Курс лекций по физике. Лумпиева_Ч_1_Физика_Конспект-2016. Конспект лекций по физике. Часть 1 Т. П. Лумпиева, А. Ф. Волков До нецк Доннту, 2016. 123 с. Конспект лекций по физике написан в соответствии с программой курса

• Название: Конспект лекций по физике. Часть 1 Т. П. Лумпиева, А. Ф. Волков До нецк Доннту, 2016. 123 с. Конспект лекций по физике написан в соответствии с программой курса
• Анкор: Курс лекций по физике
• Дата: 10.06.2020
• Размер: 1.44 Mb.
• Имя файла: Лумпиева_Ч_1_Физика_Конспект-2016.pdf
• Тип: Конспект лекций; #129280
• страница: 3 из 10

§6
Динамика вращательного движения
6.1
Основные характеристики динамики вращательного движения
6
.1.1 Момент инерции
Рассмотрим материальную точку массой
i
m
, которая находится на расстоянии r
i
от неподвижной оси (рис. 6.1). Мо-
ментом инерции (J)материальной точки относительно оси называется скалярная физическая величина, равная произведе- нию массы m
i
на квадрат расстояния r
i
до этой оси:
2
i
i
i
r
m
J
=
(6.1)
2
м кг
]
[
⋅
=
J
Момент инерции системы материальных точек будет равен сумме момен- тов инерции отдельных точек
∑
=
=
N
i
i
i
r
m
J
1 2
(6.2)
Момент инерции тела является мерой инертности тела во вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности при по- ступательном движении. Таким образом:
Момент инерции – это мера инертных свойств твёрдого тела при враща- тельном движении, зависящая от распределения массы относительно оси вра-
r
i
m
i
Рисунок 6.1

Физические основы механики
26 щения. Иными словами, момент инерции зависит от массы, формы, размеров тела и положения оси вращения.
Момент инерции некоторых однородных тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр масс:
Диск –
2 2
1
mR
J
=
. (6.3)
Шар –
2 5
2
mR
J
=
. (6.4)
Стержень –
2 12 1
ml
J
=
. (6.5)
Обруч –
2
mR
J
=
. (6.6)
Момент инерции тела относительно произвольной оси рассчитывается с помощью теоремы Штейнера.
Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме
момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс парал-
лельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между
осями.
2
c
md
J
J
+
=
(6.7)
Пример: Расчёт момента инерции стержня относи- тельно оси, проходящей через конец перпендику- лярно ему (рис. 6.2).
2
c
'
o
'
o
md
J
J
+
=
,
2
l
d
= ,
3 4
12 1
2 2
2
'
o
'
o
ml
l
m
ml
J
=
+
=
(6.8)
Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находиться в покое. Аналогично массе момент инерции является величиной аддитивной.
6
.1.2 Момент импульса
а) Момент импульса материальной точки относительно точки О.
Моментом импульса (
L

) материальной точки относительно точки О называ- ется векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус- вектора r
 , проведённого из точки О в место нахождения материальной точки, на вектор ее импульса p

p
r
L



×
=
,
(6.9)
Модуль момента импульса материальной точки:
α
= sin
rp
L
(6.10)
d=1/2
O
O
O
O
Рисунок 6.2

Физические основы механики
27 с
м кг
]
[
2
⋅
=
L
Направлен вектор
L

перпендикулярно плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы. Если смот- реть из конца вектора L

, то кратчайший поворот от
r

к
p

происходит против часовой стрелки (рис. 6.3).
Если материальная точка движется по окруж- ности радиусом r, то модуль момента импульса относительно центра окружно- сти равен
r
m
L
v
=
,
(6.11) так как угол между векторами
v

и r

равен α=90°. б) Момент импульса тела относительно неподвижной оси вращения z.
Момент импульса (L
z
) тела относительно оси z будет равен сумме про- екций моментов импульсов отдельных точек на эту ось:
∑
=
=
N
i
z
i
z
L
L
1
(6.12)
Любое твёрдое тело можно разбить на систе- му материальных точек. Просуммировав моменты инерции точек, можно получить выражение для расчёта момента инерции твёрдого тела относи- тельно оси z:
ω
=
z
z
J
L
(6.13)
Так как вектор
ω

