Основы теории погрешностей. лекции - основы теории погрешностей. Конспект лекций по курсу метрология и технические измерения
 Скачать 0.74 Mb.
|
|
средним квадратическим от- клонением: σ [ x ] = + √ D[x ] 22 Примечание: связь дисперсии и СКО — это настолько простая вещь, что мно- гие ее забывают. М.о. и дисперсия являются так называемыми моментными оценками случай- ной величины (используется аппарат математических моментов). Моменты бы- вают начальными и центральными. Центральные моменты ищутся после ис- ключения систематической составляющей из закона распределения. Такие законы распределения называют центрированными (их м.о. равно нулю). Начальный момент k-го порядка: ν k = M (x k ) = ∫ −∞ +∞ x k ⋅ρ( x )dx Центральный момент k-го порядка: μ k = ∫ − inf + inf ( x − M [x ]) k ⋅ρ( x )dx С точки зрения аппарата моментов, м.о. — начальный момент 1-го порядка, дисперсия — центральный момент 2-го порядка. Третий центральный момент характеризует асимметрию закона распределе- ния (когда один спад кривой крутой, а другой пологий). Используют не сам мо- мент, а так называемый коэффициент асимметрии S k : S k = μ 3 σ 3 Четвертый центральный момент характеризует протяженность спадов распределения. На практике применяют коэффициент эксцесса ε , указываю- щий тип вершины распределения (острая, круглая, плоская): ε = μ 4 σ 4 Однако, коэффициент эксцесса имеет размерность от 1 до ∞ для различных законов распределения, поэтому бо́льшее применение нашел коэффициент контрэксцесса, изменяющийся от 0 до 1: χ = 1 √ ε В дальнейшем под случайной погрешностью будем понимать именно центри- 23 рованную случайную величину, а систематическую погрешность будем считать м.о. общей погрешности. Основные законы распределения перечислены ниже. 1) Равномерное, оно же равновероятное распределение. ρ( x) = { 0, x < a ; 1 b−a , a ≤ x ≤ b ; 0, x > b . Равномерному распределению подчиняются: неисключенные систематиче - ские погрешности, погрешность квантования в цифровых приборах, погреш- ность округления при расчетах, погрешность отсчета по шкалам аналоговых приборов, погрешность трения в стрелочных приборах с креплением подвиж- ной части на кернах и подпятниках (магнитоэлектрические измерительные ме- ханизмы), погрешность определения момента времени для каждого конца вре- менного интервала в цифровых хронометрах и частотомерах, температурные погрешности окружающей среды для приборах в лабораторных или цеховых условиях (начало смены — 20° С, конец смены — 24° С). 24 Дисперсия равномерного распределения: D[ x] = b − a √ 12 СКО центрированного равномерного закона с шириной ± a : σ [ x ] = a √ 3 Является ограниченным распределением. Вероятность того, что погрешность примет значение, превышающее предельное, равна нулю. 2) Трапецеидальное. Общий случай вероятностной суммы двух независимых равномерно распре- деленных случайных величин. Это распределение является ограниченным. 3) Треугольное, оно же распределение Симпсона. 25 Вероятностная сумма двух независимых и равномерно распределенных СВ с одинаковой шириной, частный случай трапецеидального распределения. Подробнее про вероятностное суммирование и интеграл свёртки: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Convolution_of_box_signal_with_itself2.gif Этому распределению подчиняются: колебания напряжения питания пере- менным током от сети; определение интервала времени в цифровых частотоме- рах и хронометрах; зазор/натяг в механике, если допуски деталей (отверстия и вала) одинаковые. Это распределение является ограниченным. 4) Арксинусоидальное. Пусть имеется неслучайная гармоническая величина X (t ) = X m sin ω t , отсче- ты которой производятся в случайные равномерно распределенные моменты времени. Тогда эти отсчеты будут подчиняться арксинусоидальному распреде- лению с плотностью 26 ρ( x) = 1 π √ X m 2 − x 2 Самым ярким примером арксинусоидально распределенной погрешности яв- ляется погрешность от наводки промышленной сети 50 Гц на любые электриче- ские измерения. Это распределение является ограниченным. 