Основы теории погрешностей. лекции - основы теории погрешностей. Конспект лекций по курсу метрология и технические измерения
 Скачать 0.74 Mb.
|
|
4.7 Пример суммирования систематических погрешностей. Нормирование дополнительной погрешности СИ. Для примера рассмотрим суммирование основной и дополнительной погреш- ности СИ. Дополнительная погрешность возникает при выходе внешней влияю- щей величины за границы нормальных условий и нормируется отдельно от основной. Нормировать дополнительную погрешность могут как простым чис- лом, так и зависимостью дополнительной погрешности от влиящего фактора. В последнем случае такую зависимость называют функцией влияния. Функция влияния может быть как линейной, так и нелинейной. Для линейной функции влияния зависимость дополнительной погрешности от влияющего фактора определяется по следующим формулам для абсолют- ной и относительной погрешности соответственно: 48 Θ доп = ± Θ осн ⋅ K вл ⋅ В изм − В н . у . B норм (4.6) или δ X доп = ± δ X осн ⋅ K вл ⋅ В изм − В н . у. B норм (4.7) Здесь приняты следующие условные обозначения: K вл — коэффициент влияния внешней величины на погрешность; В изм — влияющая величина в момент измерения; В н . у . — влияющая величина в начальных условиях; B норм — нормирующее значение влияющей величины. Предположим, что измерено значение тока 6,17 мА . По классу точности при- бора определена погрешность измерения: ± 0,015 мА . В техническом описании амперметра сказано, что дополнительная температур ная погрешность не пре - вышает половины основной при изменении температу ры на 10° С . Также необ- ходимо уточнить рабочий диапазон прибора (в данном случае рабочий темпера- турный диапазон). Пусть, например, он составит от 10° С до 30° С. Измерение произведено при температуре 37° С. Зная это, можно определить дополнитель- ную погрешность прибора по формуле (4.6) следующим образом: Θ доп = ± Θ осн ⋅ K вл ⋅ t изм − t н . у. t норм = ± 0,015 мА⋅ 1 2 ⋅ 37 °C − 30° C 10° C = ± 0,00525 ° C Теперь определим полную погрешность измерения, задавшись доверитель- ной вероятностью 0,95 (выбор уровня P ДОВ предоставляется экспериментатору, или же эта вероятность явно указана в МВИ или в условии задачи) и определив соответствующий коэффициент из таблицы 4.1, воспользовавшись формулой (4.1): Θ ∑ ( P ДОВ ) = ± K (P ДОВ )⋅ √ Θ осн 2 + Θ доп 2 = ± 1,1⋅ √ 0,015 2 + 0,00525 2 = ± 0,01748 мА Определим арифметическую сумму погрешностей: 49 Θ ∑ * = ± | 0,015 + 0,00525 | = ± 0,02025 мА За итоговую границу принимается меньшее значение погрешности: I изм = 6,17 мА ± 0,017 мА , P ДОВ = 0,95 Обратите внимание, что результат округлен, а также указана доверительная вероятность попадания истинного значения тока в доверительные границы по- грешности. 4.8 Пример суммирования НСП, заданных доверительными интервалами с разной доверительной вероятностью. Пусть имеется два доверительных интервала систематической погрешности Θ 1 ( P ДОВ , 1 ) = ± 1 мА и Θ 2 ( P ДОВ , 2 ) = ± 2 мА , заданных для разных доверительных вероятностей P ДОВ , 1 = 0,95 , P ДОВ , 2 = 0,99 . Требуется определить суммарную доверительную границу систематической погрешности для вероятности 0,95. Так как мы не имеем права суммировать доверительные интервалы, заданные для разной доверительной вероятности, то от доверительных границ погрешно- стей перейдем к предельным. Для