4.13 Пример суммирования систематических и случайных погрешностей.
По результатам прямых многократных равноточных измерений напряжения было установлено, что среднее измеренное значение напряжения составляет
¯
U = 10,191 B
, СКП
S = 0,6966 B
. Измерений было проведено 18, закон распре- деления случайной погрешности не противоречит нормальному, промахи в из- мерениях отсутствуют. Измерения проводились цифровым измерителем напря- жения класса точности 0,2/0,02 на пределе измерения 20 В. Требуется опреде- лить доверительную границу общей погрешности для доверительной вероятно- сти 0,99.
Для начала по классу точности средства измерения определим его основную погрешность:
δ
U = γ
K
+ γ
H
(
¯
U
U
K
−
1
)
=
0,2% + 0,02%
(
20 B
10,191 B
−
1
)
=
0,21925 %
;
Δ
U = δ U⋅¯
U =
0,21925 %
100 %
⋅
10,191 B = 0,0223438 B
Ищем среднюю квадратическую погрешность результата измерения:
S
¯
U
=
S
√
n
=
0,6966 B
√
18
=
0,16419 B
Проверяем, имеется ли возможность проигнорировать одну из составляющих общей погрешности:
57
Θ
S
¯
U
=
0,022343 B
0,16419 B
=
0,13608
Как видно, это соотношение меньше граничного значения 0,8. На основании этого делаем вывод что мы имеем право пренебречь систематической состав- ляющей погрешности, и общая доверительная граница будет определяться толь- ко доверительной границей случайно составляющей:
Δ
U
случ
(
P
ДОВ
) =
t
P , n
⋅
S
¯
U
=
2,5395⋅0,16419 B = 0,4169 B .
Окончательная запись результата измерения:
U
изм
=
10,2 B±0,4 B , P
ДОВ
=
0,99, n = 18.
В случае, если мы все же не желаем игнорировать вторую составляющую по- грешности, расчет следует вести следующим образом.
Рассчитываем среднюю квадратическую погрешность систематической со- ставляющей:
S
Θ
= Θ
√
3
=
0,022343 B
√
3
=
0,012899 B
Рассчитываем общую среднюю квадратическую погрешность результата из- мерения:
S
ОБЩ
=
√
S
Θ
2
+
S
¯
U
2
=
√
(
0,012899 B)
2
+ (
0,16419 B)
2
=
0,16469 B
Рассчитываем эмпирический коэффициент
K
, учитывающий деформацию закона распределения при суммировании равномерно и нормально распределен- ных СВ:
K =
Δ
X
сист
+ Δ
X
случ
S
Θ
+
S
¯
X ∑
=
0,022343 B + 0,4169 B
0,012899 B + 0,16419 B
=
2,48035
Рассчитываем общую доверительную границу погрешности:
Δ
U
ОБЩ
=
K ⋅S
ОБЩ
=
2,48035⋅0,16469 = 0,40848 B
Разница между полученными значениями общей погрешности составляет
58 0,40848 B − 0,4169 B0,40848 B= − 0,0206 ;−2,06 % Как видно, погрешность определения погрешности достаточно мала. В дан- ном случае вполне допускается использование упрощенных формул для расче- та. 4.14 Алгоритм обработки результатов прямого однократного техническогоизмеренияИтак, мы провели прямое однократное измерение в рабочих условиях и полу- чили результат измерения Xизм, считав его с используемого СИ либо взяв сред- нее арифметическое от двух или трех измерений (это все еще считается одно- кратным измерением). Теперь для определения погрешности результата предла- гается пользоваться следующим алгоритмом. 1) Оценить величину методической погрешности измерения Δ Xмет. Ввести поправку на методическую погрешность (поправочным слагаемым или попра- вочным множителем), если методическая погрешность соизмерима с основной. Если методическая погрешность на порядок меньше основной, то ею разреша- ется пренебречь. 2) По паспорту СИ (по его классу точности) определить размер основной по- грешности прибора Θ осн3) Определить величину дополнительной погрешности Θ доп, вызванной выхо- дом внешних влияющих величин (температура, нелинейные искажения источ- ника сигнала и т. д.) за границы нормальных условий, по формуле (4.6). 4) При необходимости определить величину НСП, вызванной конечной точностью определения методической погрешности. Учитывать эту погреш- ность имеет смысл только тогда, когда она соизмерима с основной погрешно- стью измерения.
