Курс лекций по физике. Лумпиева_Ч_1_Физика_Конспект-2016. Конспект лекций по физике. Часть 1 Т. П. Лумпиева, А. Ф. Волков До нецк Доннту, 2016. 123 с. Конспект лекций по физике написан в соответствии с программой курса
 Скачать 1.44 Mb.
|
|
§19 Идеальный газ в однородном поле тяготения Молекулы любого газа всегда находятся в поле тяготения Земли. На рас- пределение молекул атмосферного воздуха влияют два фактора: тепловое дви- жение молекул и земное тяготение. Если бы не было теплового движения, то все молекулы упали бы на Землю; если бы не было тяготения, то молекулы рассея- лись бы по всей Вселенной. Совместные действия теплового движения и земного тяготения приводят к такому состоянию атмосферы, при котором концентрация молекул и давление газа убывают с возрастанием высоты над Землей. 19.1 Барометрическая формула Закон изменения давления p идеального газа с высотой h в однородном поле тяготения описывается барометрической формулой Лапласа RT Mgh e p p − = 0 , (19.1) где 0 p – атмосферное давление на высоте h=0, т.е. высоте, принятой за нача- ло отсчета; М – молярная масса газа. Данная формула получена в предположении, что газ находится в состоя- нии термодинамического равновесия, т.е. его температура Т = const. Таким образом, давление идеального газа, находящегося в однородном поле тяготения в состоянии статистического равновесия, убывает с высотой по экспоненциальному закону. Из (19.1) следует, что давление убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ (чем боль- ше молярная масса М) и чем ниже температура. На рис. 19.1 представлены две кривые, описанные уравнением (19.1). Их можно рассматривать, как соответствующие разным М (при одинаковой температуре Т), или как соответствующие разным Т (при одинаковой молярной массе М). Формулу (19.1) можно преобразовать. Для этого сделаем следующие замены: A N m M 0 = , A N k R = , где m 0 – масса молекулы; N A – число Авогадро; k – постоянная Больцмана. Преобразуем показатель экспоненты T k h g m T N k h g N m RT Mgh 0 0 = = A A h 0 p p 0 M 1 ( ) T 1 M 2 2 M 1 M 2 < (T 1 2 > Рисунок 19.1 Молекулярная физика и термодинамика 52 Барометрическая формула после этого примет вид: T k h g m e p p 0 0 − = , (19.2) где h g m 0 – потенциальная энергия молекулы на высоте h. 19.2 Распределение Больцмана Согласно барометрической формуле (19.2) T k h g m e p p 0 0 − = Произведем замену в соответствии с формулой (14.2): T k n p = , T k n p 0 0 = , где 0 n – концентрация молекул при h = 0; n – концентрация молекул на высоте h. Получим: T k h g m e n n 0 0 − = (19.3) Из анализа формулы (19.3) можно сделать следующие выводы. 1. С понижением температуры концентрация молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При Т=0 концентрация молекул в пространстве равна нулю, т.е. n=0. Это значит, что при абсолютном нуле все молекулы под действием сил притяжения расположились бы на поверхности Земли. 2. Чем выше температура, тем равномернее распределяются молекулы. При Т→∞, n=n 0 . Это означает, что при высоких температурах молекулы распреде- лились бы по высоте равномерно. На разной высоте молекулы обладают разным запасом потенциальной энергии gh m 0 п = ε , следовательно, распределение молекул по высоте является вместе с тем распределением их по значениям потенциальной энергии. С учетом этого формулу (19.3) можно записать следующим образом: T k e n n п ε 0 − = , (19.4) где 0 n – концентрация молекул, соответствующая тем точкам про- странства, в которых потенциаль- ная энергия равна нулю: 0 = ε п ; n – концентрация молекул, соответствующая тем точкам про- странства, где потенциальная энер- гия равна п ε n 0 1 2 M M 2 1 M n h Рисунок 19.2 Молекулярная физика и термодинамика 53 Распределение (19.4) называют распределением Больцмана. Из (19.4) следует, что молекулы располагаются с большей концентрацией там, где мень- ше их потенциальная энергия, и, наоборот, с меньшей концентрацией в местах, где их потенциальная энергия больше. Посмотрите лекционную демонстрацию. Модель распределения Больцмана. http://www.youtube.com/watch?v=lgp4RoKcMpg Физические основы термодинамики Термодинамика опирается на основные законы (начала), установленные экспериментально. Первое начало термодинамики является законом сохранения энергии, примененным к тепловым процессам, т.е. оно устанавливает количественные соотношения между превращениями энергии из одних видов в другие. Второе начало определяет условия, при которых эти превращения воз- можны, т.е. определяет возможные направления этого процесса. §20 Состояние термодинамической системы. Термодинамический процесс Термодинамическая система – это совокупность макроскопических тел, которые могут обмениваться энергией между собой и с другими телами. При- мером системы является жидкость и находящийся с ней в соприкосновении пар или газ. Состояние системы характеризуют параметрами состояния (давлением р, объёмом V, температурой T и т.