направлен по оси вращения
(рис. 6.4), то вектор
L

также будет направлен по оси вращения. Тогда формулу
(6.13
) можно переписать в векторном виде
ω
=


J
L
(6.14)
6
.1.3 Момент силы
а) Момент силы относительно неподвижной точки.
Моментом силы (
M

) относительно точки О называется векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора
r

, прове- дённого из точки О в точку приложения силы, на си- лу
F

(рис. 6.5).
F
r
M



×
=
(6.15)
Модуль момента силы определяется соотношением:
Fd
rF
M
=
α
=
sin
(6.16)
L
r
m
i
v
z
Рисунок 6.4
O
M
F
r
d=rsin
Рисунок 6.5
m
r
p
L
O
Рисунок 6.3

Физические основы механики
28 м
Н
]
[
⋅
=
M
Величина
α
= sin
r
d
называется плечом силы. Плечо силы – это длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы (рис. 6.5).
Направлен вектор
M

перпендикулярно к плоскости, в которой лежат пе- ремноженные векторы, причем так, что направление вращения, обусловленного силой, и направление вектора
M

образуют правовинтовую систему. б) Момент силы относительно неподвижной оси z.
Рассмотрим тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z под действием силы
F

. Сила
F

лежит в плоскости, перпен- дикулярной оси вращения (рис. 6.6).
Моментом силы (М) относительно оси называется скалярная физическая величина, равная произведению модуля силы на плечо силы.
Fd
M
z
=
,
(6.17) где
α
= sin
r
d
– плечо силы. в) момент пары сил
Две равные по модулю противоположно направленные силы, не действу- ющие вдоль одной прямой, называются парой сил. Рас- стояние d между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом пары (рис 6.7). Модуль мо- мента пары сил равен произведению модуля силы на плечо пары
Fd
rF
M
=
α
=
sin
(6.18)
Вектор момента
M

пары сил перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы.
6.2
Основное уравнение динамики вращательного движения
Во вращательном движении момент силы аналогичен силе, момент им- пульса – импульсу, момент инерции – массе. Поэтому основное уравнение ди- намики вращательного движения по форме записи тождественно второму зако- ну Ньютона:
M
dt
L
d


=
(6.19)
Скорость изменения момента импульса материальной точки равна
суммарному моменту сил, действующих точку.
O
Z
r
F
A
Рисунок 6.6
d
F
M
F
r
Рисунок 6.7

Физические основы механики
29
Твёрдое тело является системой материальных точек. Для твёрдого тела будет выполняться аналогичное соотношение:
∑
=
=
N
i
M
dt
L
d
1
внешн


(6.20)
Скорость изменения момента импульса тела равна суммарному мо-
менту внешних сил, действующих на тело.
Полученное выражение называется основным уравнением динамики вращательного движения. Спроецируем уравнение (6.20) на ось z. Тогда
z
z
M
dt
dL =
,
ω
=
z
z
J
L
,
Если const
=
z
J
, то можно записать
z
z
M
dt
d
J
=
ω
Учитывая, что производная угловой скорости по времени дает угловое ускорение ε, получим:
z
z
M
J
=
ε
(6.21)
Уравнение (6.21) называется основным законом динамики твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Посмотрите лекционные демонстрации.
1.
Зависимость углового ускорения от момента сил 1. http://youtube.com/watch?v=P5BpHp-b6qg
2.
Зависимость углового ускорения от момента сил 2. http://youtube.com/watch?v=3toovcYtKCw
3.
Зависимость углового ускорения от момента инерции. http://youtube.com/watch?v=msfnzjkoVws
6.3
Закон сохранения момента импульса
Основное уравнение динамики вращательного движения, записанное в виде
dt
L
d
M


=
, может быть применено как к телу, момент инерции которого меняется в про- цессе движения, так и к системе тел, вращающихся вокруг данной неподвиж- ной оси.
Если на твёрдое тело не действуют внешние силы или равнодействующая этих сил не создает вращающего момента относительно оси вращения, то М=0.