59 5) Суммировать все составляющие погрешности: основную, дополнитель- ную, НСП и т. д. согласно правилам суммирования систематических погрешно- стей: найти доверительную границу погрешности (4.1), найти предельную гра- ницу погрешности (4.3), за результат взять наименьшую.
6) Записать результат измерения с указанием доверительной границы погреш- ности и доверительной вероятности нахождения результата в этих границах:
X = X
изм
± Θ
∑
, P = P
ДОВ
4.15 Алгоритм обработки результатов прямого многократного техническо-
го равноточного измерения
Этот алгоритм описывает, как обработать группу результатов многократного измерения. Согласно ГОСТ Р 8.736-2011, группой результатов измерений на- зывается не менее четырех измерений одной и той же физической величины,
выполненных с одинаковой тщательностью, одним и тем же средством и мето- дом измерений и одним и тем же оператором. То есть требуется найти результат измерения
X
изм
и его доверительную границу
Δ
X
ОБЩ
, когда имеется выборка от- счетов измеряемой ФВ
X
1
, X
2
, … , X
n
, n≥4
и инструментальная погрешность
СИ
Θ
осн
, рассчитанная по паспорту прибора или по его классу точности. Дей- ствовать предлагается по следующему алгоритму.
1) Результаты измерений исправляются (вводится поправочное слагаемое или поправочный множитель), если величина методической погрешности соизмери- ма с основной.
2) Вычисляют среднее арифметическое значение полученной выборки:
¯
X =
1
n
∑
i=1
n
X
i
3) Вычисляют среднюю квадратическую погрешность этой выборки:
60
S =
√
∑
i=1
n
(
X
i
− ¯
X )
2
n−1 4) Отсеивают промахи, воспользовавшись критерием Граббса, основанному на предположении, что результаты выборки подчиняются нормальному распре- делению. Для отсеивания промахов проверяют самые далеко удаленные от цен- тра выборки значения, то есть
X
min
и
X
max
. Отклонения этих значений от центра выборки нормируются и сравниваются с допустимыми отклонениями из табли- цы критериев Граббса
β
табл
:
β
min
=
|
X
min
− ¯
X
|
S
,
β
max
=
X
max
− ¯
X
S
Если
β
min
> β
табл
, то значение
X
min
признается промахом и исключается из се- рии измерений. Если
β
max
> β
табл
, то значение
X
max
признается промахом и ис- ключается из серии измерений. В случае, если какие-либо значения были при- знаны промахами, мы вынуждены возвратиться к пункту 2 данного алгоритма,
так как изменилось число измерений и, соответственно, среднее арифметиче- ское и СКП. Процедуру удаления промахов повторять итеративно, пока не бу
-
дет получено подтверждение, что выборка не содержит промахов.
5) За результат измерения принимается среднее арифметическое выборки без промахов,
X
изм
= ¯
X
6) Определяется среднеквадратическая погрешность среднего арифметиче- ского:
S
¯
X
=
S
√
n
=
√
∑
i=1
n
(
X
i
− ¯
X )
2
n (n−1)
7) Проверяют гипотезу о принадлежности результатов измерений нормально- му распределению (см. параграф «Проверка принадлежности результатов изме- рений нормальному распределению» темы «Случайные погрешности»).
8) Определяется доверительная граница случайной погрешности:
61
Δ
X
случ
(
P
ДОВ
) =
t
P ,n
⋅
S
¯
X
,
где
t
P , n
— квантиль распределения Стьюдента.
