Основы теории погрешностей. лекции - основы теории погрешностей. Конспект лекций по курсу метрология и технические измерения
 Скачать 0.74 Mb.
|
|
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Кафедра компьютерных систем в управлении и проектировании (КСУП) ЭЛЕКТРОННЫЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ «МЕТРОЛОГИЯ И ТЕХНИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ» РАЗДЕЛ «ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ» Старший преподаватель кафедры КСУП К. К. Жаров Томск, 2020 2 Содержание 1 Классификация погрешностей измерений....................................................................................3 2 Систематические погрешности......................................................................................................6 2.1 Классификация систематических погрешностей.................................................................6 2.2 Нормирование основной погрешности средств измерений................................................7 2.3 Обнаружение и исключение систематических погрешностей..........................................13 2.4 Введение поправок. Понятие НСП......................................................................................16 3 Случайные погрешности..............................................................................................................19 3.1 Введение.................................................................................................................................19 3.2 Законы распределения случайных величин и их параметры............................................20 3.3 Параметры законов распределения случайных величин и их оценки..............................31 3.4 Проверка принадлежности результатов измерений нормальному распределению........35 3.5 Еще несколько слов о нормальном распределении............................................................36 3.6 Особенности уровня доверительной вероятности 0,9.......................................................38 4 Суммирование погрешностей......................................................................................................39 4.1 Введение.................................................................................................................................39 4.2 Трудности расчетного суммирования погрешностей.........................................................40 4.3 Суммирование погрешностей в метрологических измерениях........................................41 4.4 Суммирование погрешностей при проведении технических измерений.........................43 4.5 Суммирование систематических погрешностей известного знака...................................43 4.6 Суммирование систематических погрешностей неизвестного знака...............................44 4.7 Пример суммирования систематических погрешностей. Нормирование дополнительной погрешности СИ..................................................................................................47 4.8 Пример суммирования НСП, заданных доверительными интервалами с разной доверительной вероятностью..........................................................................................................49 4.9 Суммирование случайных погрешностей...........................................................................50 4.10 Пример суммирования погрешностей, заданных своими СКП......................................52 4.11 Пример суммирования случайных погрешностей, заданных доверительными интервалами с различной доверительной вероятностью..............................................................52 4.12 Суммирование случайных и систематических погрешностей........................................53 4.13 Пример суммирования систематических и случайных погрешностей..........................56 4.14 Алгоритм обработки результатов прямого однократного технического измерения.....58 4.15 Алгоритм обработки результатов прямого многократного технического равноточного измерения..........................................................................................................................................59 4.16 Определение погрешности обыкновенного косвенного измерения...............................61 4.17 Алгоритм обработки результатов обыкновенных косвенных измерений......................68 4.18 Пример поиска погрешности обыкновенного косвенного измерения...........................69 4.19 Прием приведения косвенных многократных измерений к прямым..............................70 3 1 Классификация погрешностей измерений Погрешность измерения — отклонение результата измерения от истинного значения ФВ. Так как истинное значение ФВ нам никогда не будет известно, ис- пользуют действительное значение ФВ. Выделяют различные классификации погрешностей. 