Курс лекций по физике. Лумпиева_Ч_1_Физика_Конспект-2016. Конспект лекций по физике. Часть 1 Т. П. Лумпиева, А. Ф. Волков До нецк Доннту, 2016. 123 с. Конспект лекций по физике написан в соответствии с программой курса

• Название: Конспект лекций по физике. Часть 1 Т. П. Лумпиева, А. Ф. Волков До нецк Доннту, 2016. 123 с. Конспект лекций по физике написан в соответствии с программой курса
• Анкор: Курс лекций по физике
• Дата: 10.06.2020
• Размер: 1.44 Mb.
• Имя файла: Лумпиева_Ч_1_Физика_Конспект-2016.pdf
• Тип: Конспект лекций; #129280
• страница: 2 из 10

ЧАСТЬ 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
Раздел физики, изучающий закономерности механического движения и взаимодействия тел, называется механикой. Механическое движение − изме- нение положения тела с течением времени относительно других тел или частей одного и того же тела.
§3
Кинематика материальной точки
и
поступательного движения твёрдого тела
Кинематика математически описывает различные виды механического движения, не выясняя причин этого движения. Основная задача кинематики – определить положение тела в любой момент времени.
3.1
Основные понятия кинематики
Материальная точка − тело, размерами которого в условиях данной за- дачи можно пренебречь.
Абсолютно твёрдое тело − тело, деформацией которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Абсолютно твёрдое тело можно рассматри- вать как систему материальных точек, жестко связанных между собой.
Абсолютно упругое тело − тело, которое после прекращения внешнего силового воздействия полностью восстанавливает свои первоначальные разме- ры и форму.
Абсолютно неупругое тело − тело, которое после прекращения внешне- го силового воздействия полностью сохраняет деформированное состояние, вызванное этим воздействием.
3.2
Система отсчёта. Траектория. Путь. Перемещение
Тело, относительно которого рассматривается движение, называется те-
лом отсчёта. Чтобы определить положение исследуемого тела, с телом отсчё- та жестко связывают систему координат, снабженную часами. Совокупность тела отсчёта, связанной с ним системы координат и часов, отсчитывающих время, называется системой отсчёта.
Посмотрите лекционную демонстрацию.
Модель декартовой системы координат. http://youtube.com/watch?v=gmfiKFgy5WM
Положение точки в пространстве описывают с помощью радиус-вектора r

Радиус-вектор r

– это вектор, проведённый из начала координат в точку, где находится тело
(рис. 3.1). Радиус-вектор можно разложить на со- ставляющие:
z
k
y
j
x
i
r




+
+
=
,
M
y
x
i
j
k
r
x
z
y
z
Рисунок 3.1

Физические основы механики
12 где
i

,
j

,
k

– единичные векторы (орты).
При перемещении в пространстве точка М занимает ряд последователь- ных положений. Линия, описываемая в пространстве движущейся точкой, называется траекторией. В зависимости от вида траектории движение делят на прямолинейное и криволинейное. Частным видом криволинейного движения является движение по окружности.
Пусть материальная точка, двигаясь по неко- торой траектории (рис. 3.2), переместилась из точки
1 в точку 2. Расстояние S
12
между точками 1 и 2, от- считанное вдоль траектории, называется длиной пройденного пути или просто пройденным путём.
Если материальная точка повернёт обратно и дойдёт до точки 3, то пол- ный путь равен: S=S
12
+S
23
. Путь всегда выражается положительным числом.
Вектор, соединяющий начальное и конечное положения точки, называется перемещением. Обо- значается r

∆ . (
См. рис. 3.3).
Обычно положение тела определяют с помощью координат. Движение точки считается полностью определенным, если заданы уравнения, описываю- щие изменение координат точки со временем:
( )
t
x
x
=
( )
t
y
y
=
( )
t
z
z
=
Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения точки.
Поступательное движение – это такое движение, при котором любая прямая, жёстко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной са- мой себе. Поэтому кинематическое рассмотрение поступательного движения твёрдого тела сводится к изучению движения любой из его точек. В динамике обычно рассматривают движение центра инерции тела.
Посмотрите лекционную демонстрацию.
Виды движений: поступательное и вращательное движения.
http://youtube.com/watch?v=C1yGNCPw7BU
3.3
Способы задания положения тела в пространстве
Основная задача кинематики – определить положение тела в любой момент времени. Обычно положение тела определяют с помощью координат.
Движение точки считается полностью определенным, если заданы уравнения, описывающие изменение координат точки со временем:
( )
t
x
x
=
( )
t
y
y
=
( )
t
z
z
=
Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения точки.
Координаты тела можно задавать несколькими способами.
1
2
r
Рисунок 3.3
1
3
2
Рисунок 3.2

