Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
 Скачать 7.51 Mb.
|
|
Демонстрация: Маятник Обербека 47 Лекция 5 1.5.5. Динамика плоского движения твёрдого тела Качение без проскальзывания — плоское движение, при котором скорость точек тела, соприкасающихся с опорной поверхностью, относительно этой поверхности, равна нулю. Ось, проходящая через эти точки, непо- движна и называется мгновенной осью вращения (ось z на РИС . 5.1 ). (Ускорения точек мгновенной оси не равны нулю!) Качение без проскальзывания можно представить как вращение вокруг мгновенной оси. Качение без проскальзывания возможно благодаря трению. Оно характеризуется силой трения покоя 25 (так как точки, соприкасающиеся с поверхностью, не дви- жутся относительно неё). Демонстрация: Скатывание цилиндров с наклонной плоскости П РИМЕР Скатывание цилиндра с наклонной плоскости Цилиндр массы m и радиуса R, момент инерции которого относительно его оси ра- вен I C , скатывается без проскальзывания с плоскости, наклонённой к горизонту под углом α ( РИС . 5.2 ). Найти ускорение центра масс цилиндра. Объект исследования — цилиндр — твёрдое тело. Система отсчёта — лабораторная. На цилиндр действуют: Земля с си- лой тяжести т F , наклонная плос- кость с силами реакции опоры N (упругая составляющая) и трения покоя тр F (неупругая составляю- щая). Цилиндр совершает плоское движение, вращаясь с угловым ускорением ε , при этом его центр масс движется с ускорением C a . Запишем законы динамики — теорему о движении центра масс (5.1) и основное уравнение динамики вращательного движения (5.2) : тр т C ma F N F , (5.1) тр т F F N Iε M M M , (5.2) здесь I — момент инерции цилиндра относительно оси. 25 Т. н. сила трения качения в нашем курсе не рассматривается. Трение качения обусловлено нали- чием ненулевого момента силы реакции опоры (её упругой и неупругой составляющих) относи- тельно оси, проходящей через центр масс тела, и приводит к замедлению вращения катящегося тела. Трение качения возможно, лишь если опорная поверхность не является абсолютно твёрдой; в задачах нашего курса всегда по умолчанию полагается обратное. ⊗ z C Рис. 5.1 Рис. 5.2 ⊗ z z 0 ⊗ C ⊗ α x y R m ⊗ 48 Спроецируем векторные уравнения на координатные оси: уравнение (5.1) — на оси x (направлена вдоль наклонной плоскости) и y (направлена перпендикулярно наклонной плоскости); уравнение (5.2) — либо на ось z 0 , проходящую через центр масс цилиндра, либо на ось z — мгновенную ось вращения. Выберем ось z 0 ; т тр т тр sin , 0 cos , C C ma F α F N F α I ε F R (5.3) Эта система содержит 3 уравнения с 5 неизвестными. Запишем дополнительные соотношения: т F mg , C a ε R (кинематическая связь — отсутствие проскальзывания). После их подстановки в систему (5.3) получится система уравнений тр тр sin , C C C ma mg α F a I F R R (Отсюда мы исключили второе уравнение в системе (5.3) , так как оно содержит лишнюю неизвестную N.) Решив эту систему уравнений относительно a C , получим 2 sin C C mgR α a I mR Чем больше момент инерции цилиндра, тем меньше ускорение его центра масс и, следовательно, конечная скорость, что мы и наблюдали в эксперименте. В частно- сти, для полого цилиндра I C = mR 2 и sin 2 C g α a R , а для сплошного цилиндра 2 2 C mR I и 2 sin 3 C g α a R . Сплошной цилиндр скатывается быстрее полого. 