Основы теории погрешностей. лекции - основы теории погрешностей. Конспект лекций по курсу метрология и технические измерения
 Скачать 0.74 Mb.
|
|
3.4 Проверка принадлежности результатов измерений нормальному рас- пределению Еще раз повторим, что переход от точечной оценки погрешности к довери- тельной требует знания закона распределения. Предполагается, что случайные погрешности распределены нормально, но все-таки действующие государствен- ные стандарты требуют проверки этого предположения. При этом процедура проверки гипотезы о принадлежности результатов измерений нормальному рас- пределению различается в зависимости от числа измерений: 1) при числе измерений менее 15 провести эту проверку не представляется возможным. Вычисление доверительных границ с использованием квантилей распределения Стьюдента возможно только в случае, когда заранее известно, что результаты измерений распределены нормально. Если в этом нет уверенно- сти, то государственный стандарт отсылает экспериментатора к методике про- водимых измерений (МВИ). Но есть еще один способ определить доверитель- 36 ную границу погрешности, и основывается он на особенности уровня довери- тельной вероятности 0,9 (см. ниже). 2) При числе измерений от 15 до 50 предпочтительным является использова- ние составного критерия из приложения Б стандарта ГОСТ Р 8.736-2011. 3) При числе измерений большем 50 для проверки принадлежности результа- тов измерения нормальному распределению используют критерий χ 2 Пирсона или критерий ω 2 Мизеса-Смирнова (приложение Г указанного стандарта). Примечание: критерий χ 2 Пирсона входит в число экзаменационных вопро- сов. Студентам этот критерий должен быть известен из курса теории вероятно- стей. 3.5 Еще несколько слов о нормальном распределении. Наличие большого количества нормально распределенных СВ требует на- личия удобного математического аппарата, которым можно проанализировать любую из этих величин вне количественной зависимости от ее СКО или м.о. Поэтому нормальное распределение «приводят к общему знаменателю» или, выражаясь более формально, это распределение нормируют. Плотность рас- пределения нормированного нормального распределения имеет вид: ρ( t) = 1 √ 2 π ⋅ exp(− t 2 2 ) , где t = x−M [ x ] σ [ x ] — нормированный параметр нормального распределения. Таким образом, нормированное нормальное распределение имеет нулевое м.о. и единичное СКО ( M [t ] = 0, σ [t ] = 1 ). Это распределение удобно тем, что все требуемые интегралы для этого распределения давным-давно посчитаны (причем численно) и табулированы (занесены в таблицы мат статистики). О каких интегралах идет речь? Часто требуется определить вероятность по- 37 падания нормально распределенной СВ в заданный интервал или решить обрат- ную задачу: определить интервал, в который нормально распределенная СВ по- падет с заданной вероятностью. Такие задачи возникают при определении дове- рительных границ погрешности (чем студенты в этом курсе тоже будут зани- маться), и решаются с использованием упомянутого выше свойства плотности распределения, а именно: вероятность попадания случайной величины в интер- вал есть определенный интеграл от плотности вероятности по границам этого интервала: P(a ≤ x ≤ b) = ∫ a b ρ( x) dx В случае нормального распределения этот интеграл принимает вид: P(a ≤ x ≤ b) = ∫ a b 1 σ √ 2 π ⋅ exp(− ( x − M [x ]) 2 2σ 2 ) dx Здесь самое время нормировать нашу плотность распределения: P(a ≤ x ≤ b) = | t = x−M [ x ] σ | = P(t н ≤ t ≤t в ) = ∫ t н t в 1 √ 2 π ⋅ exp (− t 2 2 ) dt Возможны два варианта развития событий: задан симметричный или несим- метричный доверительный интервал. В первом случае: P(t н ≤ t ≤t в ) = P (−t гр ≤ t ≤+t гр ) = 2⋅P (0 ≤ t ≤+t гр ) = 2 √ 2 π ∫ 0 t гр exp(− t 2 2 ) dt Интеграл P(t) = 2 √ 2 π ∫ 0 t exp (− t 2 2 ) dt носит название интеграла вероятности, и значения этого интеграла приведены в таблице 1 приложения 2 учебника Эрас - това. Для несимметричного доверительного интервала задача решается следую- щим образом: 38 P(t н ≤ t ≤t в ) = 1 √ 2 π ∫ t н t в exp (− t 2 2 ) dt = 1 √ 2 π ∫ −∞ t в exp (− t 2 2 ) dt− 1 √ 2 π ∫ −∞ t н exp(− t 2 2 ) dt = = Φ( t в ) − Φ ( t н ) , где Φ ( t) = 1 √ 2 π ∫ −∞ t exp(− t 2 2 ) dt — интегральная функция нормированного нормального распределения. Эта функция определяет вероятность попадания нормированной нормальной СВ в промежуток от минус бесконечности до за- данного значения нормированного параметра t и табулирована (занесена в та- блицы математической статистики.). Таким образом, при решении задачи о попадании нормально распределенной СВ в интервал следует пользоваться указанными выше таблицами математиче- ской статистики. 