Физические основы механики
13 1.
Табличный способ.
При этом способе для каждого момента времени указывают значение ко- ординаты тела и представляют эту зависимость в виде таблицы. Например:
t, с
0 2
4 6
8 10 12 14
x
, м
2 6
18 38 66 102 146 198 2.
Графический способ.
Зависимость координат от времени дается в виде графика. Например, для равномерного прямолинейного движения эта зависимость имеет вид, представленный на рис. 3.4.
3.
Аналитический способ.
Зависимость координат от времени задается в виде формул.
Пример: для равномерного прямолинейного движения координата зависит от времени:
t
x
x
v
+
=
0
Если тело движется по плоскости, то можно описывать зависимость ко- ординаты y от координаты x, т.е.
)
(x
f
y
=
. При этом координаты y и x зависят от времени, т.е.
)
(t
f
y
=
,
)
(t
f
x
=
. Зависимость
)
(x
f
y
=
называется урав- нением траектории.
3.4
Скорость
Пусть в момент времени t тело находилось в точке 1, положение которой задается радиус-вектором r
 . За время ∆t оно совер- шило перемещение
r

∆
и оказалось в точке 2
(рис. 3.5).
Скорость тела определяется как предел отно- шения перемещения
r

∆
к промежутку времени ∆t, за который оно произошло, при условии, что ∆t стре- мится к нулю:
r
dt
r
d
t
r
t
′
=
=
∆
∆
=
→
∆




0
lim
v
(3.1) с
м
]
[
=
v
Скорость ( v

) – векторная физическая величина, характеризующая быст- роту изменения положения тела в пространстве и равная первой производной радиус-вектора по времени.
Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории в сторону движения. Модуль скорости v определяется как производная пути по времени:
y
x
v
S
1 2
r
r
r
r
0
Рисунок 3.5
x
x
t
0 0
Рисунок 3.4

Физические основы механики
14
dt
dS
=
v
,
(3.2)
Посмотрите лекционную демонстрацию.
Вектор скорости: опыт с точилом. http://youtube.com/watch?v=k3SlL19D2rE
Из (3.2) следует, что путь dS, пройденный за элементарно малое время dt будет определяться следующим образом:
( )
dt
t
dS
v
=
Путь, пройденный телом за конечный промежуток времени от t
1
до t
2
, находится интегрированием:
∫
=
2 1
)
(
t
t
dt
t
S
v
(3.3)
Пройденный путь численно равен площади за- штрихованной криволинейной трапеции (рис. 3.6).
Если направление вектора скорости не изменяет- ся, то движение называется прямолинейным.
Если модуль скорости не изменяется с течением времени, то движение называется равномерным.
При равномерном движении скорость тела постоянна: const
=
=
t
S
v
(3.4)
Путь, пройденный телом при равномерном движении, зависит от времени линейно:
t
S
v
=
(3.5)
Если тело движется неравномерно, то величина, равная отношению прой- денного пути ∆S к промежутку времени ∆t, в течение которого был пройден путь, называется средней скоростью за этот промежуток времени
t
S
∆
∆
=
>
<
v
(3.6)
(
Средние значения величин будем обозначать заключением этих величин в уг- ловые скобки).
3.4
Ускорение
Пусть в момент времени t тело находилось в точке 1, имея скорость
1
v

Через время ∆t оно переместилось в точку 2, при этом его скорость стала рав- ной
2
v

(рис. 3.7 а).
Приращение вектора скорости равно
1 2
v
v
v



−
=
∆
(рис. 3.7 б). Чтобы оха- рактеризовать быстроту изменения скорости, используется величина:
v( )t
t
t
1 2
t
S
Рисунок 3.6

Физические основы механики
15
v
v
v
′
=
=
∆
∆
=
→
∆




dt
d
t
a
t
0
lim
2
с м
]
[
=
a
Принимая во внимание (3.1), можно записать:
2 2
dt
r
d
dt
d
a



