Конспект лекций эумк по дисциплине Физика, иээ о. И. Лубенченко 12 2020
 Скачать 7.51 Mb.
|
|
Теорема о движении центра масс: центр масс механической системы движется как материальная точка с массой, равной массе системы, к которой приложена сила, равная равнодействующей внешних сил, приложенных к системе, e C Ma F Доказательство Рассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек. Диффе- ренциальное уравнение движения i-ой точки 2 2 1, N e i i ki i i k k i d r m F F dt , (3.2) где e i F — равнодействующая внешних сил, приложенных к i-ой точке; i ki F — внут- ренняя сила, с которой k-я точка действует на i-ую точку. Просуммируем равенства (3.2) по всем N точкам системы: 2 2 1 1 1 1, N N N N e i i ki i i i i i k k i d r m F F dt (3.3) Рис. 3.5 m 1 m 2 C x O x С l 0 32 Второе слагаемое в правой части этого равенства равно нулю, так как оно равно сумме всех внутренних сил, описывающих взаимодействие тел, входящих в рас- сматриваемую систему. Первое слагаемое есть главный вектор внешних сил e F Преобразуем левую часть равенства (3.3) , учитывая, что i C i r r ρ ( РИС . 3.4 ): 2 2 2 2 1 1 N N e C i i i i i d r d ρ m m F dt dt , 2 2 2 2 1 1 N N e C i i i i i d r d m m ρ F dt dt Но 2 2 C C d r a dt — ускорение центра масс, 1 N i i m M — масса системы, а 1 0 N i i i m ρ , так как точка C — центр масс системы. Поэтому e C Ma F , ч. т. д. 1.4.5. Некоторые силы 15 1. Гравитационная сила Сила, описывающая гравитационное воздействие материальной точки 16 массой m 1 на материальную точку массы m 2 , находящуюся на расстоянии r от точки массой m 1 ( РИС . 3.6 ): 1 2 12 12 3 m m F G r r (3.4) — закон всемирного тяготения ; 2 11 2 Н м 6,67 10 кг G — гравитационная посто- янная . Знак «–» означает, что тела притягиваются. Рис. 3.6 Рис. 3.7 Ч АСТНЫЙ СЛУЧАЙ Сила тяжести — гравитационная сила вблизи поверхности Земли т F mg Действительно, пусть материальная точка массы m находится вблизи поверхности Земли, т. е. на расстоянии от центра Земли, равном радиусу R Земли ( РИС 3.7 ). По закону всемирного тяготения (3.4) т 3 g mM F F G r R , 15 В данном разделе рассматриваются силы, фигурирующие в задачах I семестра. 16 В этом определении можно заменить слова «материальная точка» на «тело» с поправкой, что r — это расстояние между центрами масс тел. m 2 m 1 m M O R 33 здесь M — масса Земли. Модуль этой силы т 2 M F G m mg R , где 2 2 м 9,81 с M g G R 17 — ускорение свободного падения (вернее, модуль этого ускорения). По II закону Ньютона ma mg , вектор g направлен к центру Земли. Центры масс всех тел, падающих свободно (т. е. без каких-либо внешних воздействий, кроме гравитационного) вблизи по- верхности Земли, движутся с ускорением g 2. Сила упругости Упругая деформация — деформация тела, которая полностью исчезает после пре- кращения взаимодействия, являющегося её причиной. Воздействие деформиро- ванного тела на тело, вызвавшее деформацию, описывается силой упругости Линейная деформация подчиняется закону Гука : упр Δ F k l , где Δl — вектор деформации ( РИС . 3.8 А ), k — коэффициент упругости (жёст- кость) деформируемого тела. Знак «–» означает, что деформированное тело со- противляется деформации —– пытается восстановить форму. На РИС . 3.8 представлены разные типы деформируемых тел: А ) пружина, Б ) нить ( сила натяжения T ) и В ) опорная поверхность ( сила реакции опоры N ). а б в Рис. 3.8 (На РИС . 3.8 m — масса груза, 0 — положение недеформированной пружины.) Сила реакции опоры всегда направлена перпендикулярно опорной поверхности от неё, а сила натяжения — вдоль натянутой нити от натягивающего её тела. Вес тела – сила, описывающая действие тела на опору или подвес; по модулю равен силе упругости (по III закону Ньютона P T или P N ). Природа упругости — в межмолекулярном, т. е. электромагнитном взаимодей- ствии (см. РАЗДЕЛ 0.3 ), однако, при изучении механики это для нас не имеет значе- ния. 17 При необходимости проведения вычислений с достаточно высокой точностью следует учиты- вать, что ускорение свободного падения зависит от географической широты. На широте Москвы g = 9,8156 м/с 2 0 m k m m 34 Демонстрация: Динамометры 3. Сила сухого трения Сила трения — составляющая силы взаимодействия соприкасающихся тел, парал- лельная поверхности их контакта ( РИС . 