1) По способу выражения: 1.1) Абсолютные погрешности есть разница между истинным и измерен- ным значением измеряемой величины, Δ X = X изм − X ист = X изм − X дст . Имеют размерность измеряемой физической величины: [ Δ R ] = [ Ом ] , [ Δ l ] = [ м ] Действительное значение величины — это значение, известное с такой точно- стью, что в данной измерительной задаче это значение принимается за истин- ное. Например, это значение, измеренное более точным прибором, воспроизве- денное мерой или посчитанное теоретически. 1.2) Относительные погрешности есть отношение абсолютной погрешно- сти к истинному значению величины, δ X = Δ X X ист = Δ X X дст , являются безразмер- ными. Можно ввести первую качественную характеристику измерения— точность. Точность измерения определим как величину, обратную его относительной по- грешности, T = 1 δ X . В разных разделах метрологии (метрология больших ве- личин, метрология малых величин) точность может вводиться по-разному. 1.3) Приведенные погрешности есть абсолютные погрешности, приведен- ные к некой нормирующей величине, γ X = Δ X N . Эти погрешности, как прави- ло, применяются для оценки точностных характеристик СИ. Являются безраз- мерными. В роли нормирующей величины могут выступать: 4 - предел измерения (амперметр постоянного тока, измеряющий ток от 0 до 1 А, будет иметь нормирующее значение 1 А); - размах шкалы, если ноль прибора лежит где-то внутри шкалы (амперметр по- стоянного тока, измеряющий ток от -1 А до +1 А, будет иметь нормирующее значение 2 А); - для приборов с существенно нелинейной шкалой нормирующим значением будет геометрическая длина шкалы (указывается в паспорте СИ); - для приборов, измеряющих небольшие отклонения измеряемой величины от номинального значения, нормирующим значением будет их номинальное значе- ние. ВНИМАНИЕ. Это — способ выражения погрешности, и этот способ может меняться в зависимости от наших предпочтений или предъявленных требова- ний. Попытка классифицировать исследованную в лабораторной работе по- грешность как абсолютную или относительную является неправильной. Следу- ет указать другую характеристику погрешности — например, погрешность яв- ляется методической, дополнительной, аддитивной и т.д. 2) В зависимости от поведения измеряемой величины во времени: 2.1) статические; 2.2) динамические. 3) По условиям эксплуатации СИ: 3.1) основные — возникают при эксплуатации СИ в нормальных условиях (указанных в паспорте прибора); 3.2) дополнительные — возникают при эксплуатации СИ в условиях, от - личающихся от нормальных (пониженная температура, повышенная влажность, не то напряжение питания); 3.3) рабочие (или эксплуатационные) — возникают в реальных рабочих 5 условиях, где некоторые влияющие находятся в нормальных условиях, а другие выходят за нормальные пределы. 4) По характеру зависимости от измеряемой величины погрешности делят на: 4.1) аддитивные, англ. «add» — складывать; они не зависят от измеряе - мой величины и если они выражены в абсолютной форме, то являются постоян- ными — Δ X адд = const ; 4.2) мультипликативные, англ. «multiply» — умножать; они линейно или нелинейно зависят от измеряемой величины; в случае линейной зависимости относительная форма представления мультипликативной погрешности есть ве- личина постоянная — δ X млт = const 5) По характеру проявления при повторных измерениях погрешности делят на: 5.1) систематические, эти погрешности при проведении повторных изме- рений остаются неизменными по величине и знаку или меняются заранее из- вестным образом. Второй качественный показатель измерения — его правильность, чем меньше величина систематической погрешности, тем правильнее измерение. Устране- ние систематических погрешностей называется исправлением результата (вве- дением поправки). 