д.). Состояние, в котором все параметры состо- яния имеют определенные значения, не изменяющиеся с течением времени, называется равновесным. Состояние системы называется неравновесным, если оно без всякого воз- действия извне самопроизвольно меняется со временем. В неравновесном со- стоянии всем или некоторым параметрам нельзя приписать определенные зна- чения. Система, находящаяся в неравновесном состоянии и предоставленная самой себе, постепенно переходит в равновесное состояние. Термодинамический процесс – это переход системы из одного состояния в другое. Процесс, состоящий из последовательности равновесных состояний, называют равновесным. Равновесный процесс – это физическая модель. Про- цессы будут равновесными, если они протекают бесконечно медленно и при этом внешние воздействия изменяются непрерывно, без скачков. Равновесный процесс, который допускает возможность возвращения си- стемы в первоначальное состояние через ту же последовательность промежу- точных состояний, что и в прямом процессе, называется обратимым. При этом в окружающих телах не должно оставаться никаких изменений (не изменяется взаимное расположение тел, окружающих систему, их термодинамическое со- стояние и т.д.). Молекулярная физика и термодинамика 54 Процесс называется необратимым, если по его завершении систему нельзя вернуть в исходное состояние так, чтобы в окружающих телах не оста- лось каких-либо изменений. Все реальные процессы необратимы. Необратимы смешение жидкостей, газов; передача тепла от нагретого тела к холодному; диффузия и т. д. §21 Работа, совершаемая системой при изменении объёма Рассмотрим газ, находящийся в цилиндрическом сосуде, закрытом плот- но пригнанным поршнем. Допустим, что газ начал медленно расширяться и пе- реместил поршень на расстояние dh (рис. 21.1). Элементарная работа, соверша- емая газом при перемещении поршня на величину dh равна dh F A = δ , где F – сила, с которой газ давит на поршень. Заменив силу произведением давления р на площадь S поршня, получим: pdV A = δ (21.1) Если газ расширяется, то 0 > dV . Работа будет положитель- ной. Если газ сжимается, то 0 < dV . Работа будет отрица- тельной. Если давление газа при изменении объёма не остается постоянным, то работа, совершаемая при изменении объёма от V 1 до V 2 , вычисляется интегри- рованием: ∫ ∫ = δ = 2 1 2 1 12 dV p A A (21.2) Процесс изменения объёма можно предста- вить на диаграмме (рV). Элементарной работе pdV A = δ соответствует площадь узкой заштрихо- ванной полоски (рис. 21.2). Площадь фигуры, огра- ниченной осью V, кривой ( ) V f p = и ординатами V 1 и V 2 , численно равна работе, совершаемой газом при изменении его объёма от V 1 до V 2 §22 Внутренняя энергия термодинамической системы Внутренняя энергия (U) тела определяется как энергия этого тела за вы- четом кинетической энергии тела как целого и потенциальной энергии этого тела в различных силовых полях. Следовательно, внутренняя энергия склады- вается из: 1) кинетической энергии хаотического движения молекул; 2) потенциальной энергии взаимодействия между молекулами; d h Рисунок 21.1 P V P d V 1 V 2 V Рисунок 21.2 Молекулярная физика и термодинамика 55 3) внутримолекулярной энергии (т.е. энергии электронных оболочек атомов и внутриядерной энергии). Внутренняя энергия является функцией состояния системы. Это означает, что энергия в данном состоянии имеет присущее этому состоянию значение. Приращение внутренней энергии при переходе системы из одного состояния в другое всегда равно разности значений внутренней энергии в конечном и начальном состояниях и не зависит от процесса, которым осуществляется пере- ход. 22.1 Число степеней свободы. Закон равнораспределения энергии по степеням свободы Числом степеней свободы (i) механической системы называется количе- ство независимых величин, с помощью которых может быть задано положение системы в пространстве. Экспериментально установлено, что при определении числа степеней свободы молекул, атомы нужно рассматривать как материальные точки. 1. Одноатомная молекула (He, Ne, Ar и т.д.). i = 3. Положение одноатомной молекулы задается тремя пространственными координатами (x, y, z). Степени свободы одноатомной молекулы называют по- ступательными степенями свободы. 2. Двухатомная молекула с жесткой связью (H 2 , O 2 , N 2 и т.д.). i = 5. Такая молекула кроме трех степеней свободы по- ступательного движения имеет еще две степени свобо- ды вращательного движения вокруг взаимно перпенди- кулярных осей О 1 – О 1 и О 2 – О 2 (рис. 22.1). Вращение во- круг третьей оси О–О рассматривать не надо, так как момент инерции атомов относительно этой оси ничтож- но мал. Следовательно, ничтожно мала и кинетическая энергия молекулы, связанная с этим вращением. Таким образом, для двухатомной молекулы i=3+2=5 (3 – по- ступательные степени свободы; 2 – вращательные сте- пени свободы). 3. Если число атомов в молекуле с жесткой связью три и больше трех (NH 3 , CH 4 ), то число степеней свободы i = 6. i=3+3=6 (3 – поступательные степени свободы; 3 – вращательные степени свободы). Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы со- гласно формуле (16.1) kT 2 3 = > ε < Так как поступательных степеней свободы три, то в соответствии с зако- ном равнораспределения энергии хаотического движения молекул по степеням свободы на одну степень свободы приходится энергия O O O 1 2 O O 1 2 O Рисунок 22.1 Молекулярная физика и термодинамика 56 kT 2 1 = ε (22.1) На каждую степень свободы (поступательную, вращательную) в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия, равная kT 2 1 . Из закона равнораспределения энергии по степеням свободы вытекает, что средняя кинетическая энергия молекулы определяется формулой: kT i 2 = > ε < , (22.2) 22.2 Внутренняя энергия идеального газа Молекулы идеального газа не взаимодействуют друг с другом, поэтому его внутренняя энергия складывается из кинетических энергий отдельных мо- лекул: N U > ε =< , (22.3) где N – число молекул. > ε < – средняя кинетическая энергия одной молекулы. Заменив в (22.3) энергию молекулы по формуле (22.2) и число молекул по фор- муле A N M m N = (N A – число Авогадро), получим: A N M m kT i U 2 = (22.4) Произведение постоянной Больцмана на число Авогадро даст молярную газовую постоянную: R N k = A . Тогда T R M m i U 2 = (22.5) Из (22.5) следует, что внутренняя энергия идеального газа не зависит от давления и объёма, а определяется природой газа и его температурой. На практике важно знать изменение внутренней энергии ( ) 1 2 1 2 2 T T R M m i U U U − = − = ∆ (22.6) §23 Первое начало термодинамики Изменить внутреннюю энергию системы можно за счёт совершения над телом работы A′ и передачи ему тепла Q. Тепло (Q) – количество энергии, переданное от одного тела к другому по- средством теплопередачи. Количество тепла измеряется в джоулях. Из закона сохранения энергии следует, что Молекулярная физика и термодинамика 57 A U Q + ∆ = , (23.1) где ' A A − = – работа, которую совершает система над внешними телами. Этот закон в термодинамике называется первым началом термодинамики. Формули- руется он следующим образом: Количество тепла, сообщённое системе, идёт на приращение внут- ренней энергии системы и на совершение системой работы над внешними телами. Первое начало можно также формулировать следующим образом: Невозможен вечный двигатель первого рода, то есть такой периоди- чески действующий двигатель, который совершал бы работу в большем ко- личестве, чем полученная им извне энергия. Для элементарного процесса первое начало термодинамики записывается в виде: A dU Q δ + = δ , (23.2) где dU – элементарно малое приращение внутренней энергии. §24 Теплоёмкость 1. Теплоёмкость тела – скалярная физическая величина, равная количеству тепла, которое нужно сообщить телу, чтобы нагреть его на один кельвин: dT Q C δ = тела (24.1) К Дж тела = ] [C 2. Удельная теплоёмкость – скалярная физическая величина, равная количе- ству тепла, которое нужно сообщить 1 кг вещества, чтобы нагреть его на один кельвин: dT m Q c δ = (24.2) К кг Дж ⋅ = ] [c 3. Молярная теплоёмкость – скалярная физическая величина, равная количе- ству тепла, которое нужно сообщить одному молю вещества, чтобы нагреть его на один кельвин: dT Q C ν δ = (24.3) К моль Дж ⋅ = ] [C Удельная и молярная теплоёмкости связаны соотношением: Молекулярная физика и термодинамика 58 М С с = , (24.4) где М – молярная масса. Теплоёмкость газов зависит от условий, при которых производилось нагревание тела. Если нагревание производилось при постоянном объёме, то теплоёмкость называется теплоёмкостью при постоянном объёме и обозначает- ся С V . Если нагревание производилось при постоянном давлении, то теплоём- кость называется теплоёмкостью при постоянном давлении и обозначается С Р §25 Тепловые машины 25.1 Круговые процессы (циклы) Круговым процессом (или циклом) называется такой процесс, при кото- ром система после ряда изменений возвращается в исходное состояние. На гра- фике (рис. 25.1) цикл изображается замкнутой кривой. На участке 1 – 2 (расширение от объёма V 1 до объёма V 2 ) работа положительна и равна пло- щади, отмеченной наклоненной вправо штрихов- кой. На участке 2 – 1 (сжатие от V 2 до V 1 ) работа отрицательна и равна площади, отмеченной наклоненной влево штриховкой. Следовательно, работа за цикл численно равна площади, охваты- ваемой кривой. После совершения цикла система возвраща- ется в исходное состояние, поэтому изменение внутренней энергии системы равно нулю. 25.2 Тепловая машина. Кпд тепловой машины Тепловая машина – периодически действующий двигатель, совершаю- щий работу за счет получаемого извне тепла. Принципиальная схема теплового двигателя дана на рис. 25.2. Рабочим теломназывается термодинамическая система, совершающая круговой процесс и обмениваю- щаяся энергией с другими телами. Обычно та- ким рабочим телом является газ. Сначала газ приводят в контакт с нагрева- телем, т.е. телом, температура которого Т 1 выше температуры газа. Газ получит от нагревателя тепло Q 1 и расширится от объёма V 1 до объёма V 2 . Затем газ надо сжать до объёма V 1 , т.е. вер- нуть его в исходное состояние. Для этого его приводят в контакт с холодильником, т.е. те- лом, температура которого Т 2 ниже температу- ры газа. При этом газ отдает холодильнику тепло Q 2 2 1 V V 1 2 p V Рисунок 25.1 рабочее тело нагреватель, Т 1 холодильник, Т 2 Q 1 2 Q A Q Q = 1 2 Рисунок 25.2 Молекулярная физика и термодинамика 59 Совершаемая за цикл работа равна 2 1 Q Q A − = , (25.1) так как изменение внутренней энергии в круговом процессе равно нулю. Коэффициент полезного действия (кпд) тепловой машины равен отноше- нию совершаемой за один цикл работы А к получаемому от нагревателя за цикл количеству тепла Q 1 : 1 Q A = η (25.2) С учетом формулы (25.1) выражение для кпд можно записать в виде: 1 2 1 2 1 1 Q Q Q Q Q − = − = η (25.3) Из определения кпд следует, что он не может быть больше единицы. 