Физические основы механики
30
В этом случае изменение момента импульса
)
(
ω
=
J
d
dL
равно нулю. Отсюда вытекает закон сохранения момента импульса твёрдого тела.
Если на тело не действуют внешние силы или действуют так, что
равнодействующая этих сил не создает вращающего момента относи-
тельно оси вращения, то момент импульса тела относительно этой оси
сохраняется.
const
=
ω

J
(6.22)
Уравнению (6.22) можно придать следующую форму:
2 2
1 1
ω
=
ω


J
J
(6.23)
Из (6.23) следует, что угловая скорость тела в этом случае обратно пропорцио- нальна его моменту инерции.
Закон сохранения момента импульса можно записать для системы тел.
Если система тел, вращающихся относительно некоторой оси, замкнута, то внешние силы не действуют. В этом случае М=0. Изменение момента импульса системы тел тоже будет равно нулю. Это означает, что момент импульса систе- мы тел остается постоянным. Мы получили закон сохранения момента импуль- са для системы тел.
Момент импульса замкнутой системы тел остается постоянным.
const
=
L

(6.24)
Соотношение (6.24) означает, что в замкнутой системе сумма моментов им- пульсов всех тел системы в любые два момента времени одинакова:
n
n
n
n
J
J
J
J
J
J
ω′
′
+
⋅
⋅
⋅
+
ω′
′
+
ω′
′
=
ω
+
⋅
⋅
⋅
+
ω
+
ω






2 2
1 1
2 2
1 1
,
(6.25) где J и J’ – моменты инерции тел в произвольные моменты времени t и t’, ω и ω’
– соответствующие им угловые скорости.
Закон сохранения момента импульса можно применять и для незамкну- тых систем, если алгебраическая сумма моментов внешних сил относительно оси вращения равна нулю.
Посмотрите лекционные демонстрации.
1.
Человек с гантелями на скамье Жуковского. http://youtube.com/watch?v=8BB5sWXBKos
2.
Человек на скамье Жуковского с велосипедным колесом. http://youtube.com/watch?v=nR_E-Zmqq4M
§7
Механическая работа. Мощность
7.1
Работа
Пусть в некоторый момент времени на тело действует сила F

, под дей- ствием которой тело совершает перемещение
r
d

(рис. 7.1).

Физические основы механики
31
Элементарной работой (
A
δ
) называется скаляр- ная физическая величина, равная скалярному произведе- нию силы
F

на элементарное перемещение
r
d

точки приложения силы
r
d
F
A


=
δ
(7.1)
В скалярном виде:
α
=
δ
cos
Fdr
A
,
(7.2) где α – угол между направлениями силы и перемещения.
Дж м
Н
]
[
=
⋅
=
A
(джоуль).
Работа на конечном перемещении равна
∫
=
2 1
r
r
r
d
F
A


(7.3)
Если движение прямолинейное, а сила не меняется ни по модулю, ни по направлению (
const
=
F

), то работа рассчитывается по формуле:
α
=
cos
FS
A
(7.4)
Проанализируем уравнение (7.2).
1. Работа может быть положительной и отрица- тельной. Если угол α между F

и
r
d

острый
(
2 0
π
<
α
<
), то работа положительна, если угол
α тупой (
π
<
α
<
π 2
), то работа отрицательна.
Например, работа силы трения отрицательна, так как сила трения направлена против перемещения.
2. Сила не совершает работы: а) если тело покоится (
r
d

=0); б) если направле- ние силы F

перпендикулярно направлению перемещения
r
d

(
2
π
=
α
).
Например, центростремительные силы работы не совершают, так как
r
d
F


