Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020

• Название: Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 7.51 Mb.
• Имя файла: conspectus_01.pdf
• Тип: Конспект; #794791
• страница: 9 из 44

1.10.2. Методы решения задач по механике
Методы решения задач
через основной закон динамики
Найти: t, , , …
Важно знать закон изменения ис- комой величины со временем.
через законы сохранения
Найти: v, ω, S, …
Важно знать характеристики начального и конечного состоя- ния системы, процесс перехода от начального к конечному состоя- нию не имеет значения.

70
Лекция 8
1.11. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея
Принцип относительности Галилея (принцип эквивалентности):
все инерци- альные системы отсчёта эквивалентны. Никакими опытами, поставленными внутри ИСО, нельзя определить, движется ли она или покоится.
1.11.1. Преобразования Галилея
Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта K и K′. Система K′ движется относи- тельно системы K со скоростью v (
РИС
. 8.1
).
Зная координаты и время в системе отсчёта
K, найдём координаты и время в системе K′ и наоборот, т. е. найдём связь между x, y, z, t и x′,
y′, z′, t′ (
ТАБЛ
. 8.1
).
В классической механике время во всех си- стемах отсчёта течёт одинаково.
Таблица 8.1
Преобразования Галилея
K′ → K
K → K′
x x
t


  v
x
x
t
   v
y y

y
y
 
z z

z
z
 
t t

t t
 
1.11.2. Следствия из преобразований Галилея
Инвариант преобразований
— физическая величина, которая не изменяется при переходе из одной системы отсчёта к другой, т. е. величина, значения которой оди- наковы во всех системах отсчёта.
1. Абсолютность одновременности
События, одновременные в одной системе отсчёта, одновременны и в другой:
1 2
t
t


 ⇒
1 2
t
t
 .
Это следует из того, что время является инвариантом преобразований Галилея:
2. Инвариантность длины отрезка
Пусть отрезок
1-2
покоится относительно системы отсчёта K′ (
РИС
. 8.2
). Его длина в этой системе отсчёта равна l′. Выразим l′ через координаты концов отрезка в си- стеме K′:
x
y
t
O
K
x′
y′
t′
O′
K′
Рис. 8.1

71

 

2 2
2 1
2 1
l
x
x
y
y









Свяжем координаты концов стержня в системе отсчёта K′ с координатами в си- стеме отсчёта K через преобразования
Галилея:

 


 

2 2
2 1
2 1
2 2
2 1
2 1
l
x
t x
t
y
y
x
x
y
y
l
 
  








v
v
— длина отрезка в системе отсчёта K
(измерение координат концов отрезка происходит в один и тот же момент вре- мени t). Это означает, что длина отрезка — инвариант преобразований Галилея: inv
l l
 
3. Инвариантность интервала времени
Пусть интервал времени между двумя событиями
1
и
2
в системе отсчёта K′
2 1
Δt
t
t



  .
Интервал времени между теми же событиями в системе отсчёта K
2 1
Δt t
t
  .
Так как
1 1
t
t
 и
2 2
t
t
 ,
Δ
Δ
inv
t
t


4. Классический закон сложения скоростей
Пусть материальная точка движется со скоростью u относительно системы от- счёта K′. Тогда её скорость в системе отсчёта K
u u
  v .
Доказательство
По определению скорости
x
dx
u
dt

,
x
dx
u
dt


 

Выразим u
x
через координату и время в системе отсчёта K′:
x
x
dx
dt
dx
u
u
dt
dt








 



v
v
v .
Аналогично получим
y
dy
u
dt

,
y
dy
u
dt


 

⇒
y
y
u
u



;
z
z
u
u


 .
5. Инвариантность ускорения
По определению, ускорение материальной точки в системе отсчёта K′
x
y
O
K
x
1
x
2
t
x′
y′
t′
O′
K′
1
2
l′
Рис. 8.2

72
du
a
dt

 

, в системе отсчёта K
du
a
dt

(здесь мы используем те же обозначения, что в
ПРЕДЫДУЩЕМ ПОДРАЗДЕЛЕ
).
Воспользуемся классическим законом сложения скоростей:
u u
   v,
 
d u
du
a
a
dt
dt

 


v
; inv
a a
 
6. Инвариантность массы и силы
Постулируется, что масса и сила — инварианты преобразований Галилея: inv
m m


, inv
F F
 
II закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея:
F
m a

 