25.3 Цикл Карно Цикл Карно – это обратимый цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. Изотермический процесс – это процесс, происходящий при постоян- ной температуре, адиабатный – это процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой. Этот цикл впервые введён в рассмотрение французским инженером Сади Карно. Если рабочим телом является идеальный газ, то цикл Карно имеет вид, изображенный на рис. 25.3. В процессе 1–2 газ находится в тепловом кон- такте и равновесии с нагревателем (теплоотдатчи- ком). Температура нагревателя Т 1 . От нагревателя газ получит тепло Q 1 (Q 1 >0). Температура нагревателя при этом не изменится. В процессе 2–3 газ теплоизо- лируется, и работа по его расширению происходит за счет изменения внутренней энергии. В процессе 3–4 газ приводится в контакт с холодильником (тепло- приемником), температура которого Т 2 не меняется ( Т 2 < Т 1 ). При этом газ сжимается и передает холо- дильнику тепло Q 2 В процессе 4–1 газ снова теплоизолируется и сжима- ется до первоначального состояния 1. Кпд цикла Карно определяется следующим образом: 1 2 1 2 1 1 T T T T T − = − = η (25.4) Теорема Карно: Кпд всех обратимых машин, работающих при одних и тех же температурах нагревателя и холодильника, одинаков и определя- ется только температурами нагревателя и холодильника и не зависит от природы рабочего тела. 3 2 1 4 Q T T Q 2 2 1 1 V p Q=0 Q=0 Рисунок 25.3 Молекулярная физика и термодинамика 60 Для увеличения кпд тепловой машины необходимо увеличивать темпера- туру нагревателя и уменьшать температуру холодильника. Кпд необратимой машины всегда меньше, чем кпд обратимой машины, работающей с тем же нагревателем и холодильником. 1 2 1 1 2 1 T T T Q Q Q − ≤ − (25.5) Знак равенства относится к обратимым машинам, знак неравенства – к необра- тимым. §26 Второе начало термодинамики 26.1 Термодинамические формулировки второго начала термодинамики Второе начало термодинамики определяет возможные направления про- цессов превращения энергии из одного вида в другой. Также как и первое нача- ло, оно имеет несколько формулировок. Невозможен процесс, единственным конечным результатом которо- го была бы передача тепла от менее нагретого тела к более нагретому. Это не означает, что второе начало вообще запрещает переход тепла от тела, менее нагретого, к телу, более нагретому. Такой переход возможен, но он не будет единственным результатом процесса. Это значит, что одновременно произойдут изменения в окружающих телах, так как для осуществления этого перехода над системой должна совершится работа. Невозможен такой процесс, единственным конечным результатом которого явилось бы отнятие от какого-то тела некоторого количества теплоты и превращение этой теплоты полностью в работу. Рассмотрим, например, расширение газа при постоянной температуре. По первому началу термодинамики A U Q + ∆ = . Температура газа не меняется, значит 0 = ∆T . Из соотношения (22.6) следует, что изменение внутренней энер- гии 0 = ∆U . Получается, что все полученное тепло перешло в работу: A Q = Но получение тепла и превращение его в работу не единственный конечный ре- зультат процесса. Кроме того, в результате изотермического процесса происхо- дит изменение объёма газа. Периодически действующий двигатель, который основан на первом нача- ле термодинамики и совершает работу за счет охлаждения одного источника тепла (например, внутренней энергии больших водоемов), называется вечным двигателем второго рода. Следующая формулировка второго начала термоди- намики утверждает невозможность создания такого двигателя. Невозможен вечный двигатель второго рода, то есть периодически действующий двигатель, который получал бы теплоту от одного резервуа- ра и превращал бы её полностью в работу. Молекулярная физика и термодинамика 61 26.2 Приведённое количество тепла. Энтропия Чтобы определить возможные направления процессов, необходимо вве- сти физическую величину, которая количественно охарактеризовала бы эту возможность. Такую термодинамическую функцию ввёл Клаузиус и назвал её энтропия (в переводе с греч. − одностороннее направление). Энтропия (S) – скалярная физическая величина, являющаяся функцией состояния системы, элементарное изменение которой при переходе системы из одного состояния в другое определяется соотношением: T Q dS δ = (26.1) Для обратимого процесса S T Q ∆ = ∆ обр (26.2) Отношение количества тепла, полученного системой от какого-либо тела, к температуре этого тела, называется приведённым количеством тепла. Энтропия величина аддитивная. Это значит, что энтропия системы равна сумме энтропий отдельных её частей. Клаузиусом были сформулированы следующие свойства энтропии изоли- рованной (замкнутой) системы: 1. Энтропия замкнутой системы остается постоянной, если в системе протекает обратимый процесс. 0 = ∆ обр S 2. Энтропия замкнутой системы возрастает, если в системе протекает необра- тимый процесс. 0 > ∆ необр S Данные свойства являются статистической формулировкой второго нача- ла термодинамики. Их можно обобщить: Энтропия изолированной системы при любых происходящих в ней процессах не убывает 0 ≥ ∆S (26.3) Знак «=» относится к обратимому процессу, знак «>» – к необратимому. 