⊥
7.2
Графическое представление работы
Работу можно вычислить графически.
1. Рассмотрим случай, когда const
=
F

. Проекция силы
F

на заданное направ- ление r

(рис. 7.3) равна:
r
F
F
=
α
cos
График зависимости проекции F
r
от r представляет со- бой прямую линию (рис.7.4). Найдем работу
(
)
∫
⋅
=
−
=
⋅
=
2 1
1 2
r
r
r
r
r
S
F
r
r
F
dr
F
A
Очевидно, что работа постоянной силы равна площади заштрихованного пря- моугольника (рис. 7.4).
dr
F
v
1 2
Рисунок 7.1
S
F
F
Рисунок 7.2
F
F
r
r
Рисунок 7.3

Физические основы механики
32 2. Если const
≠
F

, то график зависимости проекции F
r
от r представляет собой некоторую кривую (рис.7.5). Элементарная работа δА равна площади узкой за- штрихованной полоски
dr
F
A
r
=
δ
Работа на конечном перемещении
∫
=
2 1
r
r
r
dr
F
A
будет изображаться площадью криволинейной трапеции (рис. 7.5).
7.3
Мощность
Мощность (N) – скалярная физическая величина, характеризующая быстроту совершения работы и численно равная работе, совершаемой за еди- ницу времени.
dt
dA
N
=
(7.5)
Вт с
Дж
]
[
=
=
N
Формула (7.5) дает значение мгновенной мощности. Подставив в (7.5)
r
d
F
A


=
δ
, получим
v




F
dt
r
d
F
N
=
=
(7.6)
Мгновенная мощность равна скалярному произведению силы на скорость тела.
Если работа совершается за время t, то средняя мощность
t
A
N
=
>
<
(7.7)
Эффективность работы принято характеризовать коэффициентом полезного действия (кпд).
%
100
затр п
⋅
=
η
А
A
,
(7.8)
F
r
r
r
r
1 2
r
r
1 2
r
F
r
Рисунок 7.4
Рисунок 7.5

Физические основы механики
33 где А
п
– полезная работа;
А
затр
– затраченная работа.
7.4
Работа и мощность при вращательном движении
Рассмотрим вращение твёрдого тела относительно неподвижной оси под действием силы, направленной по касательной к окружно- сти (рис. 7.6). Элементарная работа, совершаемая при по- вороте на угол dϕ
ϕ
=
δ
Md
A
,
(7.9)
Проинтегрировав формулу (8.9), можно найти работу, со- вершаемую при повороте вращающегося тела на угол
1 2
ϕ
−
ϕ
∫
ϕ
ϕ
ϕ
=
2 1
12
Md
A
(7.10)
Если M = const, то
ϕ
= M
A
(7.11)
Разделив работу на время dt, за которое тело повернулось на угол dϕ, по- лучим мощность, развиваемую силой F:
ω
=
ϕ
=
δ
=
M
dt
d
M
dt
A
N
,
ω
= M
N
,
(7.12) где ω – угловая скорость.
§8
Энергия. Закон сохранения энергии
Энергия – это единая мера всех форм движения материи и типов взаимо- действия материальных объектов. Понятие энергии связывает воедино все яв- ления природы. В соответствии с различными формами движения материи рас- сматривают различные виды энергии: механическую, внутреннюю, электро- магнитную, ядерную.
Механическая энергия бывает двух видов: кинетическая и потенциальная.
8.1
Кинетическая энергия
Кинетическая энергия (или энергия движения) – часть механической энергии, которая определяется массой и скоростью материальной точки (тела).
Обозначается кинетическая энергия через W
к и численно равна половине про- изведения массы тела на квадрат скорости:
2 2
к
v
m
W
=
(8.2)
z
R
dS
F
Рисунок 7.6