В случае, когда распределение случайной погрешности не является нормаль- ным, студентам разрешается определять доверительную границу для вероятно- сти 0,9:
Δ
X
случ
(
P
ДОВ
=
0,9) = ±1,6 S
¯
X
= ±
1,6
S
√
n
9) Вычисляется доверительная граница суммарной НСП результата измере- ния с учетом основной и дополнительных погрешностей, а также НСП, остав- шихся после введения поправок:
Θ
∑
(
P
ДОВ
) = ±
K (P
ДОВ
)⋅
√
∑
i=1
n
Θ
i
2 10) Вычисляется доверительная граница общей погрешности результата из- мерения
Δ
X
ОБЩ
по правилам суммирования систематической и случайной по- грешностей.
11) Записывается результат измерения с указанием доверительной границы погрешности, доверительной вероятности попадания истинного значения в ука- занные доверительные границы и количества измерений:
X = X
изм
± Δ
X
ОБЩ
, P = P
ДОВ
, n
4.16 Определение погрешности обыкновенного косвенного измерения
В случае определения погрешности косвенного измерения измерительная за- дача формулируется следующим образом: имеется некая величина
Y
, чье зна- чение нас и интересует. Однако, эта величина не поддается прямому измерению
(например, коэффициент теплового расширения материала ). Вместо этого, нам известна математическая зависимость между величиной
Y
и рядом других ве- личин
X
1,
X
2,
… , X
n
, т. е.
62 Y = f ( X1, X2, …, Xn) И вот аргументы X1, X2, … , Xn уже поддаются прямому измерению (в случае коэффициента теплового расширения это размеры тела и его температура). Важно отметить, что по результатам прямых измерений мы получим оценки ар- гументов X1, X2, … ,Xn, обладающие некоторой погрешностью Δ X1, Δ X2, … , Δ XnВстает вопрос: какова же оценка интересующей нас величины Y, и какова ее погрешность Δ Y? Ответ на первый вопрос достаточно прост: имея на руках оценки аргументов, их следует подставить в известную функциональную зависимость и найти оцен- ку результата косвенного измерения: Y = f ( X1, X2, … ,Xn) Прежде, чем ответить на второй вопрос, давайте отойдем в сторону и п по- смотрим на ситуацию с точки зрения простого обывателя. Предположим, вам необходимо оценить какой-либо сервис (например, парикмахерскую), чтобы в будущем выбирать себе подходящий сервис по принципу «у какого сервиса оценка выше, тот сервис и лучше». Оцениваться будут, к примеру, скорость, ка- чество и цена обслуживания в парикмахерской (можно выбрать любой набор параметров; для примера остановимся на этих трех). Каждый из параметров бу- дет оцениваться по привычной нам пятибалльной шкале, где пять баллов — наивысшая оценка. Общая оценка будет складываться из оценок составляю- щих: Оценка = Скорость + Качество + ЦенаТут обнаруживается некоторое неудобство — итоговая оценка будет варьиро- ваться от 0 до 15 баллов. Если мы изменим количество оцениваемых парамет- ров, то и диапазон возможных значений этой оценки поменяется. Поэтому ито- говую оценку стоит поделить на число слагаемых, чтобы она все так же меня- лась от 0 до 5 баллов: 63 Оценка v 2.0 = 1 3 ⋅( Скорость + Качество + Цена) Такая оценка сервиса уже гораздо удобнее и привычнее. Но может возникнуть ситуация, когда нас будет интересовать парикмахер- ские, обслуживающие достаточно быстро (у нас намечается важная встреча, мы решили привести свою прическу в порядок). Или же в приоритет встают более дешевые парикмахерские по вполне понятным причинам. Так или иначе, один из параметров оцениваемого сервиса должен получить больший приоритет, чем остальные. Как выделить этот параметр из всех остальных? Естественно, до- множить его на какой-то коэффициент. Но как этот коэффициент выбрать, что- бы не потерять удобного свойства оценки v2.0? Как повысить влияние одного из параметров, не меняя свойство всей оценки находиться в пределах от 0 до 5 баллов? Для этого существует удобный аппарат математических весов. Наш случай попадает под категорию так называемых дискретных весовых коэффициентов, и назначаться они, в общем-то, могут как угодно, лишь бы они подчинялись условию нормировки: сумма всех весовых коэффициентов должна равнятьсяедини цеТаким образом, если мы хотим выделить скорость обслуживания, наша оцен- ка, например, может складываться следующим образом: Оценка v 3.0 = 1 2 ⋅ Скорость + 1 4 ⋅ Качество + 1 4 ⋅ ЦенаВеса нормированы: ∑ i=1 npi= 1 2 + 1 4 + 1 4 = 1 Теперь мы можем заново определить оценки всех известных нам парикмахер- ских, зная оценки скорости, качества и цены для каждой из них. И, выбирая са- мую лучшую парикмахерскую, мы всего лишь должны выбрать парикмахер-
64
скую с наибольшей оценкой — то, что эта парикмахерская должны выделяться по скорости обслуживания, уже учтено.