26.3 Энтропия и вероятность Л. Больцман дал статистическое толкование понятия «энтропия» и пред- ложил измерять энтропию логарифмом термодинамической вероятности W со- стояния с коэффициентом пропорциональности k – постоянной Больцмана. W k S log = (26.4) Молекулярная физика и термодинамика 62 Энтропия– это скалярная физическая величина, равная произведению постоянной Больцмана на логарифм термодинамической вероятности. Термодинамическая вероятность (W) – число различных способов, ко- торыми реализуется данное состояние. Соотношение (26.4) означает: чем более вероятно состояние, тем больше энтропия этого состояния. Энтропия является мерой неупорядоченности систе- мы. Все процессы в изолированной системе идут так, чтобы перевести систему из менее вероятного состояния в более вероятное, то есть перевести систему из состояния порядка в состояние беспорядка. 26.4 Границы применимости второго начала термодинамики Второе начало термодинамики, будучи статистическим законом, описы- вает закономерности хаотического движения большого числа частиц, состав- ляющих замкнутую систему. Если система состоит из небольшого числа ча- стиц, то будут наблюдаться отклонения от второго начала. Второе начало, установленное для замкнутых систем на Земле, нельзя распространять на всю Вселенную. Такое распространение приводит к непра- вильному, с физической и философской точек зрения, выводу о том, что темпе- ратура всех тел во Вселенной должна выровняться. В действительности, в связи с её бесконечностью, Вселенная является незамкнутой системой, и в некоторых её частях неизбежны флуктуации (отклонения), нарушающие тепловое равно- весие. §27 Термодинамическое описание процессов в идеальных газах Термодинамические процессы, происходящие в системе с постоянной мас- сой при каком-либо одном постоянном параметре, называются изопроцессами. 27.1 Изохорный процесс Изохорный процесс происходит при постоянном объёме, т.е. const = V и const = m (рис. 27.1). Описывается законом Шарля: const = T p (27.1) Для двух состояний уравнение (27.1) запишется в виде 2 2 1 1 T p T p = Сформулируем первое начало термодинамики для изохорного процесса. Согласно (23.1): A U Q + ∆ = Так как const = V , то изменение объёма равно нулю. Работа по расширению га- за также будет равной нулю. В этом случае U Q ∆ = (27.2) P V Рисунок 27.1 Молекулярная физика и термодинамика 63 Количество тепла, сообщенное системе, идет на приращение внут- ренней энергии. Молярная теплоёмкость при const = V R i C V 2 = (27.3) Изменение энтропии. 1 2 1 2 ln ln p p C M m T T C M m S V V = = ∆ (27.4) 27.2 Изобарный процесс Изобарный процесс происходит при постоянном давлении, т.е. const = p и const = m (рис. 27.2). Описывается законом Гей-Люссака: const = T V (27.5) Для двух состояний уравнение (27.5) запишется в виде 2 2 1 1 T V T V = Запишем первое начало термодинамики для изобарного процесса: A U Q + ∆ = (27.6) Количество тепла, сообщенное системе, идет на приращение внутренней энергии и совер- шение системой работы над внешними телами. Найдем работу, которая совершается системой при изобарном процессе. ( ) 1 2 2 1 V V p pdV A − = = ∫ (27.7) Работа численно равна площади заштрихованного прямоугольника (рис. 27.2). Молярная теплоёмкость при const = p : R C C V p + = (27.8) Полученное выражение называют уравнением Майера. Выразим молярную теплоёмкость при постоянном давлении через число степеней свободы. Для этого заменим в (27.8) С V по формуле (27.3) и получим: R i C p 2 ) 2 ( + = (27.9) Изменение энтропии: P V P V 1 V 2 A Рисунок 27.2 Молекулярная физика и термодинамика 64 1 2 1 2 ln ln V V C T T C S p p ν = ν = ∆ (27.10) 27.3 Изотермический процесс Изотермический процесс происходит при постоянной температуре, т.е. const = T и const = m (рис. 27.3). Описывается законом Бойля – Мариотта: const = pV (27.11) Для двух состояний уравнение (27.11) запишется в виде 2 2 1 1 V p V p = Сформулируем первое начало термодинамики для изотермического процесса: Так как const = T , то изменение температуры и, следовательно, внутренней энергии равно нулю. Следовательно, A Q = (27.12) Количество тепла, сообщенное системе, идет на совершение систе- мой работы над внешними телами. Работу, которая совершается системой при изотермическом процессе: 2 1 1 2 ln ln p p RT V V RT A ν = ν = (27.13) Молярная теплоёмкость при const = T ∞ = ν δ = dT Q C T T (27.14) Это означает, что понятие теплоёмкости при изотермическом процессе смысла не имеет. Изменение энтропии 2 1 1 2 ln ln p p R V V R S ν = ν = ∆ (27.15) 27.4 Адиабатный процесс Адиабатным называется процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой. Это означает, что 0 = δQ , т.