Основы теории погрешностей. лекции - основы теории погрешностей. Конспект лекций по курсу метрология и технические измерения
 Скачать 0.74 Mb.
|
|
ряд разре- шенных значений классов точности, утвержденный в государственном стан- дарте ГОСТ 8.401 - 80. Согласно этому ряду, класс точности СИ может прини- мать одно из следующих значений: Кл. т . = [1,0 ; 1,5 ; 2,0 ; 2,5 ;3,0 * ; 4,0 ; 5,0 ; 6,0 ]⋅10 n , где n = 1, 0, −1, −2, … Примечание: значение 3,0 используется только для высокоточных СИ ( 0,3 и точнее). Таблица 2.1 — сводная таблица классов точности СИ Характер основ- ной погрешности Форма выражения класса точности СИ Обозначение класса точности Погрешность результата измерения абсолютная, ед. ФВ относительная, % Аддитивная Приведенная погрешность в %. Нормирующая величина N – предел измерения X к Δ X осн = γ⋅ X к 100% δ X осн = γ⋅ X к X изм ⋅ 100 % Приведенная погрешность в %. Нормирующая величина N –длина шкалы L шк Δ l осн = γ⋅ L шк 100 % , Δ X осн определяется отдельно δ X осн = Δ X осн X изм Мультипликатив- ная Относительная погреш- ность в %. Δ X осн = δ⋅ X изм 100 % δ X осн = δ 100% Аддитивная и мультипликатив- ная Приведенная погрешность в % в двух точках шкалы: X изм = 0 и X изм = X к Δ X осн = γ н 100% ⋅ X к + + γ к − γ н 100% ⋅ X изм δ X осн = γ к + + γ н ⋅ ( X к X изм − 1 ) Существуют и другие способы нормирования основной погрешности СИ, по- мимо присвоения классов точности. Например, для СИ, измеряющих большое количество самых разных физических величин с существенно различающейся точностью, задание единого класса точности не представляется возможным. Та- кие приборы в своем паспорте имеют перечисление всех диапазонов измерений с явным указанием погрешности на этом диапазоне (таблица погрешностей). Причем это может быть как уже знакомая формула 13 δ R = 0,15 + 0,01⋅ ( R к R − 1 ) , R = [10..100 Ом] , так и что-нибудь вроде Δ U осн =±( 0,005 ⋅U изм + 2 е . м . р .) В данной записи е . м . р . стоит понимать как единицу младшего разряда; в ан- глоязычной литературе digits (или counts).Определить, какой конкретно разряд в нашем измерении младший, возможно, зная количество индикаторов на цифро- вом приборе. Пример №1. Пусть трехиндикаторным вольтметром с погрешностью Δ U осн = ±( 0,005⋅U изм + 2 е . м . р .) измерено значение 5,85 В на пределе 10 В. Определить погрешность измерения. Решение: 5,85 В на индикаторе прибора будут отображены как 5,85. Очевид- но, что младший разряд тут — 0,01 В. Тогда погрешность найдем как: Δ U осн = 0,005 ⋅5,85 + 2⋅0,01 = 0,04925 (B) ≈ 0,05 (B) Пример №2. Пусть четырехиндикаторным омметром с погрешностью Δ R осн = ±( 0,004⋅U изм + 2 е . м . р .) измерено значение 2194 Ом на пределе 10 кОм. Определить погрешность измерения. Решение: 2194 Ом на индикаторе прибора будут отображены как 2194. Млад- ший разряд здесь — 1 Ом. Тогда погрешность найдем как: Δ U осн = 0,004 ⋅2914 + 2 ⋅1 = 13,656 (Ом) ≈ 14 (Ом). 2.3 Обнаружение и исключение систематических погрешностей Инструментальные погрешности принадлежат данному СИ, могут быть определены при испытаниях СИ и занесены в паспорт СИ. Для исключения инструментальных погрешностей практически единствен- ным способом является поверка СИ — определение метрологическим органом 14 действительных метрологических характеристик СИ и установление его при- годности к применению. Все используемые в сферах ГРОЕИ (государственное регулирование и обеспечение единства измерений) средства измерения подле- жат обязательной периодической поверке. Методические погрешности связаны не с прибором, а с методом его исполь - зования. Они не могут быть приписаны данному СИ и не могут быть указаны в паспорте прибора. Другая причина методических погрешностей — сознатель- ное или вынужденное измерение не той величины, которую