Физические основы механики
34
Изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих
на тело.
2 2
2 1
2 2
к
v
v
m
m
W
A
−
=
∆
=
(8.3)
Выражение (8.3) называется теоремой об изменении кинетической энергии.
Свойства кинетической энергии:
1.
Кинетическая энергия – величина скалярная.
2.
Кинетическая энергия – величина положительная.
3.
Кинетическая энергия – величина относительная, т.к. скорость зависит от выбора системы отсчёта.
4.
Кинетическая энергия – величина аддитивная. Это означает, что кинетиче- ская энергия системы равна сумме кинетических энергий частиц (тел), вхо- дящих в систему.
Энергия, которой обладает твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвиж- ной оси, проходящей через центр масс тела, называется кинетической энерги-
ей вращательного движения этого тела. Эта энергия складывается из кинети- ческих энергий материальных точек, составляющих тело, и определяется соот- ношением:
2 2
вр к
ω
=
J
W
(8.4) где J – момент инерции тела, ω– угловая скорость вращения.
Для вращательного движения также справедлива теорема об изменении кинетической энергии:
2 2
2 1
2 2
ω
−
ω
=
J
J
A
(8.5)
При плоском движении тело участвует в двух движениях: поступатель- ном и вращательном. В этом случае полная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений и рассчиты- вается по формуле:
2 2
2 2
вр к
пост к
к
ω
+
=
+
=
J
m
W
W
W
v
,
(8.6) где v – скорость поступательного движения центра масс;
ω – угловая скорость относительно оси, проходящей через центр масс.
8.2
Потенциальная энергия
Потенциальная энергия – это та часть механической энергии, которая зависит от взаимного расположения тел или частей тела, а также от природы сил, действующих между телами.

Физические основы механики
35
8
.2.1 Консервативные и неконсервативные силы
Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется лишь конечным и начальным положением тела, называют консервативными, а их поля – потенциальными.
Примеры консервативных сил: гравитационные, упругие, кулоновские.
Силы, работа которых зависит от формы траектории, называют неконсер-
вативнымиили диссипативными, а их поля – непотенциальными.
Примеры неконсервативных сил: силы сухого и вязкого трения, силы со- противления, силы давления газа, силы вихревого электрического поля; силы, развиваемые какими-либо «источниками» сил (машинами, двигателями и т.д.).
8
.2.2 Работа и потенциальная энергия
Тела взаимодействуют между собой с различными силами. Понятие по- тенциальной энергии применимо только к консервативным силам. В курсе ме- ханики рассматривают следующие виды потенциальной энергии.
1.
Потенциальная энергия упруго деформированной пружины (тела).
2 2
п
x
k
W
=
(8.7) где k – жесткость пружины (коэффициент жесткости);
x – абсолютное удлинение пружины (величина деформации).
При упругой деформации совершается работа:






−
−
=
2 2
2 1
2 2
kx
kx
A
(8.8)
2.
Потенциальная энергия материальной точки поле силы тяжести Земли.
Материальная точка (тело) массой m, находящееся на высоте h над по- верхностью Земли, обладает потенциальной энергией:
mgh
W
=
п
(8.9)
При перемещении материальной точки по произвольной траектории из точки 1 в точку 2 (рис. 8.1) совершается работа
(
)
(
)
1 2
2 1
mgh
mgh
h
h
mg
A
−
−
=
−
=
(8.10)
Свойства потенциальной энергии:
1.
Потенциальная энергия может быть только взаимной: она в одинаковой степени характеризует оба взаимодей- ствующих тела. Однако эту энергию часто приписывают одному из тел. Например, говорят о потенциальной энергии поднятого над Землей тела. Так поступают для удобства анализа.
2.
Численное значение потенциальной энергии зависит от
h
h
1
h
2
1
mg
r
2
Рисунок 8.1