5) Экспоненциальное. Семейство экспоненциальных распределений очень широко, описывается единой аналитической моделью, зависящей только от од- ного параметра α : ρ( x) = α 2⋅λ⋅σ [ x]⋅Γ(1/α) ⋅ exp ( − | x−M [x ] λ⋅σ [ x ] | α ) , где λ= √ Γ( 1 /α ) Γ( 3 /α) , σ [ x ] - СКО, M [x ] — математическое ожидание; Γ( х) — гамма-функция, обобщающая понятие факториала на область дей- ствительных и мнимых значений аргумента. При разных значениях параметра α мы получаем равномерное, трапеце- идальное, нормальное распределение, распределение Лапласа. В рамках модели экспоненциального распределения не могут быть описаны двухмодальные рас- пределения, а так же уплощенные распределения типа «шапо». 27 Рисунок — экспоненциальное распределение ρ( x) = λ⋅exp(−λ∗x ) Рисунок — двуэкспоненциальное распределение при α= 0.75 6) Нормальное распределение, оно же распределение Гаусса. 28 ρ( x) = 1 σ √ 2 π ⋅ exp (− ( x − M [ x]) 2 2 σ 2 ) На графике приведена плотность распределения нормированного нормально- го распределения (подробнее про нормирование распределения см. ниже). Нормальное распределение считается очень распространенным на практике. Причина этого сформулирована в центральной предельной теореме теории вероятностей: если СВ есть вероятностная сумма большого количества незави- симых СВ (какого угодно закона распределения), и влияние каждой из этих ве- личин на результат пренебрежимо мало, то распределение этой суммы стремит- ся к нормальному. Более того, сумма двух нормальных СВ тоже дает нормаль- ную СВ. В ГОСТ Р 8.736-2011 прописан порядок обработки результатов прямых многократных измерений, и этот порядок утвержден именно для нормального распределения. Если на практике полученное распределение противоречит нор- мальному, то стандарт отсылает читателя к изучению соответствующей методи- ки выполнения измерений (МВИ). То есть изначально предполагается, что распределение любой случайной по- 29 грешности является нормальным, в рамках нашего курса этого вполне достаточ- но. Таким образом, случайные погрешности в нашем курсе имеют нормальное рас пределение , а систематические — равномерное. Подробнее нормальное распределение рассмотрено ниже. 7) Распределение Стьюдента. Это разновидность нормального распределе- ния. Дело в том, что при небольшом числе измерений (менее 50-ти), закон рас- пределения нормальной СВ начинает зависеть от числа измерений. Говорят, что нормальное распределение вырождается в распределение Стьюдента при малом числе измерений. На практике в нашем курсе мы будем иметь дело именно с распределением Стьюдента. 8) Распределение Коши. ρ( x) = a π ( a 2 + x 2 ) Этому закону, например, подчиняется распределение отношения двух нор- мально распределенных центрированных независимых СВ. Если измерение ак- 30 тивного сопротивления производится по закону Ома R = U /I с использованием источника шумового напряжения, имеющего нормальное распределение, то при разновременном отсчете U и I их отношение будет иметь распределение Коши с рядом вытекающих отсюда последствий. Распределение Коши — это предельный случай распределения Стьюдента. Внешне кривая плотности этого распределения очень похожа на кривую нор- мального распределения, но это совсем не так. В частности, распределение Коши принципиально не имеет дисперсии и м.о. — определяющие эти характе- ристики интегралы расходятся. То есть чем больше отсчетов будет произведено, тем больше будет оценка дисперсии результата. Естественно, использовать та- кую оценку нельзя. Однако на графическом представлении плотности распределения центр впол- не себе различим. Это говорит о том, что при работе с распределением Коши нельзя использовать аппарат математических моментов. Оценку центра распре- деления следует определять как медиану (квантиль уровня 0,5), а оценить раз- брос экспериментальных данных можно только на основе теории информации и энтропийного интервала неопределенности. В наш курс рассмотрение положе- ний теории информации не входит. 