надо измерить, а некоторой другой, близкой, но не равной ей. Пример №1: вольтметр шунтирует участок цепи, на котором измеряется напряжение. Пример №2: измерение температуры раскаленных болванок, выходящих из прокатной печи. Всегда будет измеряться наружная температура болванки, так как сверлить каждую болванку для установки датчика температуры в центре ни- кто не будет. Особенность методических погрешностей — так как они не могут быть ука- заны в паспорте прибора, они должны оцениваться экспериментатором само - стоятельно; в разных условиях одно и то же СИ может дать как пренебрежимо малую, так и недопустимо большую методическую погрешность (измерение напряжения на сопротивлении нагрузки, намного меньшем внутреннего сопро- тивления вольтметра в противовес измерению напряжения на сопротивлении, по величине соизмеримым с сопротивлением вольтметра). Оценка методических погрешностей экспериментатором требует высокой квалификации оператора и постановки обстоятельного экспериментального метрологического исследования принятого метода измерений с целью определе- ния упрощений в зависимостях, положенных в основу модели объекта измере- ния и метода измерений. Если этот метод является установившимся, неизмен- ным в течение длительного времени, то погрешности этого метода могут быть 15 установлены и занесены в паспорте метода (не путать с паспортом средства из- мерения!) и приведены в МВИ. Обнаружение неизвестных систематических погрешностей может быть выполнено следующими способами: 1) провести измерение другим методом, максимально отличающимся от ис- пользуемого; 2) резко изменить условия измерения (измерить при другой температуре ок- ружающей среды, сменить оператора, изменить время измерения); 3) провести контрольное измерение в лаборатории другого учреждения; 4) использовать априорные знания об объекте измерений или использовать более точные модели объекта измерений (например, неважно, каким способом измеряется сумма углов в треугольнике, она должна быть равна 180°). Существуют методы измерения, позволяющие исключить систематическую погрешность, не измеряя ее. К ним относят: 1) метод замещения; 2) метод противопоставления; 3) метод дополнения (см. вводную лекцию); 4) метод компенсации по знаку — проводятся два измерения так, чтобы по- грешность входила в каждое измерение с противоположным знаком, x 1 = x ист + Δ x , x 2 = x ист − Δ x . За результат принимается полусумма двух изме- рений: x изм = x 1 + x 2 2 = x ист + Δ x + x ист − Δ x 2 = 2 x ист 2 = x ист . Применяется для устранения погрешностей люфта, гистерезиса, трения в измерительных меха- низмах. 5) Метод рандомизации — систематическая погрешность переводится в слу- чайную и уменьшается с использованием аппарата теории вероятностей. 16 Пример №1: для ослабления влияния постоянного электромагнитного поля неизвестной направленности провести 12 измерений, каждый раз поворачивая электроизмерительный прибор на 30°. Полученную выборку усреднить, посчи- тать дисперсию и так далее. Пример №2: менять оператора после каждого измерения. 6) Метод прогрессивных измерений — через равные промежутки времени проводятся измерения, оценивается погрешность каждого измерения. Проверя- ется выполнение условия Δ X N +Δ X N +2 2 = Δ X N +1 . Если условие выполняется, то делаем вывод о постоянно прогрессирующей погрешности и вводим один по- правочный множитель вместо ряда поправочных слагаемых. Способы исключения систематических погрешностей можно разделить на три группы: 1) до начала измерений. Сюда входит планирование измерительного экспе- римента (правильный выбор МВИ, СИ, проведение так называемой профилак- тики погрешностей: поиск источников, вносящих наибольшую погрешность, и устранение их до начала измерения); 2) в процессе измерений (корректное использование СИ: калибровка, уста- новка нуля, устранение погрешности параллакса, фокусировка луча осцилло- графа и т. д.; использование вышеописанных методов измерения;); 3) после измерения (введение поправок, оценка неисключенной системати- ческой погрешности НСП). 