=
= v
(3.7)
Ускорение (
a

) – это век- торная физическая величина, ха- рактеризующая быстроту измене- ния вектора скорости и равная производной вектора скорости по времени.
Ускорение направлено по вектору приращения скорости
v

∆
При прямолинейном дви- жении направление скорости остается постоянным, поэтому вектор ускорения
a

или совпадает с направле- нием скорости, или противоположен ему. Если модуль ускорения при этом не изменяется с течением времени, то в первом случае движение будет равноуско- ренным, во втором – равнозамедленным. Скорость движения в любой момент времени будет определяться соотношением:
t
a
±
=
0
v
v
(3.8) где
0
v
– начальная скорость тела, т.е. скорость в момент времени t=0. Знак
«плюс» относится к равноускоренному движению, «минус» – к равнозамедлен- ному.
Интегрируя функцию (3.8) в пределах от 0 до произвольного момента времени t, найдем формулу для расчёта пройденного пути (см. формулу (3.3)):
(
)
2 2
0 0
0
at
t
dt
at
S
t
±
=
±
=
∫
v
v
(3.9)
Формула (3.9) дает правильный результат для пройденного пути только в том случае, если за время t направление движения точки (знак скорости) не из- меняется.
Если скорость изменяется с течением времени произвольным образом, то величина, равная отношению изменения скорости ∆v к промежутку времени ∆t, в течение которого изменялась скорость, называется средним ускорением за этот промежуток времени
t
a
∆
∆
=
>
<
v
(3.10)
y
x
v
1 2
r
1
v
2 1
r
2 0
Рисунок 3.7 1
v
1
v
2
v
б) а)

Физические основы механики
16
При криволинейном движении вектор скорости
v

изменяет свое направление. При этом может изме- няться и его численное значение, т.е. модуль.
В этом случае вектор ускорения
a

удобно раскла- дывать на две составляющие. Одна из них
τ
a

– каса- тельная к траектории, вторая
n
a

– перпендикулярна этой касательной (рис. 3.8). Составляющая
τ
a

называется
тангенциальным (касательным) ускорением; состав- ляющая
n
a

–
нормальным(центростремительным) ускорением. Из рис. 3.8 сле- дует, что
n
a
a
a



+
=
τ
(3.11)
Модуль полного ускорения равен
2 2
n
a
a
a
+
=
τ
(3.12)
Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по величине и равно первой производной модуля скорости по времени:
dt
d
a
v
=
τ
(3.13)
Если скорость по величине не изменяется, то а
τ
= 0.
Если dv > 0, то тангенциальное ускорение
τ
a

направлено по вектору ско- рости, если dv < 0, то
τ
a

направлено в сторону, противоположную вектору ско- рости.
Нормальное (центростремительное) ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению и направлено по радиусу к центру кривиз- ны траектории. Численное значение нормального ускорения определяется фор- мулой:
R
a
n
2
v
=
(3.14)
Если направление скорости не изменяется, то а
n
= 0.
§4
Кинематика вращательного движения
Вращательное движение – движение, при котором все точки абсолютно твёрдого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной пря- мой. Эта прямая называется осью вращения. Окружности, по которым движут- ся точки тела, лежат в плоскостях, перпендикулярных этой оси.
v
a
a
a
n
Рисунок 3.8

Физические основы механики
17
4.1
Характеристики вращательного движения
Угловое перемещение (
ϕ

d
) – вектор, модуль которого равен углу поворота, выраженному в радианах. Направлено угловое перемещение по оси вращения так, что если смотреть с конца вектора
ϕ

d
, то направление вращения радиус-вектора происходит против часовой стрелки (рис. 4.1).
Угловая скорость (
ω

) – векторная физическая величи- на, характеризующая быстроту вращения и равная первой производной углового перемещения по времени:
dt
d
ϕ
=
ω


,
(4.1) с
рад
]
[
=
ω
Направление вектора угловой скорости совпадает с направлением вектора углового перемещения.
Вращение с постоянной угловой скоростью называется равномерным, при этом
t
ϕ
=
ω
(4.2)
Равномерное вращение принято характеризовать периодом вращения и частотой вращения.
Период вращения (Т) – время, в течение которого совершается один пол- ный оборот. За время, равное периоду, тело поворачивается на угол 2π. Отсюда следует, что
T
π
=
ω
2
(4.3)
Частота вращения (ν) – число оборотов за единицу времени.
π
ω
=
=
ν
2 1
T
,
πν
=
ω 2 .
(4.4) c
1
]
[
=
ν
Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуют угло- вым ускорением.
Угловое ускорение (ε