3.6 Особенности уровня доверительной вероятности 0,9. Среди различных произвольно назначаемых значений уровня доверительной вероятности есть одно, обладающее уникальным свойством. Оказывается, что кривые интегрального закона распределения СВ для широкого класса законов распределения (равномерного, треугольного, трапецеидального, нормального, ряда экспоненциальных и двухмодальных с небольшой глубиной антимодаль- ности) в области квантилей 0,05 и 0,95 пересекаются в очень узком интервале значений X = 1,6 σ ± 0,05 σ . Поэтому с погрешностью в 0,05 σ можно считать, что значение погрешности Δ X случ ( P ДОВ = 0,9) = 1,6 S ¯ X для любых из этих распре- делений является границей доверительного интервала с 90%-й доверительной вероятностью. В отсутствие данных о законе распределения СВ определение доверительной границы является возможным именно для уровня доверительной вероятности 0,9: Δ X случ ( P ДОВ = 0,9) = ±1,6 S ¯ X = ± 1,6 S √ n 39 4 Суммирование погрешностей 4.1 Введение. При проведении измерений задача суммирования составляющих погрешно- стей возникает практически всегда. Наиболее распространенные случаи сум- мирования погрешностей: 1) если результат измерения исправлялся, то необходимо оценить границы НСП и добавить их к инструментальной погрешности; 2) если измерения производились в условиях, отличных от нормальных для данного СИ, то возникающую дополнительную погрешность необходимо оце- нить и добавить к основной; 3) если производилось косвенное измерение ФВ, то погрешность каждого из- меряемого аргумента повлияет на погрешность функции с учетом правил опре- деления погрешности косвенного измерения, но все равно каждую из этих со- ставляющих придется суммировать с другими; 4) в измерительных установках необходимо оценить погрешности всех ис- 40 пользуемых приборов, погрешности измерительных каналов, погрешности их влияний и наводок друг на друга и т. д.; 5) в ИИС необходимо учитывать погрешности каждого измерительного пре- образователя, входящего в измерительный канал, а так же наводки от других ка- налов, внешних факторов и т.д. Таким образом, задача расчетного суммирования погрешностей — одна из основных задач как при создании СИ, так и при оценке погрешностей результа- тов измерений. 4.2 Трудности расчетного суммирования погрешностей Трудность расчетного суммирования погрешностей состоит в том, что все со- ставляющие погрешности должны рассматриваться как случайные величины (СВ). С точки зрения теории вероятностей, как было уже сказано, СВ наиболее полно описывается своим законом распределения, а совместное действие нескольких СВ будет описываться соответствующим много мерным законом рас пределения . В такой постановке задача очень быстро набирает сложность, становясь практически неразрешимой для 3 – 4 составляющих, не говоря уже о 30 – 40. Поэтому практический путь решения задачи суммиро вания погрешно - стей состоит в том, чтобы вместо определения многомерных законов распреде- ления подобрать для характеристик составляющих погрешности такие число - вые оценки (например, среднее арифметическое, СКО, коэффициент контрэкс- цесса), оперируя с которыми можно было бы определить соответствующие чи - словые оценки погрешности без определения результирующих многомерных за- конов распределения рассматриваемых СВ. Внимание: при суммировании производятся математические операции над оценками параметров закона распределения СВ; в нашем курсе это предельное значение погрешности для равномерного распределения и СКО. 41 Правила суммирования погрешностей основываются на том предположении, что погрешность по абсолютному значению всегда меньше измеряемой ве- личины. Фактически, это говорит о том, что измерение было проведено ис- правным, поверенным СИ и квалифицированным оператором в адекватных ус- ловиях окружающей среды. Но даже в такой постановке это достаточно сложная математическая задача, требующая большого количества расчетов, поэтому обычно этот подход исполь- зуется только при метрологических измерениях. 