2.4 Введение поправок. Понятие НСП. После того, как стали известны размер и знак систематической погрешности, возможно ее исключение из результата измерения. Процесс исключение систе- матической погрешности известного знака и величины называется исправлени- 17 ем результата измерения (или введением поправки). Поправка в абсолютной форме есть величина абсолютной погрешности, взятой с противоположным знаком (поправочное слагаемое): Δ X попр = −Δ X мет Соответственно, чтобы получить исправленный результат, к результату изме- рения прибавляют величину поправки: X испр = X изм + Δ X попр Поправку в абсолютной форме удобно вводить для аддитивных методических погрешностей. Поправка в относительной форме представляет собой поправочный мно- житель. Пусть Y = S ⋅X изм , где Y — выходная величина, X — входная величина, S — чувствительность прибора. Пусть чувствительность прибора изменилась: S ' = S + Δ S Тогда измеренная величина приобретет мультипликативную погрешность: Y неиспр = S ' ⋅ X изм = ( S + Δ S)⋅X изм = S⋅X изм + Δ S⋅X изм = Y ист + Δ Y мульт Теперь необходимо ввести поправочный множитель: β попр = S S + Δ S Тогда исправленный результат может быть найден как: Y испр = Y неиспр ⋅β попр = ( S + Δ S )⋅X изм ⋅β попр = S 2 ⋅ X изм + Δ S⋅S⋅X изм S + Δ S = = S⋅X изм ⋅( S + Δ S) S + Δ S = S⋅X изм . 18 Поправку в относительной форме удобно вводить для линейных мультипли- кативных погрешностей. В случае аддитивной и мультипликативной систематической погрешности: X испр = ( X изм + Δ X попр )⋅β попр В случае введения поправок на инструментальную погрешность значения Δ X попр и β попр определяют по результатам поверки и представляют в виде та - блиц и графиков в паспорте СИ. Особенность исправления результата состоит в том, что поправка вводится на каждый источник систематической погрешности отдельно. Пример: при стрельбы делают поправку на ветер, поправку на движение цели, поправку на вращение Земле (в баллистике) и так далее. В целом, введение поправки устра- няет влияние только одной вполне определенной систематической погрешно- сти, поэтому в результат измерения может вводиться огромное количество по- правок. Студентам рекомендуется ознакомиться с методикой измерений МИ 2145-91, там присутствует множество поправок. Также там присутствует ин- тересный пункт 5.3.4. Однако мы никогда не можем оценить влияющие факторы (ветер, движение цели и так далее) с абсолютной точностью. Всегда после оценки величины по- грешности остается некоторая неопределенность. В некоторых случаях нам из- вестен источник систематической погрешности, мы можем оценить границы этой погрешность, но никогда не можем уточнить знак (пример — инструмен- тальная погрешность СИ; амперметр класса точности 1,0 на пределе 30 мА ошибается на ±0,3 мА, но мы не знаем, плюс или минус 0,3 мА). Величина си- стематической погрешности, оставшаяся после исправления результата, имеет неизвестный знак и носит название неисключенной систематической по- грешности (НСП, Θ ). К числу НСП относятся: 19 1) погрешности определения поправок; 2) погрешности, зависящие от точности измерения влияющих величин, вхо- дящих в формулы для определения поправок; 3) погрешности, связанные с колебаниями влияющих величин в процессе из- мерения (температура окружающей среды, напряжение питания и так далее). Перечисленные погрешности малы по своей величине, и поправки на них не вводятся. Поэтому НСП переходит в разряд случайных погрешностей. Как уже упоминалось, другая причина перевода НСП в разряд случайных погрешностей — отсутствие достоверной информации о знаке погрешности. В нашем курсе будем считать, что НСП подчиняется равномерному закону распределения слу- чайных величин. Кроме того, если у нас имеется несколько различных НСП, оставшихся от введения различных поправок, то для определения общей погрешности ре- зультата требуется уметь правильно суммировать погрешности измерения («правильно» значит «с учетом их вероятностной природы»). Тема суммирова- ния погрешностей будет рассмотрена отдельно. 