Примечание:
Оценка v 2.0
называется равновзвешенной оценкой, а
Оценка v 3.0
, соответственно, неравновзвешенной.
По сути своей, проделанная работа очень близка по сути к оценке погрешно- сти косвенного измерения. Ведь при проведении косвенного измерения мы из- меряем несколько физических величин и рассчитываем результат по какой-то формуле. Причем совершенно непонятно, как погрешность каждого аргумента влияет на погрешность всей функции, то есть, какой приоритет имеет погреш- ность измерения той или иной физической величины в погрешности всего кос- венного измерения.
Осталось определиться, что же будет являться весовым коэффициентом для аргументов сложной математической функции
f (X
1,
X
2,
…, X
n
)
?
В этом случае мы будем вынуждены назначить не дискретные, а непрерыв
-
ные математические веса. Весом i-го коэффициента в функции (весовым коэф-
фициентом i-го аргумента или его коэффициентом влияния) является первая частная производная функции по этому аргументу:
W
i
=
∂
Y
∂
X
i
Таким образом, погрешность косвенного измерения складывается из погреш
-
ностей аргументов с учетом весовых коэффициентов этих аргументов:
Δ
Y = ±W
1
⋅Δ
X
1
±
W
2
⋅Δ
X
2
±
… ± W
n
⋅Δ
X
n
= ±
∂
Y
∂
X
1
⋅Δ
X
1
±
∂
Y
∂
X
2
⋅Δ
X
2
±
… ±
∂
Y
∂
X
n
⋅Δ
X
n
Дальнейшее суммирование производится по правилам суммирования по- грешностей.
Для систематических погрешностей известного знака эта сумма является, по сути, суммарной поправкой, то есть составляющие погрешности суммируются
65 алгебраически с учетом знака погрешности и с учетом веса погрешности: Δ Yмет= ∂ Y∂ X1 ⋅Δ X1, мет+ ∂ Y∂ X2 ⋅Δ X2, мет+ … + ∂ Y∂ Xn⋅Δ Xn , мет(4.10) Для систематических погрешностей неизвестного знака погрешность ре- зультата находится как геометрическая сумма погрешностей аргументов с уче- том веса погрешностей и с учетом равномерного закона распределения система- тических погрешностей: Δ Yсист ,∑ = Θ ∑ ( PДОВ) = ± K ( PДОВ)⋅ √ ( ∂ Y∂ X1 ⋅Θ 1 ) 2 + ( ∂ Y∂ X2 ⋅Θ 2 ) 2 + … + ( ∂ Y∂ Xn⋅Θ n) 2 (4.11) Для случайных погрешностей погрешность результата находится как геомет- рическая сумма СКП составляющий с учетом корреляций между ними и с уче- том веса составляющих: SY= √ ( ∂ Y∂ X1 ⋅ S1 ) 2 + ( ∂ Y∂ X2 ⋅ S2 ) 2 + … + ( ∂ Y∂ Xn⋅ Sn) 2 + 2 ∑ i ≠ jnrij⋅ ∂ Y∂ Xi⋅ Si⋅ ∂ Y∂ Xj⋅ Sj(4.12) С точки зрения геометрии, здесь мы имеем нелинейную функциюY = f ( X1, X2, … , Xn) , и для точки с координатами X1, X2, … ,Xn мы ищем прираще- ние функции Δ Y, имея приращения аргументов Δ X1, Δ X2, … , Δ Xn. Сложное ре- шение этой задачи состоит в том, чтобы построить график нелинейной функции и по графику определить нужное нам приращение с учетом всех нелинейностей функции. Упрощение