этого по таблице 4.1 необходимо определить коэффициент, для которого была вычислена соответствующая доверительная граница. Θ 1 * = Θ 1 ( P ДОВ ,1 ) K (P ДОВ ,1) = 1 мА 1,1 = 0,90909 мА , Θ 2 * = Θ 2 ( P ДОВ ,2 ) K (P ДОВ ,2) = 2 мА 1,4 = 1,42857 мА Теперь можно воспользоваться формулой (4.1) и определить суммарный до- верительный интервал: Θ ∑ ( P ДОВ ) = ±1,1⋅ √ ( 0,90909 мА) 2 + ( 1,42857 мА ) 2 = ±1,86263 мА . Также эту задачу можно решить, напрямую воспользовавшись формулой (4.5): 50 Θ ∑ ( P ДОВ ) = ±1,1⋅ √ ( 1 мА 1,1 ) 2 + ( 2 мА 1,4 ) 2 = ± 1,8626 мА . 4.9 Суммирование случайных погрешностей. Суммирование случайных погрешностей требует знания оценок СКО каждой составляющей погрешности, а также знания коэффициента корреляции меж- ду ними (по поводу того, что такое коэффициент корреляции, см. соответствую- щий раздел теории вероятностей). В общем случае случайные погрешности суммируют, руководствуясь следую- щей формулой: S ∑ = √ ∑ i=1 n S i 2 + 2 ∑ i ≠ j n r i , j S i ⋅ S j , (4.8) где S i — СКП i -й составляющей; r i , j — коэффициент корреляции между i -й и j -й составляющей. Таким образом, случайные погрешности суммируются геометрически с уче - том корреляции. Определение точного значения коэффициента корреляции является достаточ- но сложной задачей, требующей большого количества измерений. Обычно точное значение r i , j определяют только в метрологических измерений. В технических же измерениях используют только три значения коэффициен - та корреляции: − 1 , 0 , +1 , причем уровень r i , j = ± 1 соответствует сильной (жесткой) корреляции, а уровень r i , j = 0 называют слабой корреляцией. Как указывалось выше, границей между сильной и слабой корреляцией считают уровень, когда мощность измерительного сигнала равна мощности помехи, r ГР = ± √ 0,5 ≈ 0,707 . Соответственно, если значение метрологического коэффи- циента корреляции меньше, чем уровень 0,707 , то в технических измерениях этот коэффициент принимают равным нулю. При превышении уровня 0,707 ко- 51 эффициенту присваивается значение + 1 или − 1 Если же коэффициент корреляции неизвестен из предварительного прове- денного метрологического исследования и не задан в МВИ, то при проведе нии из мерений следует просмотреть источники погрешности на пред мет логиче - ской взаимосвязи между собой. Например, колебания температуры в цехе приве- дут к аналогичным колебаниям температуры всех приборов и линий связи в этом цехе, поэтому корреляция дополнительных температурных погрешностей жесткая и положительная, r = +1 . Если среди случайных погрешностей не об - наружено логической взаимосвязи, то их следует считать некоррелированным - и, и для них r = 0 У суммирования жестко коррелированных погрешностей есть свои очевид- ные особенности. Рассмотрим их на примере суммирования двух составляю- щих. Для положительной жесткой корреляции: S ∑ = √ S 1 2 + S 2 2 + 2⋅(+1)⋅S 1 ⋅ S 2 = √ S 1 2 + 2 S 1 S 2 + S 2 2 = √ ( S 1 + S 2 ) 2 = S 1 + S 2 Для отрицательной жесткой корреляции: S ∑ = √ S 1 2 + S 2 2 + 2⋅(−1)⋅S 1 ⋅ S 2 = √ S 1 2 − 2 S 1 S 2 + S 2 2 = √ ( S 1 − S 2 ) 2 = | S 1 − S 2 | Таким образом, суммирование жестко коррелированных составляющих слу- чайной погрешности ведется алгебраически с учетом знака коэффициента кор- реляции между ними. Некоррелированные составляющие суммируются гео - метрически: S ∑ = √ S 1 2 + S 2 2 + 2⋅(0)⋅S 1 ⋅ S 2 = √ S 1 2 + S 2 2 Все вышеприведенные формулы справедливы для погрешностей, выражен - ных как в абсолютной, так и в относительной форме. Если случайные погрешности представлены доверительными интервалами с разной доверительной вероятностью, то сначала находят СКП отдельных со- 52 ставляющих, а затем определяют СКП по общим правилам: S i = Δ X ДОВ i ,случ t P ,n , i (4.9) 4.10 Пример суммирования погрешностей, заданных своими СКП. Рассмотрим суммирование случайных погрешностей на примере. Пусть про- веденное измерение содержало пять различных источников случайных погреш- ностей, оцененных своими СКП: S 1 = 6,18 Ом , S 2 = 5,14 Ом , S 3 = 9,33 Ом , S 4 = 6,76 Ом , S 5 = 7,79 Ом . Известна сильная положительная корреляция меж- ду первым и вторым источником погрешностей, а также между вторым и чет- вертым. Также задана сильная отрицательная корреляция между первым и тре- тьим источником погрешности, а также между четвертым и пятым. Все осталь- ные погрешности можно считать некоррелированными. Требуется найти сум- марную СКП. Для начала запишем коэффициенты корреляции: r 1,2 = + 1 , r 2,4 = + 1 , r 1,3 = − 1 , r 4,5 = − 1 Теперь воспользуемся формулой (4.8) для поиска суммарной СКП: S ∑ = √ S 1 2 + S 2 2 + S 3 2 + S 4 2 + S 5 2 + 2 r 1,2 S 1 S 2 + 2 r 2,4 S 2 S 4 + 2 r 1,3 S 1 S 3 + 2 r 4,5 S 4 S 5 = = ( 6,18 2 + 5,14 2 + 9,33 2 + 6,76 2 + 7,79 2 + 2⋅6,18⋅5,14 + 2⋅5,14⋅6,76 − 2⋅6,18⋅9,33 − − 2⋅6,76⋅7,79 ) 1 /2 = 13,05 (Ом) На этом пример суммирования случайных погрешностей закончен. 4.11 Пример суммирования случайных погрешностей, заданных довери- тельными интервалами с различной доверительной вероятностью Пусть по результатами 19 измерений получено значение тока I изм = 164,84 мА Пусть имеются три различных источников случайной погрешности, заданных своими доверительными интервалами: Δ I случ, 1 ( P ДОВ ,1 ) = 3 мА , P ДОВ , 1 = 0,95 , 53 Δ I случ, 2 ( P ДОВ,2 ) = 4 мА , P ДОВ , 2 = 0,98 , Δ I случ, 3 ( P ДОВ ,3 ) = 5 мА , P ДОВ , 3 = 0,99 . Известно, что погрешности независимы и распределены нормально. Требуется определить доверительную границу случайной погрешности для доверительной вероятно- сти P ДОВ = 0,99 Так как мы не можем суммировать доверительные интервалы с разными до- верительными вероятностями, то в первую очередь нужно перейти к точечным оценкам разброса (СКП), воспользовавшись формулой (4.9). Для этого нужно определить квантили распределения Стьюдента для 19 измерений и различных уровней доверительной вероятности, воспользовавшись соответствующей та- блицей математической статистики: для P ДОВ , 1 = 0,95 , n = 19: t P , n = 2,1009 , для P ДОВ , 2 = 0,98 , n = 19: t P , n = 2,5524 , для P ДОВ , 3 = 0,99 , n = 19: t P , n = 2,8784 Переходим от доверительных границ к СКП и суммируем по общим прави- лам (формула (4.8)), считая погрешности независимыми: S ∑ = √ ( 3 мА 2,1009 ) 2 + ( 4 мА 2,5524 ) 2 + ( 5 мА 2,8784 ) = 2,7409 мА . Определяем итоговый доверительный интервал суммарной случайной по- грешности для вероятности 0,99: Δ I случ,∑ ( P ДОВ ) = 2,8784 ⋅2,74095 мА = 7,88893 мА Ответ: I изм = 164,84 мА ± 7,88893 мА ≈ (165 ± 8) мА , P ДОВ = 0,99, n=19 4.12 Суммирование случайных и систематических погрешностей. Иногда после определения полной систематической и полной случайной по- грешности измерения на этом