4.3 Суммирование погрешностей в метрологических измерениях При проведении метрологических измерений необходимо учитывать, что: 1) числовые характеристики законов распределения составляющих СВ могут не оставаться постоянными при изменении измеряемой величины, т. е. они мо- гут меняться в диапазоне ее измерения; 2) отдельные составляющие погрешности могут быть влиять друг на друга (выражаясь более формально, они могут быть коррелированы между собой); 3) при суммировании СВ их законы распределения существенно деформиру- ются. Учитываются эти сложности, например, следующими способами: 1) изменение погрешности в функции от изменения значений самой измеряе- мой величины учитывается самым простым способом, а именно разделением погрешности на аддитивную и мультипликативную составляющие. Далее дела- ется предположение, что сумма аддитивных составляющих даст значение адди- тивной части результирующей погрешности, а сумма мультипликативных со- ставляющих — мультипликативную. В пределах диапазона изменения измеряемой величины не более десятикрат- ного изменение результирующей погрешности может быть с достаточной 42 точностью представлено линейной функцией. Поэтому достаточно найти значе- ния результирующей погрешности лишь в начале и в конце такого диапазона, а потом описать результирующую погрешность двучленной формулой. При диапазоне изменения измеряемой величины больше десятикратного можно раз- бить итоговый диапазон на участки, и результирующая погрешность может быть определена в начале и в конце каждого участка. 2) Учет корреляционных связей между суммируемыми составляющими производится путем использования различных правил суммирования для силь- но и слабо коррелированных составляющих. 3) Для устранения влияния деформации формы законов распределения при суммировании погрешностей все суммируемые составляющие исходно пред- ставляются своими СКО, и все операции расчетного суммирования производят- ся только над этими средними квадратическими значениями. Чаще всего результирующую погрешность желательно выразить не в виде СКО, а в виде некоторого интервала неопределенности (доверительного или эн- тропийного). Этот переход является самым трудным с теоретической точки зре- ния, поскольку конкретный вид формулы перехода зависит от формы закона распределения результирующей погрешности, а излагаемая методика была из- начально нацелена на то, чтобы обойтись без точного определения результирующего закона распределения суммы всех составляющих. Наиболее строго, без каких-либо допущений эта задача решается методами теории информации с использованием энтропии по Шеннону и энтропийного интервала неопределенности. Для перехода от СКО к доверительному интервалу необходимо тем или иным образом вынести суждение о форме закона распределения случайной погрешно- сти и тем самым выбрать значения квантильного множителя t P , n Более подробно об этих и других сложностях, а также методах их устранения 43 см. соответствующие МВИ. 4.4 Суммирование погрешностей при проведении технических измерений При проведении технических измерений расчеты ведут с некоторыми упро- щениями согласно ГОСТ Р 8.736-2011. В конечном итоге, задача суммирования погрешностей сводится к несколь- ким подзадачам: 1) определение суммарной систематической составляющей; 2) определений суммарной случайной составляющей; 3) определение общей погрешности результата измерений. 