⇒ F ma

1.12. Специальная теория относительности
1.12.1. 4-пространство
Время относительно, как и пространство. Введём
4-пространство
— линейное риманово (неевклидово) пространство координат и времени.
4-радиус-вектор:
ict
x
r
y
z













, здесь c — константа, имеющая размерность скорости; i — мнимая единица. Модуль
4-радиуса-вектора
2 2
2 2 2
inv
r
x
y
z
c t





(доказательство см.
«И
НВАРИАНТНОСТЬ ИНТЕРВАЛА
»
).
Мировая точка
— точка в 4-пространстве.
Мировая линия
— кривая в 4-пространстве.
П
РИМЕР
Материальная точка покоится в 3-пространстве. Мировая линия — траектория этой материальной точки в 4-пространстве (вернее, двумерная её проекция) — изображена на
РИС
. 8.3

73
Рис. 8.3
1.12.2. Преобразования Лоренца
II закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея, а уравне- ния Максвелла (см.
3.1.6
) — нет. Надо получить другие преобразования, опираясь на свойства симметрии пространства-времени
29
(см.
1.1.2
).
Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта K и K′. Система K′ движется от- носительно системы K со скоростью v (
РИС
. 8.2
). В момент совмещения начал коор- динат часы синхронизированы: x = x′ = y = y′ = z = z′, t = t′.
Искомые преобразования должны иметь вид




, , ,
, , ,
x
f x t
t
g x t

 


 

v
v
где f и g — функции, которые нужно найти.
При сдвиге координаты в системе отсчёта K на Δx и времени на Δt соответствующие сдвиги в системе K′

 


 

Δ
Δ ,
Δ ,
, , ,
Δ
Δ ,
Δ ,
, , .
x
f x
x t
t
f x t
t
g x
x t
t
g x t








 




v
v
v
v
Это возможно только тогда, когда f и g — линейные функции x и t:
1 2
3 4
,
x a x a t
a
t
x a t
 




 


v
v
Коэффициенты a
1
, a
2
, a
3
, a
4
безразмерны. Их можно найти с помощью элементар- ных преобразований. В результате получаются преобразования Лоренца, приве- дённые в
ТАБЛИЦЕ
8.2 29
Полностью данный вывод приведён в
П
РИЛОЖЕНИИ
. Делать его на лекции не рекомендуется из- за громоздкости элементарных алгебраических преобразований.
0
ict
x

74
Таблица 8.2
Преобразования Лоренца
K′ → K
K → K′
2 2
1
x
t
x
c





v
v
2 2
1
x
t
x
c

 

v
v
y y

y
y
 
z z

z
z
 
2 2
2 1
t
x
c
t
c





v
v
2 2
2 1
t
x
c
t
c

 

v
v
Здесь c = const. Видно, что v < c, т. е. c — предельная скорость. Из опыта известно, что c — скорость света в вакууме.
При v << c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.
Подчеркнём, что преобразования Лоренца выводятся из свойств симметрии про- странства-времени и не требуют других допущений. Однако, во многих учебниках
(например,
[1]
) преобразования Лоренца выводятся другим способом — через по- стулаты Эйнштейна.
Постулаты Эйнштейна
1.
П
РИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
2.
Скорость распространения взаимодействий инвариантна относительно преоб- разований.
1.12.3. Следствия из преобразований Лоренца
1. Инвариантность интервала
Интервал
между событиями
1
и
2
ΔS
12
:

 
 
 

2 2
2 2
2 2
12 2
1 2
1 2
1 2
1
ΔS
c t
t
x
x
y
y
z
z








Интервал — инвариант преобразований Лоренца:
12
Δ
inv
S 
Доказательство
Докажем, что малый интервал — дифференциал интервала dS
12
— инвариант пре- образований Лоренца:
2 2
2 2
2 2
12
dS
c dt
dx
dy
dz




,
2 2
2 2
2 2
12
dS
c dt
dx
dy
dz









Выразим
12
dS через время и координаты в системе отсчёта K:
2 2
2 1
dt
dx
c
dt
c

 

v
v
,
2 2
1
dx
t
dx
c

 

vd
v
,
dy
dy
 
, dz dz
 
;

75


2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 12 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 12 2
2 2
2 1
1
,
1
c dt
dx
dxdt dx
dt
dxdt
c
dS
dy
dz
c
c
dt
dx
c
dy
dz
c dt
dx
dy
dz
dS
c