) – векторная физическая величина, характеризую- щая быстроту изменения угловой скорости и равная первой производной угло- вой скорости по времени
dt
d
ω
=
ε


(4.5)
r
O
O
Рисунок 4.1

Физические основы механики
18 2
с рад
]
[
=
ε
Рассмотрим случай, когда ось вращения неподвижна.
1.
Если dω > 0, то движение ускоренное. При этом вектор углового ускорения
ε

совпадает по направлению с вектором угловой скорости
ω

(рис. 4.2.а).
2.
Если dω < 0, то движение замедленное. При этом вектор углового ускоре- ния
ε

направлен в сторону, противоположную вектору угловой скорости
ω

(рис. 5.2.б).
Векторы, направление которых связывается с направлением вращения (
ϕ

d
,
ω

,
ε

) называются аксиальными векторами или псевдовекторами.
При равнопеременном вращательном движении имеют место соотношения, аналогичные формулам, описывающим равнопеременное прямолинейное дви- жение (см. (3.8) и (3.9)):
t
ε
±
ω
=
ω
0
,
(4.6)
2 2
0
t
t
ε
±
ω
=
ϕ
(4.7)
4.2
Связь между линейными и угловыми характеристиками
Точка, отстоящая от оси вращения на расстоянии R (рис. 4.3), при пово- роте тела на угол ϕ за время dt проходит путь
S = R
ϕ.
(4.8)
Продифференцируем уравнение (4.8) по времени:
dt
d
R
dt
dS
ϕ
=
(4.9)
Из него следует
ω
= R
v
(4.10)
Продифференцируем уравнение (4.10) по времени
R
S
O
Рисунок 4.3 а) б)
Рисунок 4.2

Физические основы механики
19
dt
d
R
dt
d
ω
=
v
(4.11)
Отсюда следует
ε
=
τ
R
a
(4.12)
Кинематические величины, характеризующие вращательное движение и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величи- нам и формулам поступательного движения.
§5
Динамика материальной точки и поступательного движения
твёрдого тела
Динамика– раздел механики, изучающий движение тел с учетом причин, вызывающих это движение.
5.1
Основные понятия динамики
1.
Масса (m) – скалярная физическая величина, являющаяся мерой инертных и гравитационных свойств тела. Может служить мерой энергосодержания.
[m] = кг.
Основные свойства массы:
− масса в классической механике не зависит от скорости движения;
− масса является величиной аддитивной, т.е. масса системы тел равняется сумме масс тел, входящих в систему;
− масса замкнутой системы остается величиной постоянной, т.е. выполняется за- кон сохранения массы.
Плотность (ρ) – скалярная физическая величина, характеристика материала, численно равная массе единицы объема.
V
m
=
ρ
(5.1)
3
м кг
]
[
=
ρ
2.
Импульс тела ( p

) – векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость.
v


m
p
=
(5.2) с
м кг
]
[
⋅
=
p
Направление импульса тела совпадает с направлением скорости.
3.
Сила(
F

) – векторная физическая величина, являющаяся мерой механиче- ского воздействия на тело других тел или полей. Сила характеризуется модулем

Физические основы механики
20
(численным значением), направлением действия, точкой приложения. Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы.
)
ньютон
(
Н
]
[
=
F
Вид формулы для расчёта силы зависит от природы взаимодействия.
5.2
Виды взаимодействий
1.
Гравитационные взаимодействия. Закон всемирного тяготения.
Две материальные точки массами m
1
и m
2
притягиваются друг к дру-
гу с силой прямо пропорциональной массам этих точек и обратно пропор-
циональной квадрату расстояния между ними (рис. 5.1).
2 2
1
r
m
m
G
F
=
,
(5.3) где
2 2
11
кг м
Н
10 67
,
6
⋅
⋅
=
−
G
– гравитационная постоянная.
Если одно из взаимодействующих тел – Земля, а тело массой m находится на высоте h от поверхности
Земли, то закон всемирного тяготения записывается в виде
(
)
2
h
R
m
M
G
F
+
=
, где М – масса Земли;
R – средний радиус Земли.
На поверхности Земли (или вблизи поверхности) h ≈ 0. В этом случае
2
R
m
M
G
F
=
Можно ввести обозначение
g
R
M
G
=
2
, где g – ускорение свободного падения.
Величину
mg
F
=
тяж
(5.4) называют силой тяжести.
2.
Электромагнитные взаимодействия.
Частными случаями проявления электромагнитных взаимодействий яв- ляются силы упругости и силы трения. Для этих сил можно получить лишь приближенные, т.е. основанные на опыте формулы. а) Закон Гука.
m
1
m
2
F
1
F
2
F
1-2
F
2-1
F
r
Рисунок 5.1