9) Двухмодальные распределения. Мо́да — это то значение СВ, которое имеет наибольшую вероятность появле- ния. Распределения типа трапецеидального, равномерного являются безмодаль- 31 ными. Экспоненциальные распределения, распределения Коши и Лапласа — одномодальные. Существует ряд двухмодальных распределений, причем они бывают как островершинные (а), так и кругловершинные (б). Подобное распре- деление имеют погрешности от механического гистерезиса упругих элементов приборов и датчиков, а так же температурные погрешности приборов, работаю- щих весь год на открытом воздухе — значения температур атмосферного возду- ха изучались на протяжении сотен лет и являются достаточно устойчивыми как для разных лет, так и для различных географических пунктов. Температурные распределения, как правило, являются несколько асимметричными двухмодаль- ными. 3.3 Параметры законов распределения случайных величин и их оценки. Для того, чтобы точно определить параметры законов распределения (дис- персию и м.о., например), требуется, как это видно из определяющих их инте- гралов, бесконечное число измерений. В реальности число измерений всегда ко- нечно, поэтому мы вынуждены оперировать оценками этих параметров, полу- ченными по какому-то конечному числу измерений. В результате эти оценки имеют вероятностную природу, и эта природа тем сильнее, чем меньше изме- рений было проведено. Случайная величина (СВ) Стохастическая Закон распределения СВ Детерминированный Параметр закона распределения СВ Детерминированный Оценка параметра закона распределения СВ Стохастическая Если оценка сама по себе является случайной величиной, то у нее имеются свои м.о. и дисперсия. Оценка называется несмещенной, если математическое ожидание оценки равно оцениваемому параметру. Чем меньше дисперсия кон- кретной оценки среди других оценок, тем больше ее эффективность. На прак- тике обычно требуют использования только состоятельных оценок. Оценка на- зывается состоятельной, если при n→∞ она стремится по вероятности к оцени- 32 ваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при n→∞ стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной. В рамках теории вероятностей доказано, что эффективность оценок центра распределения различается для различных законов распределения. Ниже приве- ден список оценок центра с указанием их эффективности, а так же оценки раз- броса СВ. 1) Среднее арифметическое ¯ X = 1 n ∑ i=1 n X i является самой эффективной оцен- кой центра для нормального распределения. Именно поэтому среднее арифме- тическое принимают за действительное значение измеряемой величины в слу- чае многократных равноточных измерений согласно ГОСТ Р 8.736-2011. 2) Медиана X 0,5 (квантиль уровня 0,5) является самой эффективной оценкой центра островершинных распределений; 3) Центр размаха X разм = X min + X max 2 является самой эффективной оценкой центра ограниченного распределения (равномерного, трапецеидального, тре- угольного, арксинусоидального, дискретного двузначного и т. д.); 4) Оценкой разброса СВ относительного своего центра является средняя квадратическая погрешность (СКП) S = √ ∑ i=1 n ( X i − ¯ X ) 2 n−1 . Таким образом, СКП характеризует разброс каждого измерения из серии относительно математиче- ского ожидания СВ. 5) Так как среднее арифметическое является вероятностной оценкой м.