Конспект лекций по технической механике Техническая механика

• Название: Конспект лекций по технической механике Техническая механика
• Дата: 30.08.2022
• Размер: 3.99 Mb.
• Имя файла: TM.pdf
• Тип: Конспект лекций; #656648
• страница: 10 из 14

дифференциальных уравнений движения системы в векторном виде
i
e
F
F
dt
r
d
m
a
m
1 1
2 1
2 1
1 1



i
e
F
F
dt
r
d
m
a
m
2 2
2 2
2 2
2 2



i
n
e
n
n
n
n
n
F
F
dt
r
d
m
a
m



2 2
Общие теоремы динамики
Теорема о движении центра масс механической системы.
Масса системы равняется алгебраической сумме масс всех точек или тел системы



k
n
n
m
M
1
, где М - масса механической системы,
n
m
- масса
n
- точки системы.
В однородном поле тяжести, для которого
const
g

, вес любой частицы тела пропорционален его массе. Поэтому распределение масс в теле можно определить по положению его центра тяжести – геометрической точки
С (
C
C
C
Z
Y
X
,
,
), называемой центром масс или центром инерции механической системы:
1
k
n
n
n
c
m
x
X
m




,
1
k
n
n
n
c
m
y
Y
m




,

Конспект лекций по технической механике
Техническая механика http://bcoreanda.com
87 1
k
n
n
n
c
m
z
Z
m




Теорема: центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.
Выводы:
Механическую систему или твердое тело можно рассматривать как материальную точку в зависимости от характера ее движения, а не от ее размеров.
Внутренние силы не учитываются теоремой о движении центра масс.
Теорема о движении центра масс не характеризует вращательное движение механической системы, а только поступательное.
Теорема об изменении количества движения.
Количество движения материальной точки – векторная величина
)
(
V
m

, равная произведению массы точки на вектор ее скорости.
Единицей измерения количества движения является (кг·м/с).
Количество движения механической системы – векторная величина
K
, равная геометрической сумме (главному вектору) количества движения всех точек системы.




k
n
n
n
V
m
Q
1
или количество движения системы равняется произведению массы всей системы на скорость ее центра масс
C
V
M
Q


Когда тело (или система) движется так, что ее центр масс остается неподвижным
0

C
V
, то количество движения тела равно нулю
0

Q
(например, вращение тела вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс тела).
Если движение тела сложное, то
Q
не будет характеризовать вращательную часть движения при вращении вокруг центра масс. Т.е.,
количество движения
Q
характеризует только поступательное движение
системы (вместе с центром масс).
Импульс силы характеризует действие силы за некоторый промежуток времени.
Импульс
S
силы
F
за конечный промежуток времени
1
t
определяется как интегральная сумма соответствующих элементарных импульсов

Конспект лекций по технической механике
Техническая механика http://bcoreanda.com
88



1 0
t
dt
F
S
Проекции импульса силы на оси координат:



1 0
t
X
X
dt
F
S
,



1 0
t
Y
Y
dt
F
S
,



1 0
t
Z
Z
dt
F
S
Единица измерения импульса силы (
с
м
кг

).
Теорема об изменении количества движения материальной точки
(в дифференциальной форме):
Производная по времени от количества движения материальной точки равна геометрической сумме действующих на точку сил.



k
n
n
F
dt
V
m
d
1
)
(
Теорема об изменении количества движения материальной точки
(в интегральной форме):
Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за этот промежуток времени.




k
n
n
S
V
m
V
m
1 0
1
Теорема об изменении количества движения механической
системы
(в дифференциальной форме):
Производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.



k
n
n
e
F
dt
Q
d
1
Теорема об изменении количества движения механической
системы
(в интегральной форме):
Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.




k
n
n
e
S
Q
Q
1 0
1
Закон сохранения количества движения системы.
1. Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равняется нулю, то вектор количества движения системы будет постоянным по направлению и по модулю.

Конспект лекций по технической механике
Техническая механика http://bcoreanda.com
89 2. Если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую- нибудь произвольную ось равна нулю, то проекция количества движения на эту ось является величиной постоянной.
Законы сохранения свидетельствуют, что внутренние силы не могут изменить суммарное количество движения системы.
Теорема об изменении момента количества движения.
Момент количества движения точки М относительно центра О − это вектор
O
L
, направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через вектор количества движения (
V
m
) и центр О в ту сторону, откуда поворот вектора (
V
m
) относительно центра О виден против часовой стрелки и равный:
mV
r
L
O


Модуль вектора
O
L
равняется
h
V
m
L
O



, где
h
- плечо от центра О к вектору (
V
m
).
Момент количества движения
Z
L
точки М относительно оси
OZ
равняется произведению проекции вектора
(
V
m
) на плоскость перпендикулярную оси
OZ
, на плечо этой проекции относительно точки О пересечения оси с плоскостью.
h
mV
L
пр
Z


где
пр
mV
- проекция вектора
V
m
на плоскость
)
( XY
,
h
- плечо
Аналитическое выражение моментов количества движения точки относительно осей координат:
y
Z
X
mV
z
mV
y
L




,
Z
X
Y
mV
x
mV
z
L




,
X
Y
Z
mV
y
mV
x
L




, где
z
y
x
,
,
- координаты точки М, которая движется;
Z
Y
X
V
V
V
,
,
- проекции скорости точки на соответствующие координатные оси.
Теорема (относительно центра)
Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторого неподвижного центра равняется геометрической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно того же центра.
О
М
h

Конспект лекций по технической механике
Техническая механика http://bcoreanda.com
90



k
n
n
O
O
F
M
dt
dL
1
)
(
Теорема (относительно оси).
Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторой неподвижной оси равняется алгебраической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно этой же оси.