Физические основы механики
36 выбора начала ее отсчёта
3.
Потенциальная энергия может иметь как положительное, так и отрицатель- ное значение. Это связано с произвольностью выбора начала отсчёта.
4.
Состояние взаимодействующих тел можно описать потенциальной энергией только в том случае, если между телами действуют консервативные силы.
8.3
Закон сохранения механической энергии
Материальная точка может одновременно обладать и кинетической, и по- тенциальной энергией. Сумма кинетической и потенциальной энергий точки называется ее полной механической энергией W. п
к
W
W
W
+
=
(8.11)
Согласно закону сохранения механической энергии
Полная механическая энергия замкнутой системы материальных точек
(тел), между которыми действуют только консервативные силы, остается
постоянной. const п
к
=
+ W
W
(8.12)
Действие неконсервативных сил (например, сил трения) уменьшает меха- ническую энергию системы. Такой процесс называется диссипацией энергии
(«диссипация» означает «рассеяние»). Силы, приводящие к диссипации энер- гии, называются диссипативными. При диссипации энергии механическая энергия системы преобразуется в другие виды энергии (например, во внутрен- нюю энергию). Преобразование идёт в соответствии со всеобщим законом при- роды – законом сохранения энергии.
Закон сохранения энергии применим ко всем без исключения процессам в природе. Его можно сформулировать следующим образом.
Полная энергия изолированной системы всегда остается постоянной,
энергия лишь переходит из одной формы в другую.
Посмотрите лекционные демонстрации.
1.
Маятник Максвелла. http://youtube.com/watch?v=4ynUF1Jy2sE
2.
Шарик в мертвой петле. http://youtube.com/watch?v=roFrbTwvKxg
§9
Соударение тел
Предельными, идеализированными видами соударений являются абсо- лютно неупругий и абсолютно упругий удары.
Абсолютно неупругим называется удар, при котором потенциальная энергия упругой деформации не возникает; кинетическая энергия тел частично или полностью переходит во внутреннюю. После удара тела движутся с одина- ковой скоростью (т.е. как одно тело) или покоятся. При таком ударе выполня-

Физические основы механики
37 ется только закон сохранения импульса. Механическая энергия не сохраняется
– она частично или полностью переходит во внутреннюю.
Абсолютно упругим называется удар, при котором полная механическая энергия тел сохраняется. Сначала кинетическая энергия частично или полно- стью переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потен- циальная энергия снова переходит в кинетическую и тела разлетаются. При та- ком ударе выполняются закон сохранения механической энергии и закон со- хранения импульса.
Рассмотрим центральный удар двух однородных шаров. Удар называет- ся центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры (рис. 9.1).
Предположим, что шары движутся поступательно
(т.е. не вращаясь), и что они образуют замкнутую си- стему. Обозначим массы шаров через m
1
и m
2
, скорости шаров до удара
1
v

и
2
v

, после удара
1
u

и
2
u

1.
Абсолютно неупругий удар.
По закону сохранения импульса
(
)
u
m
m
m
m



2 1
2 2
1 1
+
=
+
v
v
(9.1) где
u

– общая скорость шаров после удара.
Отсюда
2 1
2 2
1 1
m
m
m
m
u
+
+
=
v
v



(9.2)
2.
Абсолютно упругий удар.
Запишем закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии:
2 2
1 1
2 2
1 1
u
m
u
m
m
m




+
=
+
v
v
(9
.3 а)
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
2 2
2 2
1 1
u
m
u
m
m
m
+
=
+
v
v
(9
.3 б)
Решив полученную систему уравнений, найдем скорости шаров после удара.
(
)
2 1
1 2
1 2
2 1
2
m
m
m
m
m
u
+
−
+
=
v
v



(9.4)
(
)
2 1
2 1
2 1
1 2
2
m
m
m
m
m
u
+
−
+
=
v
v



(9.5)
Чтобы выполнить расчёты, необходимо спроецировать векторы скоростей на ось х (рис. 9.1). Если при расчёте какая-то проекция скорости окажется от-
m
1
m
2
m
2
m
1
a
v
1
v
2
v
1
v
2
б
x
x
Рисунок 9.1