1.5.6. Момент импульса Преобразуем основное уравнение динамики вращательного движения с учётом того, что по определению dω ε dt (ω — угловая скорость тела): Iε M ⇒ dω I M dt ⇒ d Iω M dt , dL M dt — основное уравнения динамики вращательного движения в дифференциаль- ной форме , где L Iω (5.4) — момент импульса твёрдого тела относительно оси ; 49 2 кг м с L При 0 M 0 dL dt — закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы относительно любой оси не изменяется с течением времени. На самом деле закон сохранения момента импульса ниоткуда не выводится, а яв- ляется выражением свойств пространства-времени (см. РАЗДЕЛ 1.1.2 ). Более подробно закон сохранения момента импульса рассмотрим ДАЛЕЕ 1.6. Закон сохранения импульса Законы сохранения позволяют найти связь между характеристиками механиче- ской системы до и после взаимодействия, не вдаваясь в подробности произошед- шего процесса. Сначала подробно рассмотрим закон сохранения импульса. Вспомним основные соотношения (см. РАЗДЕЛ 1.4.8 ): Импульс материальной точки: p m v Импульс механической системы: i C P p M v Теорема о движении центра масс: e dP F dt Если система замкнута, то 0 dP dt ⇒ const P Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы остаётся неизменным с течением времени. Замкнутых систем в строгом смысле этого слова в природе не бывает, но во многих случаях импульс системы можно считать сохраняющимся: 1. Внешние силы скомпенсированы: 0 e F 2. Движение системы рассматривается в течение короткого промежутка времени Δt: Δ Δ e P F t , Δ Δ e P F t Если Δt мало, то и ΔP мало и им можно пренебречь. С чем сравнивать эти вели- чины? Речь идёт о влиянии взаимодействий, описываемых внешними и внут- ренними силами, на движение отдельных тел, входящих в рассматриваемую механическую систему, при взрыве, ударе и т. п. Изменение импульса этих тел под действием внутренних сил велико по сравнению с изменением импульса под действием внешних сил тогда, когда модуль главного вектора внутренних сил, приложенных к какому-либо телу, входящему в систему, много больше мо- дуля равнодействующей внешних сил, приложенных к этому же телу: i e i i F F 50 3. Внешние силы не скомпенсированы 0 e dP F dt , но проекция главного век- тора внешних сил на какое-либо направление равна нулю: 0 e x F ⇒ 0 x dP dt ⇒ const x P — проекция импульса механической системы на это направление (ось x) оста- ётся неизменной с течением времени. П РИМЕР Пружинная пушка Пушка массы M стоит на горизонтальных рельсах и стреляет в горизонтальном направлении снарядом массы m, вылетающим со скоростью v ( РИС . 5.3 ). Найти ско- рость пушки после выстрела. Рассмотрим механическую систему пушка- снаряд. Будем работать в лабораторной си- стеме отсчёта. Считаем, что в момент выстрела сохраня- ется проекция импульса системы на гори- зонтальное направление (P x = const); изме- нением импульса системы под действием трения пушки о рельсы пренебрежём. За- пишем закон сохранения импульса в проекции на ось x: 0 m Mu v ; получим m u M v . Чем массивнее снаряд, тем больше начальная скорость пушки и расстояние, на ко- торое она откатится после выстрела. Проверим это экспериментально. Демонстрация: Пружинная пушка 1.7. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса 1.7.1. Момент импульса Момент импульса — векторная величина (псевдовектор), характеризующая инертность тела в движении. 1. Момент импульса материальной точки относительно точки Момент импульса материальной точки относительно точки (полюса) равен векторному произведению радиуса-вектора этой точки на её импульс ( РИС . 5.4 ): L rp . 2. Момент импульса материальной точки относительно оси Момент импульса материальной точки относительно оси : z L rp k m M x Рис. 5.3 51 Вектор момента импульса относительно оси всегда направлен вдоль этой оси; направление определяется по правилу правого винта. (На РИС . 5.5 p лежит не в плоскости чертежа.) Рис. 5.4 Рис. 5.5 3. Момент импульса механической системы Момент импульса механической системы равен сумме моментов импульсов тел (материальных точек), составляющих эту систему: i L L (5.5) 4. Момент импульса твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Пусть твёрдое тело вращается вокруг оси z с угловой скоро- стью ω ( РИС . 