е. 0 = Q . Адиабатный процесс описывается следующим уравнением: const = γ pV (27.16) Для двух состояний оно записывается в следующем виде: V V 1 V 2 1 2 A T T > T 1 1 2 p p p Рисунок 27.3 Молекулярная физика и термодинамика 65 γ γ = 2 2 1 1 V p V p (27.17) Соотношение (27.17) называется уравнением Пуассона. Буквой γ обозначают величину, называемую показателем адиабаты. Показатель адиабаты равен отношению молярной теплоёмкости при постоян- ном давлении к молярной теплоёмкости при постоянном объёме: γ = V p C C (27.18) Показатель адиабаты можно рассчитывать через число степеней свободы: ( ) i i iR R i C C V p 2 2 2 2 + = + = = γ (27.19) Уравнение адиабаты можно записывать в переменных Т и V. const = − γ 1 TV (27.20) Для двух состояний: 1 2 2 1 1 1 − γ − γ = V T V T Сравнительные диаграммы изотермы и адиабаты приведены на рис. 27.4. Количество тепла, которым обменивается тело с внешней средой, будет тем меньше, чем быстрее протекает процесс. Следовательно, близкими к адиа- батному, могут быть достаточно быстро протекающие процессы. Первое начало для адиабатного процесса будет иметь вид: U A ∆ − = (27.21) При адиабатном процессе работа совершается за счет убыли внут- ренней энергии. Если газ расширяется, то внутренняя энергия уменьшается, при этом газ охлаждается. Если газ сжимается, то внутренняя энергия увеличивается, при этом газ нагревается. Молярная теплоёмкость газа при адиабатном процессе равна нулю: 0 = ν δ = dT Q C ад , так как 0 = δQ Работа, совершаемая газом, при адиабатном процессе: ( ) ( ) 2 1 1 2 T T C T T C A V V − ν = − ν − = (27.22) Сделав замену с использованием уравнения Менделеева – Клапейрона, можно получить еще одну формулу для расчета работы: P V изотерма адиабата Рисунок 27.4 Молекулярная физика и термодинамика 66 ) ( 2 2 1 1 V p V p R C A V − = (27.23) Изменение энтропии: 0 2 1 = δ = ∆ ∫ T Q S , так как 0 = δQ Если 0 = ∆S , то const = S (для обратимого процесса). Так как значение энтропии S для обратимого адиабатного процесса остается постоянным, то его также называют изоэнтропийным. Посмотрите лекционную демонстрацию. Адиабатическое охлаждение: образование тумана. http://www.youtube.com/watch?v=4KEp5RxwYf0 §28 Реальные газы 28.1 . Силы межмолекулярного взаимодействия Реальным называется газ, между молекулами которого действуют силы межмолекулярного взаимодействия. Законы идеальных газов, примененные к реальным газам, выполняются очень приближенно. Отступления от них прояв- ляются в том, что реальные газы могут быть переведены в жидкое и твердое со- стояние, а идеальные – нет. Уравнение состояния RT pV ν = соблюдается для реальных газов приближенно. Во всех телах (твердых, жидких, газообразных) молекулы взаимодействуют друг с другом. Способ- ность твердых тел сопротивляться растяжению гово- рит о том, что между молекулами действуют силы взаимного притяжения. Малая сжимаемость сильно уплотненных газов, а также способность твердых и жидких тел сопротивляться сжатию, указывают на то, что между молекулами также действуют силы взаим- ного отталкивания. Эти силы действуют одновре- менно. Иначе тела не были бы устойчивыми: молеку- лы или разлетались бы в разные стороны, или «слипа- лись» бы. На очень близких расстояниях преобладают силы отталкивания, на более далеких – силы взаимно- го притяжения. Примерный характер зависимости сил от расстояния r между взаимодействующими молеку- лами показан на рис. 28.1. Силы отталкивания F 1 (r ) условлено считать положительными, силы при- тяжения F 2 (r) – отрицательными. F(r) – результирующая этих сил. Из графика видно, что существует некоторое расстояние r=r 0 , при котором силы уравнове- шивают друг друга, т.е. F 1 =F 2. При r<r 0 преобладают силы отталкивания, при r>r 0 – силы притяжения. r r 0 0 F(r) 2 F(r) F(r) 1 F Рисунок 28.1 Молекулярная физика и термодинамика 67 28.2 Уравнение Ван-дер-Ваальса Из большого числа уравнений, предложенных для описания реальных га- зов, самым простым и вместе с тем дающим достаточно хорошие результаты, оказалось уравнение Ван-дер-Ваальса. Это уравнение получено путем внесения поправок в уравнение состояния идеального газа и имеет следующий вид: RT M m b M m V V a M m p = − + 2 2 2 , (28.1) где р – давление, оказываемое на газ извне (равное давлению газа на стенки со- суда); a и b – постоянные Ван-дер-Ваальса, имеющие для разных газов различ- ные значения и определяемые опытным путем. [ ] 2 4 моль м Н ⋅ = a , [ ] моль м 3 = b Поправка 2 2 2 V a M m характеризует добавку к внешнему давлению, обу- словленную взаимодействием между молекулами. Если бы взаимодействие между молекулами прекратилось, то для того, чтобы удержать газ в пределах того же объёма, понадобилось бы увеличить внешнее давление на величину, равную этой поправке. Поправка b M m характеризует ту часть объёма, которая недоступна для движения молекул, так как молекулы обладают собственными размерами. Она равна учетверенному объёму молекул, содержащихся в данном объёме V. На рис. 28.2 представлены изотермы реального газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса, при различных температурах: T T T T ′′ ′ < < ′′ < ′ кр При некоторой температуре кр T все три точки 1 V ′ , 2 V ′ , 3 V ′ , соответствую- щие решению уравнения (28.1), сливаются в одну точку К. Точка К называется критической. Соответствующие критической точке температура кр T , давление кр p , объём кр V назы- ваются критическими параметрами. По известным постоянным Ван-дер-Ваальса a и b можно рассчи- тать значения критических параметров: bR a T 27 8 = кр (28.2) 2 27 1 b a p = кр (28.3) b V 3 = кр (28.4) Изотерма, снятая при кр T называется критической изотермой. V V V V 1 2 3 1 p 2 p p p p K T T T T кр Рисунок 28.2 Молекулярная физика и термодинамика 68 28.3 Экспериментальные изотермы Первые экспериментальные изотермы были получены Т. Эндрюсом. Он исследовал зависимость объёма одного моля углекислого газа от давления. По- лученная кривая изображена на рис. 28.3. Вначале с уменьшением объёма дав- ление газа растет, подчиняясь уравнению Ван-дер-Ваальса. Начиная с объёма г V , изотерма перестает следовать уравнению (28.1): давление перестает расти с уменьшением объёма (горизонтальный участок изотермы). Само вещество при этом перестает быть однородным: часть газа кон- денсируется в жидкость. Иначе говоря, вещество расслоилось на две фазы: жидкую и газообразную. Фазой в термодинамике называют часть системы, обладающей одинаковым химическим составом и находящуюся в одном состоянии. По мере уменьшения давления все большая часть вещества переходит в жидкую фазу. Давление при этом не изменяется и равно н.