Физические основы механики
38 рицательной, то это означает, что вектор этой скорости направлен в сторону, противоположную направлению оси х.
Посмотрите лекционные демонстрации.
1.
Удар шаров (абсолютно упругий). http://youtube.com/watch?v=_0y_J5KqQA8 2.
Удар шаров (абсолютно неупругий). http://youtube.com/watch?v=RWeF1r-Epbw
§10
Элементы специальной теории относительности
Теория относительности – это физическая теория, рассматривающая пространственно-временные закономерности, справедливые для любых физи- ческих процессов.
Специальная теория относительности изучает свойства пространства и времени в инерциальных системах отсчёта при отсутствии полей тяготения.
Специальную теорию относительности также называют релятивистской теори- ей.
10.1
Принцип относительности Галилея
Сопоставим описания движения частицы в инерциальных системах от- счёта К и К′. Система К′ движется относительно К с постоянной скоростью v в направлении оси х (рис. 10.1). Координаты точки М в системе К и К′ будут свя- заны соотношениями (10.1).
Совокупность этих уравнений называется преобразованиями Галилея. Равен- ство
t
t
=
'
, означает, что время в обеих системах течет одинаково.
Таким образом, преобразования Галилея позволяют, зная координаты в одной инерциальной системе отсчёта, определить координаты в другой инерци- альной системе отсчёта.
Законы Ньютона выполняются только при условии, что движение рассматривается относительно инерциальных систем отсчёта.
'
'
'
'
t
t
z
z
y
y
t
x
x
=
=
=
+
=
v
t
t
z
z
y
y
t
x
x
=
=
=
−
=
'
'
'
'
v
(10.1)
Если законы Ньютона верны при рас- смотрении движения относительно одной системы отсчёта, то они верны и от- носительно любой другой системы отсчёта, движущейся относительно первой равномерно и прямолинейно. Таких систем отсчёта бесчисленное множество.
Это означает следующее:
1.
Законы механики одинаково формулируются во всех инерциальных си- стемах отсчёта.
y
y
x
x
x
x
z
z
vt
0 0
К
К
M
V
Рисунок 10.1

Физические основы механики
39 2.
Все механические явления во всех инерциальных системах отсчёта про- текают одинаково при одинаковых начальных условиях.
Эти утверждения называются принципом относительности Галилея.
Из принципа относительности следует, что никакими механическими опытами, проведёнными внутри инерциальной системы отсчёта, невозможно установить покоится она или движется прямолинейно и равномерно.
Величины, которые имеют одно и то же численное значение во всех си- стемах отсчёта, называются инвариантными(invariants– «неизменяющийся»).
В преобразованиях Галилея инвариантными величинами являются масса, уско- рение, сила, время. Неинвариантные: скорость, импульс, кинетическая энергия.
10.2
Постулаты специальной теории относительности
В основе специальной теории относительности лежат два постулата: принцип относительности Эйнштейна и принцип постоянства скорости света.
Принцип относительности Эйнштейна является распространением механиче- ского принципа Галилея на все без исключения физические явления.
1.
В любых инерциальных системах отсчёта все физические явления (меха- нические, оптические, тепловые и т.д.) протекают одинаково (при одинаковых условиях). Это означает, что уравнения, выражающие законы природы, инвари- антны по отношению к преобразованиям координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой.
2.
Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах от- счёта, не зависит от скорости движения источника и приемника света, является предельным значением скорости передачи сигнала. м/с
10 3
8
⋅
=
c
10.3
Преобразования Лоренца
Преобразования, которые удовлетворяют постулатам Эйнштейна, назы- ваются преобразованиями Лоренца. Если система К′ движется относительно системы К со скоростью v, направленной вдоль оси х (рис.10.1), то эти преобра- зования имеют вид:













−
+
=
=
=
−
+
=
2 2
2 2
2 1
1
c
c
x'
t'
t
z'
z
y'
y
c
t'
x'
x
v
v
v
v













−
−
=
=
=
−
−
=
2 2
2 2
2 1
1
c
c
x
t
t'
z
z'
y
y'
c
t'
x
x'
v
v
v
v
(10.2)
Проанализируем преобразования Лоренца:

Физические основы механики
40 1. Если
c
<<
v
, то
1 1
2 2
≈
−
c
v
Преобразования Лоренца при этом перейдут в преобразования Галилея.
Это означает, что выполняется принцип соответствия. Принцип соответствия состоит в том, что всякая новая теория содержит в себе старую теорию в каче- стве частного случая.
2. Предположим, что
c
>
v
. При этом
0 1
2 2
<






−
c
v
Это означает, что преобразования не имеют смысла. Отсюда следует, что движение со скоростью
c
>
v
невозможно.
3. Из преобразований Лоренца видно, что временные и пространственные ко- ординаты взаимосвязаны.
Используя преобразования Лоренца можно получить релятивистский за- кон сложения скоростей:
v
v
v
v
′
+
+
′
=
2 1
c
V
(10.3)
Если v и v’ много меньше скорости света, то уравнение (10.3) переходит в классический закон сложения скоростей.
v
v +
′
=
V
10.4
Следствия из преобразований Лоренца
1.
Понятие одновременности событий относительно, а не абсолютно, как это считается в классической механике. Это означает, что события, одновременные, но происходящие в разных точках пространства системы К′, будут неодновре- менными в системе К.
2.
Собственное время меньше времени, отсчитанного по часам, движущимся относительно тела:
2 2
0 1
c
v
−
τ
∆
=
τ
∆
,
(10.4) где ∆τ
0
– промежуток времени, измеренный по часам, движущимся вместе с те- лом (собственное время);
∆τ – промежуток времени в системе отсчёта, движущейся со скоростью v.
3.
Сокращение линейных размеров в направлении движения (лоренцево со- кращение)

Физические основы механики
41 2
2 0
1
c
l
l
v
−
=
,
(10.5) где l
0
– длина тела в системе отсчёта, относительно которой оно покоится (соб- ственный размер);
l – длина тела в системе отсчёта, относительно которой оно движется со скоростью v.
10.5
Основные соотношения релятивистской динамики
1
Зависимость массы тела от скорости движения.
2 2
0 1
c
m
m
v
−
=
,
(10.6) где m
0
– масса тела в покоящейся системе отсчёта (масса покоя);
m – масса движущегося тела.
График зависимости массы тела от скорости представлен на рис. 10.2. Ес- ли скорость тела стремится к скорости света (v→c), то его масса устремляется к бесконечности.
2. Релятивистский импульс.
2 2
0 1
c
m
p
v
v
−
=


(10.7)
График зависимости импульса от скорости представ- лен на рис. 10.3.
3. Взаимосвязь массы и энергии.
Величину
2
mc
E
=
(10.8) называют полной (релятивистской) энергией, а величину
2 0
0
c
m
E
=
(10.9) энергией покоя.
Выражение (10.9) представляет собой закон взаимосвязи энергии и массы.
Полная энергия материального объекта равна произведению его реляти-
вистской массы на квадрат скорости света в вакууме.
m
m
0
c
v
0
Рисунок 10.2
p
0
c
Рисунок 10.3

Физические основы механики
42
Изменение массы тела на ∆m сопровождается изменением его энергии на величину
2
mc
E
∆
=
∆
(10.10)
4. Релятивистское выражение для кинетической энергии имеет вид:
2 0
2 2
2 0
2 0
2 0
к
1
c
m
c
m
c
m
mc
E
E
W
−
−
=
−
=
−
=
v
c
,














−
−
=
1 1
1 2
2 2
0
к
c
c
m
W
v
(10.11)
На рис. 10.4 график 1 соответствует релятивистской зависимости, график 2 – классической.
5. Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы:
(
)
0
к к
2 1
E
W
W
c
p
+
=
(10.12)
Релятивистские эффекты для обычных макроскопических тел и обычных скоростей незначительны. В большинстве отраслей техники классическая фи- зика «работает» также хорошо, как и прежде.
c
W
K
1 2
0
Рисунок 10.4

Молекулярная физика и термодинамика
43