 






















v
v
v
v
v
v
v
v
ч. т. д.
2. Сокращение длины движущегося отрезка (лоренцево сокращение)
Пусть отрезок
1-2
покоится относи- тельно системы отсчёта K′; для про- стоты расположим его вдоль оси x′
(
РИС
. 8.4
). Длина отрезка в системе от- счёта, в которой он покоится, —
соб-
ственная длина отрезка
0
l
l
 .
Выразим длину отрезка в системах от- счёта K′ и K через координаты его кон- цов:
0 2
1 2
1
,
l
x
x
l x
x


 


 

Выразим l
0
через координаты и время в системе отсчёта K:
2 1
2 1
0 2
2 2
2 2
2 2
2 1
1 1
1
x
t
x
t
x
x
l
l
c
c
c
c











v
v
v
v
v
v
, время t в обоих слагаемых этой формулы одно и то же, так как измерение коорди- нат x
1
и x
2
проводится одновременно. Получается, что
2 0
2 1
l l
c

 v ,
l < l
0
— длина движущегося отрезка меньше длины покоящегося.
3. Замедление хода движущихся часов
Имеются часы с пружинным (или другим) маятником, точка подвеса которого по- коится относительно системы отсчёта K′ (
РИС
. 8.5
). Период колебаний маятника в системе отсчёта, относительно которой точка подвеса маятника покоится
(
1 2
x
x


 ), —
период собственных колебаний
0
T
T
 ,
x
y
O
K
x
1
x
2
t
x′
y′
t′
O′
K′
1
2
l
0
Рис. 8.4

76 2
1
T
t
t



  [события
1
и
2
— два последо- вательных прохождения маятником по- ложения равновесия (или любой другой фазы колебаний)]. В системе отсчёта K события
1
и
2
происходят в точках с раз- ными координатами x
1
и x
2
, период ко- лебаний маятника
2 1
T t
t
  .
Выразим эту величину через коорди- наты и время в системе отсчёта K′:
2 2
1 1
2 2
2 1
2 2
2 2
2 2
1 1
1
t
x
t
x
t
t
c
c
T
c
c
c















v
v
v
v
v
,
0 2
2 1
T
T
c

 v
,
T > T
0
— ход движущихся часов замедляется.
4. Относительность одновременности
Если события
1
и
2
в системе отсчёта K′ происходят в одно и то же время (
2 1
t
t


 ), но в разных местах (
2 1
x
x


 ), то t
2
≠ t
1
— эти события не одновременны в системе отсчёта K. Это следует из преобразований Лоренца.
При
2 1
t
t


 и
2 1
x
x


 возможно t
2
< t
1
. Однако, если между событиями
1
и
2
имеется причинно-следственная связь, то она не нарушается и t
2
> t
1 5. Релятивистский закон сложения скоростей
Пусть материальная точка M движется со скоростью u относительно системы отсчёта K′ (
РИС
. 8.6
). Найдём её скорость в системе отсчёта K.
По определению, проекции скорости в системе отсчёта K′
x
dx
u
dt


 

,
y
dy
u
dt


 

,
z
dz
u
dt


 

; в системе отсчёта K
x
dx
u
dt

,
y
dy
u
dt

,
z
dz
u
dt

Выразим эти проекции через координаты и скорости в системе отсчёта K′:
t
x
y
O
K
x′
y′
t′
O′
K′
Рис. 8.5
x
y
O
K
t
x′
y′
t′
O′
K′
Рис. 8.6

77 2
2 1
dx
dt
dx
c





v
v
,
dy dy

, dz dz

,
2 2
2 1
dt
dx
c
dt
c





v
v
;
2 2
1
x
x
x
u
dx
dt
u
dt
dx
u
c
c














v
v
v
v
,
2 2
2 2
2 2
1 1
1
y
y
x
dy
u
c
c
u
dt
dx
u
c
c













v
v
v
v
,
2 2
2 1
1
z
z
x
u
c
u
u
c







v
v
Итак,
2 1
x
x
x
u
u
u
c


 



v
v
,
2 2
2 1
1
y
y
x
u
c
u
u
c







v
v
,
2 2
2 1
1
z
z
x
u
c
u
u
c







v
v
Ускорение не является инвариантом преобразований Лоренца. Формулы для пре- образования компонент ускорений можно получить аналогичным образом — ис- ходя из определения и преобразований Лоренца:
x
x
du
a
dt

,
x
x
du
a
dt



 

⇒ …

78