5.2) Случайные погрешности при проведении повторных измерений не - предсказуемым образом меня ются по величине и знаку ; являются принципиаль- но неустранимыми. Третий качественный показатель измерения — его сходимость, чем меньше ве- личина случайной погрешности, тем больше сходимость измерения. 5.3) Грубые погрешности (они же промахи), их величина значительно пре- восходит ожидаемую величину погрешности. Должны быть обнаружены и ис- 6 ключены из измерения Четвертый качественный показатель измерения — его годность. Измерение, содержащее грубую погрешность, считается негодным и должно быть отбро- шено. Делить на случайные и систематические погрешности можно, только обладая полной информацией об объекте измерений. При изготовлении серии приборов разброс их параметров — случайная погрешность, в то время, как у одного кон- кретного прибора — систематическая. 2 Систематические погрешности Напоминание: систематические погрешности при проведении повторных из- мерений остаются неизменными по величине и знаку или меняются заранее из- вестным образом. 2.1 Классификация систематических погрешностей Систематические погрешности бывают следующих видов: 1) методические погрешности вызваны несовершенством метода измерения, а также упрощениями и допущениями при выборе модели объекта измерения; 2) инструментальные погрешности вызваны несовершенством СИ; 3) погрешности установки вызваны неправильной калибровкой, установкой СИ, а также взаимным влиянием СИ друг на друга; 4) внешние погрешности вызваны отклонением внешних влияющих величин от их нормальных значений; 5) субъективные погрешности (они же погрешности оператора) бывают: 5.1) погрешностями отсчета, принципиально отсутствуют в цифровых приборах; 5.2) погрешности присутствия (температурная, электрическая наводка на измерение от человеческого тела); 7 5.3) погрешности действия (неправильная настройка СИ, неумение рабо- тать с СИ). 6) По поведению во времени систематические погрешности разделяют на: 6.1) постоянные (ошибка установки нуля); 6.2) переменные; 6.2.1) монотонно переменные (разряд батареи прибора); 6.2.2) периодически переменные (суточные колебания напряжения в промышленной сети, суточные колебания температуры); 6.2.3) дрейфовые (нестационарный случайный процесс). 2.2 Нормирование основной погрешности средств измерений. В нормальных условиях работы СИ демонстрирует так называемую основ- ную погрешность. Эта погрешность приведена в паспорте прибора и может быть нормирована по-разному. Одним из способов нормирования основной по- грешности СИ является присвоение этому СИ определенного класса точности. Класс точности СИ — это метрологическая характеристика СИ, определяю- щая гарантированную границу его основной погрешности. Таким образом, класс точности — это не погрешность СИ, но это его харак - теристика, которая однозначно определяет максимальную погрешность прибо- ра в нормальных условиях работы. По характеру зависимости от измеряемой величины основная погрешность СИ может быть чистой аддитивной, чистой мультипликативной, или аддитив- ной и мультипликативной. В соответствии с этим, выделяют три типа классов точности приборов. Первый класс точности назначают приборам с основной аддитивной по- грешностью. То есть у этих приборов при измерении любых значений измеряе- 8 мой величины всегда будет одна и та же абсолютная погрешность: Δ X осн = const Примером подобных приборов является измерительная линейка — погреш- ность в половину цены деления (0,5 мм) будет одинаковой и при измерении 3 мм, и при измерении 23 мм, и при измерении 30 см этой же линейкой. Было бы логичным нормировать именно эту погрешность и указывать ее в паспорте прибора. Так и делают — скажем, у измерительной линейки класс точности будет 0,5 мм, у штангенциркуля 1 мкм и так далее. Однако, в электри- ческих измерениях мы чаще всего имеем дело с многопредельными приборами (вольтметр может измерять на диапазонах 0 – 2 В, 0 – 20 В, 0 – 200 В и так да- лее). Указывать на каждом диапазоне свою величину аддитивной погрешности не рационально. Таким образом, у приборов с основной аддитивной погрешность за класс точности принимают величину их приведенной погрешности, выраженной в процентах: Кл. т . = γ = γ X⋅100 % , где γ — обозначение класса точности для СИ такого типа, γ X — приведенная погрешность. Вспоминая определение приведенной погрешности, получаем: γ = Δ X