Физические основы механики
21
Под действием внешних сил возникают деформации (т.е. изменение раз- меров и формы тел). Если после прекращения действия сил восстанавливаются прежняя форма и размеры тела, то деформация называется упругой.
Для упругих деформаций справедлив закон Гука:
Сила упругости пропорциональна абсолютному удлинению.
x
k
F
x
−
=
,
(5.5) где F
x
– проекция силы упругости на ось х;
k – жесткость пружины;
x – абсолютное удлинение пружины.
Для однородных стержней также справедлив закон Гука, который приня- то формулировать следующим образом:
Механическое напряжение прямо пропорционально относительному
удлинению
ε
=
σ E
(5.6)
Механическое напряжение:
S
F
⊥
=
σ
,
(5.7) где F
⊥
– упругая сила, действующая перпендикулярно площади поперечного сечения стержня S.
Относительное удлинение:
0
l
l
∆
=
ε
,
(5.8) где ∆l – приращение длины;
l
0
– первоначальная длина;
Е – модуль Юнга,
Па м
Н
]
[
2
=
=
E
Модуль Юнга (модуль упругих деформаций) – это физическая величина, характеризующая упругие свойства материала. Зависит от природы материала.
Посмотрите лекционную демонстрацию.
Закон Гука и нелинейные деформации. http://youtube.com/watch?v=sYjyAujrtmw б) Закон сухого трения.
Сила трения скольжения пропорциональна модулю силы нормальной
реакции опоры и не зависит от площади соприкосновения тел (рис. 5.2)
N
F


µ
=
тр
,
(5.9) где µ – коэффициент трения скольжения. Он зависит от природы материалов и качества обработки соприкасаю-
N
F
F
Рисунок 5.2

Физические основы механики
22 щихся поверхностей. Значения коэффициентов трения определяют эксперимен- тальным путём.
Посмотрите лекционную демонстрацию.
Соскальзывание бруска с наклонной плоскости. http://youtube.com/watch?v=04gAToQ4r0U
в) Закон вязкого трения.
На тело, движущееся в вязкой (жидкой или газообразной) среде, действу- ет сила, тормозящая его движение. Эта сила называется си- лой вязкого трения
v
r
F
−
=
,
(5.10) где v – скорость движения тела;
r – коэффициент сопротивления.
Коэффициент r зависит от формы и размеров тела, ха- рактера его поверхности, а также от свойств среды. Знак «–» указывает на то, что сила трения направлена противополож- но скорости. г). Закон Архимеда.
На тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкиваю-
щая сила, равная весу вытесненной телом жидкости или газа (рис. 5.3)
gV
F
ж
A
ρ
=
,
(5.11) где ρ
ж
– плотность жидкости;
V – объем погруженной части тела.
5.3
Основные законы динамики материальной точки (законы Ньютона)
Динамика базируется на законах Ньютона, которые математически не вы- водятся, а являются обобщением опыта.
5.3
.1 Первый закон Ньютона
Первый закон Ньютона устанавливает факт существования инерциальных систем отсчёта и описывает характер движения свободной материальной точки в инерциальной системе отсчёта.
Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямоли-
нейного движения до тех пор, пока воздействия со стороны других тел не
изменят этого состояния.
Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолиней- ного движения называется инерцией. Система отсчёта, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной. Поэтому, первый закон
Ньютона можно сформулировать и таким образом.
F
mg
A
Рисунок 5.3

Физические основы механики
23
Существуют такие системы отсчёта, относительно которых тело
находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно,
если на это тело не действуют другие тела или действие этих тел ском-
пенсировано.
Любая другая система отсчёта, движущаяся относительно инерциальной с постоянной скоростью также является инерциальной.
5.3
.2 Второй закон Ньютона
Скорость изменения импульса тела равна результирующей всех сил,
действующих на тело:
dt
p
d
F


