B
B
 






Для непрерывного распределения зарядов токов



,
E
dE
B
dB
 






Вспомогательные силовые характеристики электромагнитного поля
Напряжённость магнитного поля
(в вакууме)
—
магнитная постоянная
Электрическое смещение
(в вакууме)
—
электрическая постоянная

146
3.1.6. Уравнения Максвелла
Уравнения Максвелла — основные уравнения классической электродинамики — постулируются. Они — обобщение опытных фактов — законов электродинамики.
Мы рассмотрим каждый из этих законов в дальнейшем.
Уравнения Максвелла в интегральной форме
48
I.
L
S
B
Edl
dS
t

 



II.
L
S
D
Hdl
j
dS
t














III.
S
V
DdS
ρdV



IV.
0
S
BdS 

Здесь ρ — объёмная плотность заряда;
dI
dq
j
n
n
dS
dtdS


—
плотность
тока
(см.
РИС
. 18.1
) (I — сила тока, dS — элементарная площадка, перпендикулярная направлению дви- жения зарядов, t — время).
Имеются в виду
свободные заряды
— заряды, нарушающие электронейтральность вещества, и
макротоки
— упорядоченное движение заряженных частиц, при кото- ром они перемещаются на расстояния, много большие межмолекулярных расстоя- ний.
В уравнениях I, II L — произвольная замкнутая кривая, S — произвольная поверх- ность, ограниченная этой кривой.
В уравнениях III, IV S — произвольная замкнутая поверхность, V — объём, ограни- ченный этой поверхностью.
3.1.7. Материальные уравнения
Материальные уравнения
— уравнения, связывающие основные и вспомогатель- ные характеристики электромагнитного поля:
E
и
D
,
B
и
H
. Их вид зависит от природы вещества, в котором существует электромагнитное поле.
Вещество состоит из молекул, в которых заряженные частицы (
связанные заряды
) движутся друг относительно друга (
микротоки
) и создают собственное электро- магнитное поле, которое накладывается на поле свободных зарядов и макротоков.
Для изотропных диэлектриков, несегнетоэлектриков
49 0
D ε εE

, где ε —
относительная диэлектрическая проницаемость
вещества. В вакууме ε = 1.
Для изотропных магнетиков, неферромагнетиков
48
Более подробно об уравнениях Максвелла — в
ПАРАГРАФЕ
3.12
. Элементы векторного анализа, ис- пользующиеся в уравнениях Максвелла, рассмотрим в течение семестра.
49
Сведения о сегнетоэлектриках см., например, в книге
[3]
I
Рис. 18.1

147 0
B
H
μ μ

, где µ —
относительная магнитная проницаемость
вещества. В вакууме µ = 1.
3.2. Постоянное электрическое поле в вакууме
3.2.1. Электростатическое поле в вакууме
В этом случае
0
B  ,
0
E
t



⇒
1 0
F
E
q

Уравнения Максвелла:
I.
0
L
Edl 

III.
0
S
S
Q
EdS
ε


S
V
ρdV Q









148
Лекция 19
3.2.2. Закон Кулона. Расчёт напряжённости электрического поля методом суперпо-
зиции
Закон Кулона:
сила взаимодействия двух точечных зарядов
12 1 2 12 3
0 12 4
q q r
F
πε r

(см.
РИС
. 19.1
; на этом рисунке заряды q
1
и q
2
одного знака).
Рис. 19.1
Рис. 19.2
Напряжённость электрического поля точечного заряда
3 0
4
q r
E
πε r

Силовые линии электрического поля точечного заряда представлены на
РИС
. 19.2
Любую систему заряженных тел можно разбить на точечные заряды (или заряды другой формы, поле которых легко рассчитать) и затем просуммировать (проинте- грировать) напряжённости полей этих зарядов.
П
РИМЕРЫ
1) Электрическое поле равномерно заряженного тонкого кольца
По тонкому кольцу равномерно распределён заряд Q > 0
(
РИС
. 19.3
). Найти
 
E z (z — оськольца).
Находим напряжённость электрического поля в точке A на оси кольца (OA = z). Разобьём кольцо на точечные заряды dq
(на
РИС
. 19.3
показаны два малых заряда dq и dq′, равные по модулю и расположенные диаметрально противоположно).
По принципу суперпозиции полей
E
dE


,
dE — напряжённость электрического поля малого заряда dq.
Векторы напряжённости электрического поля каждого из этих зарядов одинаковы по модулю (если одинаковы все за- ряды dq) и направлены так, что концы этих векторов обра-
q
2
q
1
q
⊕
Рис. 19.3
z
R
dq
O
dq′
Q
A
θ

149 зуют конус с вершиной в точке A (на
РИС
. 19.3
штриховой линией показано основа- ние этого конуса). Проекции этих векторов на плоскость кольца компенсируются, поэтому суммарный вектор
E
направлен вдоль оси z:
z
E E

(при z > 0).
Вычислим E
z
. Напряжённость поля точечного заряда
3 0
4
dq r
dE
πε r

;
2 0
4
dq
dE
πε r

,
2 0
cos
4
z
dq
dE
θ
πε r

, угол θ показан на
РИС
. 19.3
. Величины r и θ одинаковы для всех элементов dq:
2 2
r
R
z


,
2 2
cos
z
z
θ
r
R
z
 

Подставим эти формулы в выражение для dE
z
:


3 2 2
2 0
4
z
dq z
dE
πε R
z



В этом выражении все величины — постоянные, кроме dq. Проинтегрируем по q:




3 2 3 2 2
2 2
2 0
0 0
4 4
Q
z
dq z
Qz
E
πε R
z
πε R
z






Предельные случаи
а) z = 0 ⇒ E = 0. б) z → ∞ ⇒ E = 0. в) z >> R ⇒
3 2
0 0
4 4
z
Qz
Q
E
πε z
πε z


— поле точечного заряда.
2) Электрическое поле равномерно заряженного тонкого прямого стержня
Тонкий стержень длиной AB = l имеет заряд Q > 0, равномерно распределённый по длине стержня. Найти напряжённость электрического поля в точке, находящейся на перпендикуляре к стержню, проходящем через его середину, на расстоянии b
(точка C на
РИС
. 19.4
).
Разобьём стержень на малые отрезки, имеющие малый заряд dq. Напряжённость поля точечного заряда
3 0
4
dq r
dE
πε r

, по принципу суперпозиции полей
E
dE



150
Рис. 19.4
Суммарный вектор напряжённости электрического поля будет направлен перпен- дикулярно стержню, так как вследствие симметрии распределения заряда проек- ции
dE на направление стержня компенсируют друг друга. Поэтому
x
E E

Найдём E
x
:
2 0
cos cos
4
x
dq
α
dE
dE
α
πε r



, угол α показан на
РИС
. 19.4
. Это выражение нельзя интегрировать, так как в нём присутствуют три зависящих друг от друга переменные: q, r, α. Свяжем их друг с другом; для интегрирования будет удобнее всё выразить через α.
Расстояние от элемента dq до точки C cos
b
r
α

Выразим заряд dq. Этот заряд занимает участок стержня длиной dy;
dq τdy

,
τ — линейная плотность заряда стержня. Так как стержень заряжен равномерно,
Q
τ
l

Выразим длину элементарного отрезка dy через угол dα, под которым этот отрезок виден из точки C:
2
cos cos
rdα
bdα
dy
α
α


b
Q
C
A
B
O
·
dy
dq
α
rdα
dα
α
α
0
x

151
Подставим выражения для r и dl в выражение для dE
x
:
2 2
2 0
0
cos cos cos
4
cos
4
x
Q bdα
α
α
Q
dE
αdα
πε l
α b
πε lb





Проинтегрируем по α:
0 0
0 0
0 0
0 0
sin cos sin
4 4
2
α
α
x
α
α
Q
α
Q
Q
E
αdα
α
πε lb
πε lb
πε lb






(стержень виден из точки C под углом 2α
0
). Из
РИС
. 19.4 0
2 2
2 2
sin
4 2
4
l
l
α
l
l
b
b




;
2 2
2 2
0 0
2 4
2 4
Ql
Q
E
πε lb l
b
πε b l
b




Предельные случаи
а) b >> l ⇒
2 0
0 2
2 4
Q
Q
E
πε b b
πε b



— поле точечного заряда. б) b << l ⇒
0 0
2 2
Q
τ
E
πε bl
πε b


— поле длинной нити. Эту формулу мы получим дру- гим способом
ПОЗЖЕ
3.2.3. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости
электрического поля
Элементарный поток
Φ
d
EdS

,
dS направлен по внешней
50
нормали к малому участку dS;
Φ
cos
n
d
EdS
α E dS


(см.
РИС
. 19.5
).
Полный
поток
вектора
E
сквозь поверхность S
Φ
S
EdS


Теорема Остроградского-Гаусса для
E
:
поток вектора напряжённости электри- ческого поля сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охваченной этой поверхностью, делённой на ε
0
:
 
0
S
S
q
EdS
ε



50
Если поверхность S не замкнута, то выбор одного из двух направлений нормали произволен, при этом направление нормали для всех участков dS должно быть одинаковым.
S
α
·
Рис. 19.5

152
Доказательство
51
(вывод из закона Кулона)
Рассмотрим точечный заряд q и его электрическое поле. Окружим заряд произ- вольной замкнутой поверхностью S (
РИС
. 19.6
А
). По закону Кулона напряжённость электрического поля точечного заряда
3 0
4
q r
E
πε r

а
б
Рис. 19.6
Элементарный поток
2 0
cos
Φ
4
q
α
d
EdS
dS
πε r


Телесный угол
, под которым из точки, где находится заряд q, видна площадка dS
2 2
cos
Ω
dS
dS
α
d
r
r



(см.
РИС
. 19.6
Б
). Выразим элементарный поток через телесный угол:
0
Ω
Φ
4
qd
d
πε

Проинтегрируем по полному телесному углу:
4 0
0 0
0
Ω
4
Φ
4 4
π
S
qd
q π
q
EdS
πε
πε
ε







Мы доказали теорему для случая одного точечного заряда. Обобщение на случай произвольной системы зарядов проводится по принципу суперпозиции полей:
i
E
E


,
51
Мы строим курс, постулируя уравнения Максвелла. Это доказательство даётся для того, чтобы продемонстрировать связь уравнений Максвелла с эмпирическими законами электромагнетизма: в данном случае — III уравнения Максвелла (теорема Остроградского-Гаусса для E ) и закона Ку- лона, и не входит в экзаменационную программу.
q
⊕
α
dΩ
S
dΩ
q
⊕
α

153


 
0 0
i
S
i
i
S
S
S
q
q
EdS
E dS
E dS
ε
ε











, ч. т. д.
Рассмотрим примеры расчёта полей с использованием теоремы Остроградского-
Гаусса для
E
. Эта теорема полезна в том случае, когда можно выбрать замкнутую поверхность так, чтобы легко было вычислить поток
E
. Прежде чем решать задачу с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, нужно найти направление
E
методом суперпозиций.