k
n
n
Z
Z
F
M
dt
dL
1
)
(
Законы сохранения момента количества движения.
1. Если линия действия равнодействующей приложенных к материальной точке сил все время проходит через некоторый неподвижный центр, то момент количества движения материальной точки остается постоянным.
2. Если момент равнодействующей приложенных к материальной точке сил относительно некоторой оси все время равняется нулю, то момент количества движения материальной точки относительно этой же оси остается постоянным.
Кинетическим моментом или главным моментом количества
движения механической системы относительно центра называют вектор, который равняется геометрической сумме моментов количества движения всех материальных точек системы относительно этого же центра.







k
n
n
n
n
k
n
On
O
V
m
r
L
L
1 1
)
(
Кинетическим моментом или главным моментом количеств движения механической системы относительно оси называют алгебраическую сумму моментов количеств движения всех материальных точек относительно той же оси



k
n
nZ
Z
L
L
1
Проекция кинетического момента механической системы относительно центра О на ось, проходящую через этот центр, равняется кинетическому моменту системы относительно этой оси
)
,
cos(
k
L
L
L
O
O
Z


Теорема об изменении главного момента количества движения
системы
(относительно центра) – теорема моментов

Конспект лекций по технической механике
Техническая механика http://bcoreanda.com
91
Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра геометрически равняется главному моменту внешних сил, действующих на эту систему, относительно того же центра.
e
O
k
n
e
nO
k
n
e
n
O
O
M
M
F
M
dt
dL







1 1
)
(
В проекциях на оси координат:
e
X
k
n
e
nX
X
M
M
dt
dL




1
,
e
Y
k
n
e
nY
Y
M
M
dt
dL




1
,
e
Z
k
n
e
nZ
Z
M
M
dt
dL




1
где
Z
Y
X
L
L
L
,
,
- кинетические моменты механической системы относительно координатных осей;
e
X
M
,
e
Y
M
,
e
Z
M
- главные моменты внешних сил относительно этих осей.
Теорема об изменении кинетического момента механической
системы (относительно оси).
Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой оси равняется главному моменту внешних сил относительно этой же оси.
e
X
X
M
dt
dL

Теорема моментов имеет большое значение при изучении вращательного движения тел и разрешает не учитывать заведомо неизвестные внутренние силы.
Законы сохранения кинетического момента механической
системы.
1. Если главный момент внешних сил относительно некоторого неподвижного центра все время равняется нулю, то кинетический момент механической системы относительно этого центра величина постоянная.
2. Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси равняется нулю, то кинетический момент механической системы относительно этой же оси величина постоянная.

Конспект лекций по технической механике
Техническая механика http://bcoreanda.com
92
Внутренние силы не могут изменить главный момент количества движения системы.
Случай вращающейся системы.
Для вращающейся вокруг неподвижной оси
OZ
(или оси, проходящей через центр масс) системы, кинетический момент относительно оси вращения равняется произведению момента инерции относительно этой оси на угловую скорость



Z
Z
J
L
Дифференциальное уравнение вращательного движения:
1
k
Z
nZ
n
J
M


 

Теорема об изменении кинетической энергии.
Кинетическая энергия это способность тела преодолевать препятствование во время движения.
Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.
2 2
mV
T

Кинетическая энергия:

характеризует и поступательное и вращательное движения;

не зависит от направления движения точек системы и не характеризует изменение этих направлений;

характеризует действие и внутренних, и внешних сил.
Кинетическая энергия системы равняется сумме кинетических энергий тел составляющих систему



k
n
n
T
T
1
Кинетическая энергия зависит от вида движения тел системы.
Теорема Кьонига (о кинетической энергии системы).
Кинетическая энергия механической системы равняется сумме кинетической энергии центра масс системы, масса которого равна массе системы, и кинетической энергии системы в ее относительном движении относительно центра масс.

Конспект лекций по технической механике
Техническая механика http://bcoreanda.com
93




k
n
nr
n
C
V
m
MV
T
1 2
2 2
2 1
, где
nr
V
- относительная скорость точки.
Кинетическая энергия зависит от вида движения тел системы.
Определение кинетической энергии твердого тела при
разных видах движения движениях.
Кинетическая энергия поступательного движения
2 2
mV
T

Кинетическая энергия вращательного движения тела равняется половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости:
2 2



Z
J
T
Кинетическая энергия плоскопаралельного движения тела
2 2
2 2
C
C
J
M V
T






, где
2 2
C
V
M

- кинетическая энергия тела в поступательном движении вместе с центром масс,
2 2



C
J
- кинетическая энергия при вращении тела вокруг подвижной оси
C

, проходящей через центр масс,
C

- ось, проходящая через центр масс и перпендикулярная базовой плоскости,
М – масса системы,
C
V
- скорость центра масс,

C
J
- момент инерции тела относительно оси
C

,

- угловая скорость вращения вокруг оси

C
Работа силы.
Работа силы характеризует действие силы на тело при некотором перемещении и определяет изменение модуля скорости подвижной точки.

Конспект лекций по технической механике
Техническая механика http://bcoreanda.com
94
Элементарная работа силы определяется как скалярная величина
dA
, равная произведению проекции силы

F
на касательную к траектории, направленную в направлении движения точки, на бесконечно малое перемещение
ds
точки, направленное вдоль этой касательной.
ds
F
dA





cos


F
F
- проекция силы
F
на вектор перемещения и скорости. .
Аналитическое выражение элементарной работы:
dz
F
dy
F
dx
F
dA
Z
Y
X



где
Z
Y
X
F
F
F
,
,
- проекции силы на оси координат,
dz
dy
dx
,
,
- элементарные перемещения относительно координатных осей.