3.9 А ). Наличие этой составляющей обуслов- лено неупругими деформациями тел. Мы рассматриваем сухое трение, т. е. обе соприкасающиеся поверхности являются твёрдыми (в смысле агрегатного состояния; вязкое трение рассматривается в РАЗ- ДЕЛЕ 2.9.2 ). Закон сухого трения (закон Кулона): тр max F μN , где F тр max — максимальное значение модуля силы трения — сила трения сколь- жения , N — модуль силы реакции опоры, µ — коэффициент трения — безраз- мерная величина, зависящая от материала и состояния соприкасающихся поверх- ностей. Направлена же сила трения скольжения всегда против скорости тела отно- сительно опорной поверхности. а б Рис. 3.9 График зависимости модуля силы трения от модуля силы F представлен на РИС . 3.9 Б . До тех пор пока F < µN, тело покоится относительно опорной поверхности, а F = F тр (наклонный участок на графике). При F ≥ µN тело начинает скользить и F тр = F тр max = µN. Демонстрация: Сила трения Трение также имеет электромагнитную природу. 1.4.6. Кинематические связи Кинематическая связь — ограничение, накладываемое на движение тела. 1. Координатная связь Координатная связь — ограничение, накладываемое на координаты точек и их производные при движении тела. П РИМЕР Тело скользит по горизонтальному рельсу. Перемещение, скорость и ускорение тела должны быть направлены вдоль рельса ( РИС . 3.10 ): r xi ; , 0 y z ; x i v v ; , 0 y z v v ; m 0 F F тр µN µN x Рис. 3.10 35 x a a i ; , 0 y z a a 2. Нить При решении многих задач нити полагаются невесомыми и нерастяжимыми. а) Невесомая нить Во всех точках натянутой нити модуль силы натяжения одинаков: const T Доказательство Рассмотрим участок натянутой нити 1-2 ( РИС . 3.11 ). По условию невесомости масса этого участка Δm = 0. Участки нити, находящиеся по обе стороны от данного участка, действуют на него с силами 1 T и 2 T . Применим к этому участку нити теорему о движении центра масс: 1 2 Δma T T ⇒ 2 1 T T ⇒ 1 2 T T , ч. т. д. б) Нерастяжимая нить Модуль скорости всех точек натянутой нити одинаков: const v Доказательство Будем отсчитывать координаты точек нити по её длине от некоторой точки (например, одного из концов нити). Рас- смотрим участок нити 1-2 ( РИС . 3.12 ). Ко- ордината точки 1 равна l 1 , координата точки 2 соответственно равна l 2 По усло- вию нерастяжимости длина этого участка должна оставаться постоянной: Δl = l 2 – l 1 = const. Модули скоростей точек 1 и 2 1 1 dl dt v , 2 2 dl dt v ; 2 1 2 1 2 1 0 d l l dl dl dt dt dt v v ⇒ 2 1 v v , ч. т. д. Из этого следует, что равны и тангенциальные ускорения всех точек нити: 2 1 τ τ a a 1.4.7. План решения задач по динамике 18 1. Выбор объекта исследования и его модели: материальная точка, твёрдое тело, механическая система (указать, какие тела в неё входят) 18 Аналогичный план подходит и для решения задач по динамике вращательного движения, в т. ч. с использованием законов сохранения. Различия – в законе, на котором основано решение задачи. Δm = 0 1 2 Рис. 3.11 0 0 1 2 Рис. 3.12 36 2. Выбор системы отсчёта (в большинстве случаев — лабораторная) 3. Рисунок (или несколько рисунков) 4. Определение воздействующих объектов. Расстановка обозначений на рисунке: сил, ускорений и т. д. 5. Запись II закона Ньютона (теоремы о движении центра масс) в векторной форме 6. Выбор системы координат (можно вводить разные системы координат для разных тел) 7. Запись закона в проекциях на оси системы координат 8. Подсчёт числа уравнений и числа неизвестных. Запись дополнительных урав- нений (другие