4.5 Суммирование систематических погрешностей известного знака В случае, когда все составляющие систематической погрешности определены по знаку и по величине, суммарная погрешность находится алгебраическим сум - мированием. Фактически, речь идет о суммарной поправке к результату измере- ния: Δ X ∑ попр = ∑ i=1 n Δ X i попр 44 Эта поправка должна быть исключена из результата измерения. Пример: при измерении фазового сдвига RC-цепочки фазометром Ф2-1 полу- чен фазовый угол ϕ изм = + 49° . Методическая погрешность, вызванная конеч- ным входным сопротивлением фазометра, оценена как Δ ϕ мет, R = + 0,220 ° Методическая погрешность, вызванная ненулевой входной емкость фазомет- ра, оценена как Δ ϕ мет,С = − 1,228 ° Итоговая поправка к результату: Δ ϕ ∑ попр = −Δ ϕ ∑ мет = −(+ 0,220 ° + (−1,218 °)) = +0,998° Исправление результата: ϕ испр = ϕ изм + ϕ ∑ попр = + 49 °+0,998 ° = 49,998 ° 4.6 Суммирование систематических погрешностей неизвестного знака Если же отдельные составляющие систематической погрешности представле- ны границами интервалов погрешностей без информации о знаке (например, НСП) то в отсутствии информации о законе распределения систематической погрешности ее распределение принимают равномерным, а суммарную границу определяют геометрическим суммированием с учетом деформации закона распределения: Θ ∑ ( P ДОВ ) = ± K (P ДОВ )⋅ √ ∑ i=1 n Θ i 2 , (4.1) где Θ i — i-я составляющая НСП, подлежащая суммированию, K (P ДОВ ) — коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятно- стью P ДОВ , числом составляющих НСП и их количественным соотношением между собой. Этот коэффициент учитывает деформацию закона распределения при суммировании нескольких равномерно распределенных погрешностей (на- 45 пример, сумма двух одинаковых равномерно распределенных СВ дает треуголь- ное распределение; сумма двух разных равномерно распределенных СВ имеет трапецеидальное распределение, и т.д.). Таким образом, систематические погрешности неизвестного знака суммиру - ются геометрически с учетом деформации закона распределения. Эта формула справедлива для погрешностей, выраженных как в абсолютной, так и в относительной форме: δ X сист ,∑ ( P ДОВ ) = ± K (P ДОВ )⋅ √ ∑ i=1 n δ X сист,i 2 (4.2) Для доверительной вероятности 0,95 этот коэффициент очень слабо зависит от числа составляющих НСП и их соотношения, поэтому его значение можно принять равным 1,1. Для доверительной вероятности 0,99 и при числе суммируемых составляющих более 4-х значение коэффициента принимают 1,4. Если же число суммируемых равно четырем или менее, то коэффициент определяют по графику зависимости K (P ДОВ )= f (n , l) , приведенном на рисунке, где ось абсцисс соответствует соотношению l = Θ 1 Θ 2 . Кривая 1 соответствует двум суммируемым составляющим ( n = 2 ), кривая 2 — n = 3 , кривая 3 — n = 4. Значение коэффициента определяется по оси Y. Все значения коэффициента в графике заданы для P ДОВ = 0,99 При трех или четырех суммируемых составляющих за Θ 1 принимают состав- ляющую, наиболее отличающуюся от других по числовому значению, а за Θ 2 — ближайшую к Θ 1 46 Студентам разрешается (и, в общем-то, требуется) пользоваться усреднен- ными значениями коэффициента K (P ДОВ ) , не зависящим от числа слагаемых и их соотношения: Таблица 4.1 P ДОВ 0,9 0,95 0,98 0,99 K (P ДОВ ) 0,95 1,1 1,3 1,4 При малом числе составляющих после нахождения Θ ∑ ( P ДОВ ) необходимо сравнить ее с арифметической границей: Θ ∑ * = ± ∑ i=1 n | Θ i | (4.3) Ясно, что вероятностная сумма Θ ∑ ( P ДОВ ) не может быть больше арифметиче- ской Θ ∑ * . Если Θ ∑ ( P ДОВ ) > Θ ∑ * , то в качестве границ суммарной систематиче - ской погрешности принимается меньшая величина, то есть Θ ∑ * в данном слу- 47 чае. Так как суммирование НСП производится по вероятностным правилам, то ис- комая сумма Θ ∑ ( P ДОВ ) является случайной величиной, поэтому мы можем вве- сти понятия СКО суммарной систематической погрешности. Принимая распре- деление НСП равномерным, получаем: S Θ = Θ ∑ ( P ДОВ ) K (P ДОВ ) √ 3 (4.4) Эта формула говорит о том, что СКП равномерно распределенной СВ в √ 3 раз меньше ее предельной границы. Если составляющие НСП представлены своими доверительными границами с разной доверительной вероятностью P ДОВ , i , то необходимо привести результат измерения к одной доверительной вероятности. В этом случае используется формула: Θ ∑ ( P ДОВ ) = ± K (P ДОВ )⋅ √ ∑ i=1 n ( Θ i ( P ДОВ , i ) K i ( P ДОВ ,i ) ) 2 (4.5) |