п. p . При достиже- нии объёма ж V конденсация заканчивается. Даль- нейшее уменьшение объёма приводит к резкому ро- сту давления. Ход изотермы на этом участке соответствует уравнению (28.1). Вещество на этом участке будет однородным, но это уже не газ, а жидкость. Сопоставление экспериментальной изотермы с изотермой Ван-дер- Ваальса показывает, что они хорошо совпадают на участках, которые отвечают однофазным состояниям вещества и не совпадают на участке двухфазного со- стояния. В состояниях, соответствующих горизонтальному участку изотермы, наблюдается равновесие между жидкой и газообразной фазой вещества. Газ (пар), находящийся в равновесии со своей жидкостью, называется насыщен- ным паром. Давление н.п. p , при котором существует равновесие при данной температуре, называется давлением насыщенного пара. г V – это объём, занима- емый газом, ж V – это объём, занимаемый жидкостью. На рис. 28.4 приведены эксперимен- тальные изотермы для нескольких темпера- тур. С повышением температуры горизон- тальные участки уменьшаются. Это означа- ет, что уменьшается разница между объёма- ми г V и ж V . При критической температуре кр T горизонтальный участок стягивается в точку. Это означает, что исчезает всякое раз- личие между жидкостью и паром. При тем- пературе выше критической понятие насы- щенного пара теряет смысл. p V V V p p p p p K T T T T кр н.п н.п н.п кр T кр ж г Рисунок 28.4 p p V V V ж г н.п 1 2 3 4 Рисунок 28.3 Молекулярная физика и термодинамика 69 Если соединить крайние точки горизонтальных участков изотермы, то получится кривая, которая делит диаграмму рV на три части (рис. 28.5). Левая часть (ж) кривой соот- ветствует жидкому состоянию, правая часть (п) – парообразному. Область под кривой (ж-п) соответ- ствует двухфазному состоянию жидкость – пар. Любое состояние в области (п) отличается от остальных газообразных состояний тем, что при изотермическом сжатии вещество, находящееся в этом состоянии, сжижается. Если вещество нахо- дится в одном из состояний при температуре выше критической, то оно не может быть сжижено ника- ким сжатием (область г). Волнообразный участок изотермы Ван-дер-Ваальса (рис. 28.3) более точ- но описывает переход вещества из газообразного состояния в жидкое, чем го- ризонтальные участки экспериментальных изотерм. Состояния, соответствую- щие участкам 2-3 и 1-4 могут реализоваться, но только при определенных усло- виях, так как они являются неустойчивыми (метастабильными). Участок 1-4 со- ответствует состоянию пересыщенного пара, возникающего при медленном изотермическом сжатии в отсутствии центров конденсации. Если такие центры (пылинки, ионы) вводятся в пересыщенный пар, то происходит быстрая кон- денсация. Участок 2-3 соответствует перегретой жидкости, которую можно полу- чить, если задержать начало кипения в точке 2. На участке 3-4 с ростом давле- ния растет объём. Такие состояния вещества невозможны. §29 Явления переноса 29.1 Среднее число столкновений молекул в единицу времени. Средняя длина свободного пробега молекул Минимальное расстояние d, на которое сближаются при столкновении центры молекул, называют эффективным диаметром молекулы (рис. 29.1). Площадь круга радиусом d называется эффективным сечением молекулы: 2 d π = σ При движении молекула сталкивается с дру- гими молекулами газа. За единицу времени рас- сматриваемая молекула испытывает число столкно- вений с другими молекулами, равное n d z > < π >= < v 2 , где n – концентрация молекул, т.е. число молекул в единице объёма. <v> − средняя арифметическая скорость молекулы. V p K ж ж-п п Рисунок 28.5 d Рисунок 29.1 Молекулярная физика и термодинамика 70 Если учесть распределение Максвелла, то появится дополнительный множитель 2 , т.е. n d z > < π >= < v 2 2 (29.1) Расстояние, которое молекула пролетает за время свободного пробега от одного столкновения до следующего, называется длиной свободного пробега. Длина свободного пробега является случайной величиной, поэтому вводится средняя длина свободного пробега > λ < – среднее расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными столкновениями. n d z 2 2 1 π = > < > < >= λ < v (29.2) Состояние газообразной среды, в котором средняя длина свободного про- бега молекул соизмерима с размерами сосуда, называется вакуумом. Низкий вакуум – давление меняется от атмосферного до 10 −3 мм рт. ст. Средний вакуум – давление меняется от10 −3 мм рт. ст. до 10 −6 мм рт. ст. Высокий вакуум – давление меняется от10 −6 мм рт. ст. до 10 −9 мм рт. ст. 29.2 Явления переноса в газах Участвуя в тепловом движении, молекулы переходят из одних точек про- странства в другие. При этом они переносят присущую им энергию, массу и импульс. Это приводит к возникновению процессов, которые называются явле- ниями переноса. К ним относятся: теплопроводность (обусловленная перено- сом энергии в виде тепла), диффузия (обусловленная переносом массы) и внут- реннее трение или вязкость (обусловленная переносом импульса). 