обработку результатов измерений останавливают, и отдельно указывают границы систематической погрешности (в виде НСП) и 54 случайной погрешности (в виде СКП). Такой подход применяется для эталонов и высокоточных средств измерения. В остальных случаях приводят единственное значение погрешности результа- та измерения. Для определения полной погрешности результата необходимо уметь суммировать случайную и систематическую составляющую погрешно- сти. С точки зрения математики, речь идет о композиции нормально и равно- мерно распределенных СВ. Примечание: в данном учебном курсе метрологии суммирование ведется со- гласно ГОСТ Р 8.736 -2011 с некоторыми упрощениями. При суммировании случайной и систематической погрешности в первую оче- редь нужно ответить на вопрос: а нельзя ли проигнорировать одну из состав - ляющих? Если одна из погрешностей сильно превышает другую, то влиянием второй составляющей, очевидно, можно пренебречь. В этом и заключается упрощение методики суммирования погрешности. Для ответа на вопрос «можно ли проигнорировать одну из составляющих?» требуется найти численное значение соотношения некоторых их параметров. В случае систематической погрешности таким параметром является ее довери- тельная граница Θ ∑ , а для случайной погрешности — S ¯ X ∑ . Возможно три слу- чая количественного соотношения между собой двух составляющих общей по- грешности в зависимости от соотношения Θ ∑ S ¯ X ∑ Первый случай. При значении Θ ∑ S ¯ X ∑ < 0,8 мы можем проигнорировать систе- матическую составляющую погрешности как незначительную в сравнении со случайной. В этом случае общая погрешность будет равна доверительному ин- тервалу случайной погрешности: Δ X ОБЩ = Δ X случ ( P ДОВ ) = t P ,n ⋅ S ¯ X ∑ = t P , n ⋅ S ∑ √ n 55 На практике это означает, что измерение проводится достаточно точным СИ, а разброс измерений вследствие влияния случайных факторов очень высок (или у нас имеется чрезвычайно диффузный объект измерений). Второй случай. При значении Θ ∑ S ¯ X ∑ > 8 мы можем отбросить случайную со- ставляющую погрешность как незначительную в сравнении с систематической. В этом случае общая погрешность будет равна доверительному интервалу си- стематической погрешности: Δ X ОБЩ = Δ X сист ( P ДОВ ) = Θ ∑ ( P ДОВ ) = K (P ДОВ )⋅ √ ∑ i=1 n Θ i 2 На этом допущении построены многие МВИ. Дело в том, что S ¯ X ∑ = S ∑ √ n , то есть с увеличением числа измерений мы уменьшаем разброс действительного значения результата измерений. Таким образом, можно задаться достаточно большим числом измерений и указать, что все эти измерений должны быть про- ведены СИ определенного класса точности или выше, после чего смело проигнорировать случайную погрешность измерений, зная, что она как мини- мум в 8 раз меньше систематической (например, провести 15 измерений прибо- ром класса точности 0,5 или выше; за результат измерений принять среднее арифметическое серии измерений; за погрешность результата принять инстру- ментальную погрешность СИ, определенную по его классу точности). Третий случай. При значении 0,8 ≤ Θ ∑ S ∑ ¯ X ≤ 8 мы не можем проигнориро- вать ни одну из составляющих погрешностей и вынуждены учитывать их обе при расчете доверительной границы результата. Расчет производится следую- щим образом: Δ X ОБЩ ( P ДОВ ) = K⋅S общ , где K — эмпирический коэффициент, определяемый по формуле |