осн ⋅ N 100 % Возможно два случая: СИ с равномерной шкалой и СИ с неравномерной шка- лой. У СИ с основной аддитивной погрешностью и равномерной шкалой нор- мирующим значением обычно выступает предел измерения X к . Таким образом, формулы для нахождения их основной погрешности, нормированной классом 9 точности, имеют следующий вид: Δ X осн = γ⋅ X к 100 % , δ X осн = γ⋅ X к X изм ⋅ 100 % Основная погрешность таких СИ в абсолютной форме, определяемая по их классу точности, имеет размерность измеряемой величины: [ Δ X осн ] = [ X изм ] На СИ такой класс точности обозначается простым числом: , Таким образом, амперметр класса точности , измеривший 1 А на пределе 3 А, будет иметь ± 0,03 A основной погрешности измерения. Существуют СИ с сильно нелинейной шкалой (кусочно-линейной, логариф- мической и т. д.). У приборов с основной аддитивной погрешностью и не- равномерной шкалой нормирующим значением является геометрическая дли- на шкалы L шк , и основная погрешность в абсолютной форме, определяемая по их классу точности, имеет единицы измерения длины: Δ X осн = Δ l осн = γ⋅ L шк 100 % [ Δ X осн ] = [ м] По сути, у таких СИ класс точности нормирует погрешность движения стрел- ки по шкале (погрешность позиционирования измерительного механизма). Обозначается такой класс точности следующим образом: , Пример: СИ класса точности ошибается на 2% от длины рабочей части шкалы (указана в паспорте), когда позиционирует стрелку по шкале. Для того, чтобы перевести эту погрешность в погрешность измеряемой величины, необ- 10 ходимо знать, каким образом была проградуирована шкала прибора, и интерпо- лировать соответствующей функцией. К СИ с основной аддитивной погрешностью, как правило, относятся аналого- вые стрелочные приборы с магнитоэлектрическим измерительным механизмом. Погрешность в таких приборах вызвана трением в подпятниках измерительного механизма. В англоязычной технической литературе такие приборы обознаются как прибора типа a. Второй тип классов точности назначается СИ с ярко выраженной мульти- пликативной основной погрешностью. Как правило, СИ изготовлено так, что эта погрешность линейна, и у этих СИ мультипликативная форма представле- ния основной погрешности есть величина постоянная: δ X осн = const Без дальнейших усложнений за класс точности подобных приборов прини - мают величину их относительной погрешности, выраженной в процентах: Кл. т . = δ = δ X⋅100 % , где δ — обозначение класса точности для СИ такого типа, δ X —относительная погрешность. Формулы для нахождения их основной погрешности, нормированной классом точности, приведены ниже: δ X осн = δ 100 % , Δ X осн = δ⋅ X изм 100 % Условное обозначение: , Пример: амперметр класса точности , измеряя 1 А на пределе 3 А, оши- 11 бется на ± 0,002 A К СИ с погрешностью такого типа относятся масштабные измерительные преобразователи (шунты, добавочные сопротивления, измерительные трансфор- маторы, измерительные усилители). В англоязычной литературе это СИ типа b. Третий тип классов точности присваивается СИ, чья основная погрешность имеет как аддитивный, так и мультипликативный характер. Две составляющие погрешности требуют двух чисел для ее нормирования. За класс точности подобных приборов принимают величины их приведенных погрешностей (в процентах) в начале и конце шкалы: Кл. т . = γ к / γ н , где γ н — приведенная погрешность в начале шкалы ( X изм = 0 ) в процентах; γ к — приведенная погрешность в конце шкалы ( X изм = X к ) в процентах. Составляющая γ н нормирует чистую аддитивную погрешность прибора, а γ к — аддитивную и максимальную мультипликативную. Для того, чтобы найти основную погрешность, нормированную классом точности, необходимо использовать следующие формулы: Δ X осн = γ н 100 % ⋅ X к + γ к − γ н 100 % ⋅ X изм , δ X осн = [ γ к + γ н ⋅ ( X к X изм − 1 ) ] ∗ 100 Обозначаются подобные приборы как , . В англоязычной тех- нической литературе это приборы типа c/d. Подобные надписи не следует читать как «0,15/0,01 = 15». Нет, такое обозна- чение говорит нам, что в начале шкалы у такого прибора погрешность 0,01% от предела измерения, а в конце шкалы — 0,15% от предела измерения. Такая погрешность характерна для всех цифровых приборов. 12 Последнее, что нужно сказать про классы точность средств измерений — класс точности не может быть произвольным числом. Существует |