о., то нам нужно знать разброс этой оценки относительно математического ожидания. Характеристикой этого разброса является среднеквадратическая погреш- ность среднего арифметического S ¯ X = S √ n = √ ∑ i=1 n ( X i − ¯ X ) 2 n (n−1) 33 СКП среднего арифметического наглядно показывает достоинство многократ- ных равноточных измерений — точность усредненного результата растет в √ n раз с каждым проведенным измерением. Однако, этот подход имеет свои огра- ничения — в частности, суммируемые случайные погрешности должны быть независимы. Важно понимать разницу между параметром закона распределения, для опре- деления которого требуется бесконечное число измерений, и оценкой парамет- ра: Идеальный параметр Реальная оценка Математическое ожидание M [x ] Среднее арифметическое ¯ X , медиана ¯ X 0,5 , центр размаха ¯ X разм Среднее квадратическое отклонение σ Среднеквадратическая погрешность S Оценки случайных погрешностей делят на следующие виды: 1) Точечная оценка это оценка, параметра закона распределения СВ, то есть оценка, выраженная одним числом. К точечным оценкам относят среднее ариф- метическое ¯ X , среднюю квадратическую погрешность S (СКП), среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического S ¯ X , медиану X 0.5 , центр размаха X разм и т.д. Такие оценки используют, когда нужно отдельно ука- зать систематическую и случайную погрешность (для эталонов и высокоточных средств измерения), либо когда будет проводиться дальнейшая обработка ре- зультатов. Их основная особенность — вероятностная природа; чем меньше проведено измерений, тем сильнее она проявляется. 2) Предельной оценкой называют наибольшее возможное значение случай- ной погрешности. Такая оценка правомерна только для ограниченных распреде- лений. Для неограниченных распределений такая оценка используется редко: для нормального закона в соответствии с «правилом трех сигм» в качестве пре- дельной оценки иногда используют тройное значение СКП (см. соответствую- щий раздел теории вероятностей). Главным недостаток предельных оценок — 34 бес смысленность их арифметического суммирования , итоговая погрешность в результате будет превышать действительную в несколько раз. 3) Доверительная (она же интервальная или квантильная) оценка — это за- дание значения погрешности с заданной доверительной вероятностью P ДОВ как границы доверительного интервала , на протяжении которого встречается P ДОВ всех значений погрешности, а 1 − P ДОВ значений находятся за границами интервала. Эти оценки находят широкое применение. Они основываются на по- нятии квантиля закона распределения (опять-таки, см. соответствующий раздел теории вероятностей). Между квантилями X 0,025 и X 0,975 находится 95% всех воз- можных значений СВ, то есть d 0,95 = X 0,975 − X 0,025 , где d 0,95 — интерквантильный (доверительный) интервал. На протяжении дове- рительного интервала ±Δ X ДОВ = ± d ДОВ / 2 встречается P ДОВ всех значений по- грешности. Таким образом, эта оценка представляет собой некий интервал с указанием вероятности того, что истинное значение находится внутри этого интервала. Эта вероятность тоже носит название доверительной. Наиболее часто применя- ются уровни доверительной вероятности 0,9; 0,95 (рекомендация действующего ГОСТ); 0,99; 0,9973 (правило трех сигм); 0,999. Обозначается это как X изм = X ± Δ X дов , P = P дов . В случае несимметричных доверительных интервалов P(X н ≤ X ≤ X в ) = P дов . То есть для задания до верительной оценки требуется указать доверительную гра ницу погрешности и доверительную вероятность попадания истинного значения в интервал. 4) Энтропийные оценки основываются на положениях теории информации и в нашем курсе не рассматриваются. 35 Связь точечной оценки разброса и доверительного интервала выражается следующей формулой: Δ X (P ДОВ ) = t ⋅S ¯ X , где t — коэффициент, который в общем случае зависит от вида закона рас- пределения СВ, от выбранного уровня доверительной вероятности P дов и от числа измерений n , причем зависимость от закона распределения СВ является очень сильной: при разных законах распределения погрешностей может полу- читься так, что погрешность с меньшей СКП можен принимать бо́льшие значе- ния. В случае небольшого (менее 50) числа измерений нормально распределен- ной СВ этим коэффициентом является квантиль распреде ления Стьюдента t P, n (коэффициент Стьюдента). |