этого решения заключается в том, что вместо сложной не- линейной функции мы используем касательную к этой функции в точке измере- ния, то есть линеаризуем нашу функцию: Δ Y = ∂ Y∂ X1 ⋅Δ X1 + ∂ Y∂ X2 ⋅Δ X2 + … + ∂ Y∂ Xn⋅Δ XnТаким образом, мы снова пришли к формуле (4.10). С точки зрения высшей математики это называется «разложением функции в ряд Тэйлора в точке измерения с отбрасыванием нелинейных членов разложе- ния». 66 Пусть имеется нелинейная функция Y = f ( X1, X2, …, Xn) Для простоты ограничимся случаем двух аргументов: Y = f ( X1, X2 ) Имеется точка измерения ( X1 изм, X2 изм) , причем по сути измеренное значение — это действительное значение с учетом погрешности измерения: ( X1 изм, X2 изм) = ( X1 , дст+ Δ X1, X2 , дст+ Δ X2 ) (4.13) Требуется найти приращение Δ Yi. Не забываем, что с точки зрения метроло- гии Yдст= f ( X1 ,дст, X2 , дст) (4.14) Раскладываем функцию Y = f ( X1, X2 ) в окрестности точки ( X1 изм, X2 изм) в ряд Тэйлора с учетом (4.13): Yизм= f ( X1 , дст, X2, дст) + ∂ Y∂ X1 ⋅Δ X1 + ∂ Y∂ X2 ⋅Δ X2 + + 1 2 ![ ∂ 2 Y∂ X1 2 ⋅Δ X1 2 + ∂ 2 Y∂ X1 ⋅∂ X2 ⋅Δ X1 ⋅Δ X2 + ∂ 2 Y∂ X2 2 ⋅Δ X2 2 ] + ... + + 1 n !⋅ [ ∂ Y∂ X1 ⋅Δ X1 + ∂ Y∂ X2 ⋅Δ X1 ] n+ Rn +1 ,где R n+1 — остаточный член разложения. Разумеется, мы имеем право это сделать только в том случае, если функция является линеаризуемой в точке измерения. Если это не так (если функция яв- ляется существенно нелинейной в точке измерения), то такой метод линеариза- ции не подойдет. Впрочем, в данном учебном курсе таких функций вы не встре- тите. Принимаем приращения Δ Xi малыми. С точки зрения метрологии погреш- ность измерения будет малой величиной, если измерение выполнено поверен- ным СИ, квалифицированным оператором и в адекватных условиях окружаю-
67
щей среды.
Если приращения
Δ
X
i
малые, то можно пренебречь членами высших поряд- ков малости. То есть если
Δ
X
1
, Δ X
2
— малые, то
Δ
X
1 2
, Δ X
2 2
, Δ X
1
⋅Δ
X
2
и т. д. —
очень малые, и ими можно пренебречь.
Отбрасывая члены разложения высших порядков малости и учитывая (4.14),
получаем:
Y
изм
≈
Y
дст
+
∂
Y
∂
X
1
⋅Δ
X
1
+
∂
Y
∂
X
2
⋅Δ
X
2
(4.15)
По определению, погрешность измерения это разность между измеренным и истинным (действительным) значением:
Δ
Y = Y
изм
−
Y
дст
(4.16)
Подставляя (4.15) в (4.16) , получаем:
Δ
Y = Y
дст
+
∂
Y
∂
X
1
⋅Δ
X
1
+
∂
Y
∂
X
2
⋅Δ
X
2
−
Y
дст
=
∂
Y
∂
X
1
⋅Δ
X
1
+
∂
Y
∂
X
2
⋅Δ
X
2
.
И снова мы вернулись к формуле (4.10).
Для того, чтобы проверить, правильно ли были взяты частные производные,
полезно использовать следующий прием: размерность произведения
dim
[
∂
Y
∂
X
n
⋅Δ
X
n
]
должна совпадать с размерностью функции
dim
[
Y
]
|
Скачать 0.74 Mb.