5.6 ). Разобьём тело на малые фрагменты массами Δm i , отстоящие от оси z соответственно на расстояния r i и имеющие скорости i v и импульсы Δ i p Момент импульса i-го фрагмента Δ ,Δ i i i L r p . Момент импульса тела по определению (5.5) 2 2 Δ ,Δ ,Δ ,Δ Δ Δ i i i i i i i i i i i i i i i L L r p r m r m ωr m ωr r ωr ω m r Iω v Здесь учтено, что i i ωr v . Мы получили результат, совпада- ющий с определением (5.4) 5. Момент импульса твёрдого тела, совершающего плоское движение C C L r P L , где C r — радиус-вектор центра масс тела, P – импульс тела; C C L I ω — момент им- пульса, соответствующий вращению тела вокруг оси, проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости его движения, I C — момент инерции тела относи- тельно этой оси. O m ⊙ m z O z Δm i , O i Рис. 5.6 0 I 52 Доказательство Разобьём тело на малые фрагменты массами Δm i . По определению (5.5) Δ ,Δ ,Δ i i i i i i L L r p r m v , где i r — радиус-вектор i-го фрагмента, i v — его скорость, Δ i p — его импульс. Пред- ставим (ср. РИС . 3.4 ) i C i r r ρ ⇒ i C i u v v , где C r — радиус-вектор центра масс тела, i ρ — радиус-вектор, проведённый из центра масс к i-му фрагменту, C v — скорость центра масс, i i i dρ u ωρ dt — ско- рость i-го фрагмента относительно центра масс, ω — угловая скорость тела. Таким образом, ,Δ Δ Δ , Δ Δ , ,Δ , , Δ C i i C i i C C C i i C i i C C i C i i i i C i i i i C C C i L r ρ m u m r r u ρ ρ u r m r m u m ρ ρ m u dρ r M r m v v v v v v 2 2 Δ , , Δ Δ Δ , ч. т. д. i i i C C i i i i C i i C C m ρ ωρ dt d r P r m ρ m ωρ r P ω m ρ dt r P I ω Здесь M — масса тела. 1.7.2. Закон сохранения момента импульса Основное уравнение динамики вращательного движения e dL M dt , где e M — главный вектор моментов внешних сил. Если механическая система за- мкнута, то 0 e M ⇒ 0 dL dt ⇒ const L Момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной оси (либо точки) не изменяется с течением времени. Если система не является замкнутой, но 0 e M относительно некоторой оси — мо- менты внешних сил равны нулю либо скомпенсированы, то момент импульса си- стемы относительно этой оси не изменяется с течением времени. 0, т. к. точка C – центр масс 0 I C 53 П РИМЕР Скамья Жуковского Скамья Жуковского представляет собой диск, который может вращаться вокруг вертикальной оси — оси симметрии — почти без трения. На скамье может стоять (или сидеть) человек и выполнять различные действия. Рассмотрим два опыта. Демонстрация: Скамья Жуковского Опыт 1 Экспериментатор стоит на скамье Жуковского, вращающейся с угловой скоростью 1 ω ( РИС . 5.7 А ). В разведённых в стороны руках экспериментатор держит гантели. Затем экспериментатор сводит руки так, что расстояние от гантелей до оси умень- шается ( РИС . 5.7 Б ). Как изменится угловая скорость системы? а б Рис. 5.7 На систему человек-скамья-гантели воздействуют следующие внешние объекты: Земля с силой тяжести т F и опорная поверхность с силой реакции N . Обе эти силы имеют нулевые моменты относительно вертикальной оси z: 0 e M . Следова- тельно, момент импульса рассматриваемой механической системы относительно этой оси сохраняется: const L Момент импульса системы в начальном состоянии 1 1 1 L I ω , где I 1 — момент инерции системы относительно оси z в начальном состоянии (с разведёнными руками и гантелями). Момент импульса системы в конечном состоянии 2 2 2 L I ω , где I 2 — момент инерции системы относительно оси z в конечном состоянии (со сведёнными руками и гантелями), 2 ω — конечная угловая скорость. z z 54 Так как 1 2 L L L , 1 1 2 2 I ω I ω В проекции на ось z 1 1 2 2 I ω I ω ⇒ 1 1 2 2 I ω ω I Так как I 2 < I 1 (в конечном положении гантели находятся ближе к оси), угловая ско- рость системы увеличивается. Опыт 2 Экспериментатор стоит на неподвижной скамье Жуковского. Ему в руки дают ось колеса, вращающегося с угловой скоростью ω, направленную вертикально вверх ( РИС . 5.8 А ). Затем экспериментатор поворачивает ось колеса вниз ( РИС . 5.8 Б ).С какой угловой скоростью начнёт вращаться скамья? |