=
(5.12)
Импульс тела равен
v


m
p
=
Формулу (6.13) можно преобразовать следу- ющим образом:
dt
d
m
dt
dm
dt
m
d
F
v
v
v




+
=
=
)
(
(5.13)
1. Уравнение (5.13) можно применять как в тех случаях, когда масса ме- няется с течением времени (например, при полете ракеты), так и при изменении массы с изменением скорости.
2. Если масса тела остается постоянной const
=
m
, т.е.
0
=
dt
dm
, то уравне- ние (5.13) примет следующий вид:
a
m
dt
d
m
F



=
=
v
,
a
m
F


=
(5.14)
Результирующая всех сил, действующих на тело, равна произведению
массы тела на его ускорение.
3. Если const
=
F

, то, умножив обе части уравнения (5.12) на dt,получим:
p
d
dt
F


=
Проинтегрировав полученное уравнение, получим:
p
t
F


∆
=
∆
(5.15)
Величина, равная произведению силы на время действия этой силы
t
F
∆

, называется импульсом силы. Таким образом:
Импульс силы равен изменению импульса тела.
Из второго закона Ньютона следует, что изменения скоростей материаль- ных точек или тел происходят не мгновенно, а в течение конечных промежут- ков времени.

Физические основы механики
24
Посмотрите лекционные демонстрации.
1.
Опыт с инерцией гири. http://youtube.com/watch?v=f7Aahv7_3Is
2.
Выдергивание скатерти из-под сосуда с водой. http://youtube.com/watch?v=xVSWuvZ8aQA
5.3
.3 Третий закон Ньютона
Силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по величине и
противоположны по направлению.
21 12
F
F


−
=
(5.16)
Таким образом, силы всегда возникают попарно. Силы, фигурирующие в третьем законе Ньютона, приложены к разным телам, поэтому они не уравно- вешивают друг друга.
Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчёта.
Посмотрите лекционные демонстрации.
1.
Взаимодействие тележек. Два мотора. http://youtube.com/watch?v=bAp0pWg_iDI
2.
Взаимодействие тележек. Один мотор. http://youtube.com/watch?v=exPXEi1wAcM
3.
Взаимодействие тележек. Разные массы. http://youtube.com/watch?v=14LizsP4CGo
5.4
Закон сохранения импульса
Совокупность материальных точек (тел), выделенных для рассмотрения, называется механической системой. Силы, которые действуют на тела систе- мы, делят на внешние и внутренние. Внутренние силы обусловлены взаимо- действием тел, входящих в систему. Внешние силы обусловлены взаимодей- ствием с телами, не входящими в систему.
Система называется замкнутой, если на неё не действуют внешние силы.
Второй закон Ньютона, записанный для одного тела, можно применить и к системе тел. Если система является замкнутой (внешних сил нет), то из второ- го закона Ньютона следует, что
0
=
dt
p
d

(5.17)
Если производная некоторой величины равна нулю, то эта величина по- стоянна. Поэтому из последнего уравнения следует, что const
=
p

Импульс замкнутой системы материальных точек (тел) остается
постоянным.
Закон сохранения импульса можно записать в развернутом виде: const
3 2
1
=
+
⋅
⋅
⋅
+
+
+
n
p
p
p
p




,
(5.18)

Физические основы механики
25 или const
3 3
2 2
1 1
=
⋅
⋅
⋅
+
+
+
n
v
v
v
v




n
m
m
m
m
(5.19)
Закон сохранения импульса выполняется и для незамкнутых систем в следующих частных случаях.
1.
На систему действуют внешние силы, но их векторная сумма равна ну- лю.
2.
Векторная сумма внешних сил не равна нулю, но равна нулю сумма проекций этих сил на какое-либо направление, например, на направление оси x.
Полный импульс системы при этом не сохраняется, но сохраняется проекция импульса на направление оси x.
2.
Время действия сил очень мало. При этом изменение импульса
p
d

бу- дет стремиться к нулю:
0
→
p
d

. В этом случае const
=
p

− импульс системы со- храняется. Примером является взаимодействие тел при ударе, взрыве.
Посмотрите лекционные демонстрации.
1.
Выстрел назад с движущейся тележки. http://youtube.com/watch?v=HzHAj62yn5o
2.
Выстрел вперёд с движущейся тележки. http://youtube.com/watch?v=-Hd8UEIFD0M