3 Случайные погрешности. 3.1 Введение. Напоминание: случайные погрешности при проведении повторных измере- ний меняются по величине и по знаку случайным образом. Случайные погрешности вызваны огромным множеством влияющих на изме- рительных эксперимент факторов, учесть которые экспериментатор просто не в состоянии, причем о влиянии некоторых факторов экспериментатор может во- обще не догадываться. Случайные погрешности неизбежны при проведении эксперимента, от них никак нельзя избавиться. 20 Для анализа случайных погрешностей применяют аппарат теории вероятно- стей и математической статистики. С точки зрения этих наук, случайная по- грешность рассматривается как случайная величина (СВ). Так как при измерении всегда существует случайная погрешность, то полная погрешность измерения есть сумма систематической (неслучайной, детермини- рованной) и случайной (стохастической) составляющих. Таким образом, полная погрешность измерения тоже является случайной величиной. 3.2 Законы распределения случайных величин и их параметры. Из курса теории вероятностей известно, что СВ наиболее полно характеризу- ется своим интегральным законом распределения (интегральной функцией рас- пределения). Это функция, значением которой для каждого x является вероят- ность наступления события, заключающегося в том, что случайная величина Х примет значение меньше, чем х : F( x) = P( X < x ) Это неубывающая функция, значение которой изменяется от F(−∞) = 0 (ве- роятность невозможного события равна нулю) до F(+∞) = 1 (вероятность до- стоверного события равна единице). Эта функция существует для всех СВ, как для непрерывных, так и для дискретных. Для СВ с непрерывной и дифференцируемой функцией распределения можно определить дифференциальный закон распределения вероятностей: ρ( x) = d F (x ) dx Эта функция также называется плотностью распределения вероятностей. Она неотрицательна и подчинена условию нормировки: ∫ −∞ +∞ ρ( x ) dx = 1 21 Это условие следует из того, что вероятность достоверного события всегда единица, поэтому площадь подынтегральной кривой плотности распределения тоже единица. Важное свойство: вероятность попадания СВ в интервал от a до b опреде- ляется как: P(a ≤ x ≤ b) = ∫ a b ρ( x) dx Это свойство будет использовано на практике и на контрольных. Случайная величина — вещь, естественно, случайная (стохастическая). Одна- ко, ее поведение описывается неслучайным (детерминированным) законом рас- пределения, который имеет неслучайные (детерминированные) параметры. Основными числовыми характеристиками закона распределения СВ являют- ся математическое ожидание и дисперсия. M [x ] = ∫ −∞ +∞ x⋅ρ(x)dx Математическое ожидание (м.о.) характеризует центр тяжести распределе- ния СВ. С точки зрения теории погрешностей м.о. погрешности измерения — это его систематическая составляющая. Характеристикой разброса отдельных результатов измерения относительно центра является дисперсия: D[ x] = ∫ −∞ +∞ ( x − M [ x ]) 2 ⋅ρ( x)dx Дисперсия может использоваться для характеристики точности распределе- ния, но она имеет размерность квадрата измеряемой величины — дисперсия выражает мощность рассеяния СВ вокруг своего центра. На практике пользуют- ся действующим значением дисперсии, то есть |