законы, уравнения связей и т. п.) 9. Решение полученной системы уравнений в общем виде 10. Анализ результата и проверка размерностей 19 11. Численный расчёт и оценка его результата 1.4.8. Импульс. Другая форма II закона Ньютона Преобразуем выражение II закона Ньютона: ma F d a dt v ⇒ d m F dt v , d m F dt v (3.5) — II закон Ньютона в дифференциальной форме В этом выражении под знаком дифференциала стоит векторная физическая вели- чина, характеризующая инертность и движение тела — импульс материальной точки p m v ; кг м с p Из (3.5) получим d m Fdt v , Fdt — импульс силы . II закон Ньютона можно сформулировать так: изменение импульса материальной точки равно импульсу силы. По определению, импульс механической системы равен сумме импульсов тел (материальных точек), входящих в эту систему: i P p Подробное обсуждение этого плана и обучение решению задач проводится на практических заня- тиях. Пример решения задачи по динамике рассматривается на СЛЕДУЮЩЕЙ ЛЕКЦИИ 19 Рекомендуется контролировать размерности в течение всего решения задачи. 37 Импульс механической системы равен произведению массы M системы на скорость C v её центра масс: C P M v Доказательство Исходя из определения импульса механической системы, i i i i i i i dr d P p m m m r dt dt v (см. РИС . 3.4 ) 20 , i v — скорость i-ой материальной точки. В обозначениях этого ри- сунка i C i r r ρ . Поэтому C i C i i i dr d P m r m ρ m M dt dt v , ч. т. д. Преобразуем выражение теоремы о движении центра масс: e C Ma F ⇒ e C d M F dt v ⇒ e C d M F dt v , e dP F dt Если система замкнута, то 0 e F и 0 dP dt ⇒ const P — закон сохранения импульса механической системы : импульс замкнутой си- стемы остаётся неизменным с течением времени. На самом деле закон сохранения импульса не выводится, а следует из свойств про- странства-времени (см. РАЗДЕЛ 1.1.2 ). Более подробно закон сохранения импульса будет рассмотрен в ПАРАГРАФЕ 1.6 20 Разумеется, в «живой» лекции этот рисунок нужно сделать заново. 0, т. к. точка C – центр масс 38 Лекция 4 1.5. Динамика твёрдого тела 1.5.1. Момент силы Момент силы 21 — векторная (псевдовекторная) величина, характеризующая взаи- модействие тел. 1. Момент силы относительно точки Момент силы относительно точки : M rF ; точка, относительно которой определяется момент — полюс ; sin , M rF r F ; Н м M На РИС . 4.1 : O — полюс, A — точка приложе- ния силы; r и F лежат в плоскости рисунка, M перпендикулярен плоскости ри- сунка. 2. Момент силы относительно оси Момент силы относительно оси : z M rF k , (4.1) вектор 22 момента силы относительно оси всегда направлен вдоль этой оси; направ- ление определяется по правилу правого винта. Один из способов определения момента произвольно направленной силы относи- тельно оси показан на РИС . 4.2 . На этом рисунке изображено трёхмерное твёрдое тело и вектора и линии, лежащие в трёхмерном пространстве. Здесь z — ось, отно- сительно которой рассчитывается момент силы; k — орт этой оси; A — точка при- ложения силы F ; плоскость xy — плоскость, проведённая через точку A перпенди- кулярно оси z; O — точка пересечения плоскости xy с осью z, т. е. ближайшая к точке приложения силы точка на оси; радиус-вектор r восстановлен из точки O в точку приложения силы; xy F — проекция вектора силы на плоскость xy; sin , xy M rF r F Можно пользоваться не этим способом, а напрямую определением (4.1) . Тогда r — это радиус-вектор, проведённый из любой точки на оси в точку приложения силы. 21 Следует обратить внимание студентов на то, что момент силы, а также момент инерции и момент импульса всегда определяется относительно какой-либо точки или оси. 22 В большинстве курсов общей физики момент силы, момент импульса относительно оси, а также кинематические величины, характеризующие вращение вокруг неподвижной оси, вводятся как ска- лярные алгебраические величины. В нашем же курсе это аксиальные векторы. O A ⊗ |