29 .2.1 Теплопроводность газов Теплопроводность – это направленный перенос тепла от более нагретых частей тела к менее нагретым, приводящий к выравниванию их температуры. Перенос тепла описывается законом Фурье (1822 г.): dt dS dx dT K Q ⊥ − = δ , (29.3) где Q δ – количество тепла, переносимого за время dt через площадку ⊥ dS , рас- положенную перпендикулярно направлению переноса тепла; dx dT – градиент температуры (величина, показывающая, на сколько отлича- ются температуры двух точек, отстоящих друг от друга на единицу длины); K – коэффициент теплопроводности. Знак «минус» указывает на то, что перенос тепла происходит в направле- нии убывания температуры. Молекулярная физика и термодинамика 71 Коэффициент теплопроводности (К) характеризует способность веще- ства проводить тепло и показывает, какое количество тепла переносится через единичную площадку за единицу времени при градиенте температуры равном единице. В кинетической теории газов показано, что коэффициент теплопроводно- сти газов можно рассчитывать по формуле: V c K ρ > >< λ < = v 3 1 , (29.4) где > λ < – средняя длина свободного пробега молекул, > < v – средняя ариф- метическая скорость,ρ – плотность газа, с V – удельная теплоёмкость при посто- янном объёме. Единица измерения коэффициента теплопроводности в SI Ê ì Âò ] [ ⋅ = Ê Газы являются наихудшими проводниками тепла. Коэффициент тепло- проводности газов зависит от температуры. С повышением температуры он возрастает. Посмотрите лекционные демонстрации. 1. Теплопроводность газов: бутан-воздух. При одинаковом давлении, бутан при наименьшем давлении. http://www.youtube.com/watch?v=frGYUB31mbY 2. Теплопроводность газов: неон-воздух. При одинаковом давлении. http://www.youtube.com/watch?v=3msku99Gw10 3. Теплопроводность газов: воздух-воздух. При разном давлении. http://www.youtube.com/watch?v=RaE1BmvkGA4 29 .2.2 Диффузия в газах Диффузия в газе – процесс перемешивания молекул, сопровождающийся переносом массы из мест с бόльшей концентрацией данных молекул в места с меньшей концентрацией этих молекул. В химически чистом газе при постоянной температуре диффузия возни- кает вследствие неодинаковой плотности в разных частях объёма газа и заклю- чается в переносе массы газа из мест с бόльшей плотностью в места с меньшей плотностью. В химически однородном газе перенос вещества при диффузии подчиня- ется закону Фика (1855 г.) dt dS dx d D dm ⊥ ρ − = , (29.5) где dm – масса вещества, диффундировавшего за время dt через площадку ⊥ dS , расположенную перпендикулярно направлению переноса вещества; Молекулярная физика и термодинамика 72 dx d ρ – градиент плотности (величина, показывающая, на сколько отлича- ются плотности двух точек, отстоящих друг от друга на единицу длины); D – коэффициент диффузии. Знак «минус» указывает на то, что перенос массы осуществляется в сто- рону убывания плотности. Коэффициент диффузии (D) показывает, какая масса вещества перено- сится через единичную площадку за единицу времени при градиенте плотно- сти, равном единице. Единица измерения коэффициента диффузии в SI ñ ì ] [ 2 = D В кинетической теории газов показано, что коэффициент диффузии мож- но рассчитывать по формуле: > >< λ < = v 3 1 D , (29.6) Коэффициент диффузии газов растет с температурой пропорционально T , а с ростом давления коэффициент диффузии уменьшается. Посмотрите лекционную демонстрацию. Диффузия аммиака. http://www.youtube.com/watch?v=BBGo0Qh0i8s 29 .2.3 Внутреннее трение (вязкость) газов Внутреннее трение (вязкость) – взаимодействие между слоями газа, движущимися с различными скоростями, сопровождающееся переносом им- пульса направленного движения из более быстрых слоев в более медленные. Для явления внутреннего трения справедлив закон Ньютона (1687 г.): dt dS dx d dp ⊥ η − = v , (29.7) где dp – импульс, переносимый за время dt через площадку ⊥ dS , расположен- ную перпендикулярно направлению переноса импульса; dx d v – градиент скорости; η – коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость). Знак «минус» указывает на то, что перенос импульса происходит в направ- лении убывания скорости. Молекулярная физика и термодинамика 73 Коэффициент внутреннего трения (η) показывает, какой импульс пе- реносится через единичную площадку за единицу времени при градиенте ско- рости равном единице. Единица измерения коэффициента внутреннего трения (вязкости) в SI ñ Ïà ñ ì êã ] [ ⋅ = ⋅ = η , (читается: “паскаль-секунда”). В кинетической теории газов показано, что коэффициент внутреннего трения можно рассчитывать по формуле: ρ > >< λ < = η v 3 1 (29.8) Коэффициент внутреннего трения газов не зависит от давления, но уве- личивается с ростом температуры пропорционально T Сопоставляя формулы (29.4), (29.6) и (29.8), можно получить связь между коэффициентами переноса: ρ = η D , (29.9) V V c D c K ρ = η = (29.10) Посмотрите лекционную демонстрацию Вязкость газов: опыт с дисками. http://www.youtube.com/watch?v=qG3-xKrr-QQ |