Конспект лекций по технической механике Техническая механика
 Скачать 3.99 Mb.
|
|
Вторая теория прочности – теория наибольших деформаций (целесообразна для хрупкого состояния материала): 3 2 1 екв Третья теория прочности – теория наибольших касательных напряжений (целесообразна для пластичных и хрупких материалов) 3 1 екв Четвертая теория прочности – энергетическая теория формоизменения (целесообразна для пластичных материалов): 3 1 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1 екв 1 2 3 экв пред = заменяем сравниваем Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 60 Изгиб с кручением Часто встречаются случаи нагружения бруса, когда в поперечных сечениях одновременно действуют несколько силовых факторов (сложное сопротивление). При расчетах на сложное сопротивление выходят из принципа независимости действия сил, т.е. считают, что влиянием деформаций, вызванных одной из приложенных к упругой системе нагрузок, на результат действия других можно пренебрегать. На диск, закрепленный на конце бруса, действует сила F. Приложим в точке О две равные и противоположно направленные силы F. Действие силы на брус можно представить крутящим моментом пары сил и силой F , приложенной в точке О и вызывающей поперечный изгиб. Опасное сечение определяется по эпюрам крутящих и изгибающих моментов. Крутящий момент вызывает только касательные напряжения , максимального значения которые достигают в точках контура поперечного сечения. Изгибающий момент действует в горизонтальной плоскости, наибольшие напряжения на концах горизонтального диаметра. Для вывода о прочности необходимо определить главные нормальные и касательные напряжения. О l R T М и А Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 61 В точке А наблюдается плоское напряженное состояние с главными напряжениями: 2 2 max 1 4 2 1 0 2 2 2 min 3 4 2 1 Экстремальные значения касательных напряжений: 2 2 1 min max 2 2 max min Для проверки прочности используют теории прочности. Чаще всего третью x k u экв W M M 2 2 2 2 4 или четвертую x k u экв W M M 2 2 2 2 75 , 0 3 Пример. Проверить вал диаметром 20 мм на прочность, если F t1 = 200H, F t2 = 600H, F r1 = 50H, F r2 = 200H, Т = 10Нм, a = 20 мм, b = 10 мм, с = 20 мм материал сталь 40Х, для которой [ ]=50 МПа: 7,2 8,8 1 2 10 R Abep R Bbep R Brop F r1 F t2 F t1 F r2 a b F t1 F r2 F r2 с А В D С ,Нм ,Нм , Нм Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 62 Рассмотрим отдельно изгиб и кручение, при чем, изгиб в двух плоскостях. Будем считать, что окружные силы t F действуют в вертикальной плоскости, а радиальные r F - в горизонтальной. Реакции в опорах определяем из уравнений равновесия. В вертикальной плоскости: 0 A M 0 2 1 b a F a F c b a R t t B bep , отсюда: c b a b a F a F R t t B bep 1 440 50 30 600 20 200 bep B R Н. 0 B M 0 2 1 c F c b F c b a R t t A bep , отсюда: c b a c F c b F R t t A bep 2 1 360 50 20 600 30 200 bep A R Н. В горизонтальной плоскости 0 A M 0 2 1 b a F a F c b a R r r B гор , отсюда: c b a a F b a F R r r B гор 1 2 100 50 20 50 30 200 гор B R Н. 0 B M 0 2 1 c F c b F c b a R r r A гор , отсюда: c b a c b F c F R r r A гор 1 2 50 50 30 50 20 200 гор A R Н. Строим эпюры изгибающих и крутящих моментов. На вал действуют только сосредоточенные силы, в этом случае изгибающие моменты на опорах равны нулю и изменяются по линейным законам. Поэтому для построения эпюр изгибающих моментов необходимо вычислить их значение в точках С и D. Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 63 a R M bep bep A C 2 , 7 02 , 0 360 bep C M Н м a R M гор гор A C 1 02 , 0 50 гор C M Н м c R M bep bep B D 8 , 8 02 , 0 440 bep D M Н м c R M гор гор B D 2 02 , 0 100 гор D M Н м По полученным результатам строим эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях, а также эпюру крутящего момента, который равняется Т, и действует между точками С и D. Из построенных эпюр видно, что, с точки зрения прочности, наиболее опасным является сечение в точке D, где действуют максимальные изгибающие моменты. Определяем приведенный момент в расчетном сечении, используя III теорию прочности наибольших касательных напряжений: 2 2 2 2 T M M M гор bep D D пр 5 13 10 2 8 , 8 2 2 2 пр M Н м. Эквивалентные напряжения: 3 1 , 0 d М W М пр пр экв МПа МПа экв 50 9 , 16 02 , 0 1 , 0 5 13 3 Прочность вала достаточная. Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 64 КИНЕМАТИКА Кинематика точки. Траектория движения точки. Кинематика рассматривает движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, т.е. без учета сил, вызывающих это движение. Механическим движением тела называется изменение его положения относительно другого тела, происходящее в пространстве с течением времени. Под точкой понимают тело, размерами которого при решении задачи можно пренебречь. Задать способ описания движения точки означает установить совокупность таких параметров, с помощью которых можно однозначно установить положение точки в пространстве в любой момент времени относительно выбранной системы отсчета. Траектория движения – это линия, которую описывает подвижная точка относительно выбранной системы отсчета. По виду траектории можно охарактеризовать вид движения точки. 1. Если, траектория движения точки прямая линия, движение называется прямолинейным. 2. Если, траектория движения точки кривая линия, движение называется криволинейным. Для задания движения точки существует 3 способа: 1. векторный; 2. координатный; 3. естественный. Способы задания движения точки Векторный способ задания движения точки. Положение точки в любой момент времени можно определить с помощью вектора r , проведенного из начала отсчета О в подвижную точку М. Вектор r называется радиус – вектор точки М – вектор, проведенный из неподвижной точки пространства в подвижную. z x y Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 65 Закон движения точки в векторной форме. ) (t r r Относительно координатных осей уравнения движения точки в векторной форме: k z j y i x r Геометрическое место конечных точек радиус-вектора r - годограф этого вектора – определяет траекторию движения точки. Координатный способ задания движения точки. Определение траектории точки. Закон движения точки при координатном способе задачи движения в декартовой системе отсчета (можно выбрать любую систему координат, например, полярную, сферическую и т.д.) ) ( 1 t f x , ) ( 2 t f y , ) ( 3 t f z Уравнение движения представляют собой одновременно уравнение траектории точки в параметрической форме, где параметром является время t Естественный способ задания движения точки. Для задачи движения точки натуральным способом надо знать: 1. траекторию точки (АВ); 2. начало отсчета дуговой координаты на траектории (т. О); 3. положительное и отрицательное направление отсчета дуговой координаты( ); 4. закон движения точки вдоль траектории ( ) f t Положение точки М на траектории АВ будет однозначно установлено в каждый момент времени криволинейной (дуговой) координатой =ОМ – расстояние от неподвижной точки О до точки М вдоль дуги траектории с соответствующим знаком. Закон движения точки вдоль траектории: ( ) f t O M A B + Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 66 Скорость точки. Скорость точки – одна из основных кинематических характеристик движения, векторная величина, которая характеризует быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета. Каждому положению точки М и М 1 в моменты времени t и 1 t соответствует значение радиуса- вектора ) (t r и ) ( 1 1 t r , тогда t t t 1 Вектор перемещения точки 1 MM за промежуток время t направлен по хорде, Средней скоростью точки называется векторная величина, которая равняется отношению вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени: t r t MM V СР 1 Направление вектору CP V совпадает с вектором перемещения 1 MM Скорость точки в данный момент времени – это векторная величина, которая равняется первой производной от радиус-вектора точки по времени: d r V r dt Вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. Единицей измерения скорости является 1 м/с. Определение скорости по проекциям на оси координат. При координатном способе задания движения точки проекции скорости на оси координат определяются как первые производные от соответствующих координат точки по времени: x dx V x dt , y dy V y dt , z dz V z dt Модуль вектора скорости равняется: 2 2 2 z y x V V V V Направление вектора скорости: V V i V x ) , cos( , V V j V y ) , cos( , V V k V z ) , cos( М М 1 Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 67 Определение скорости точки при естественном способе задания движения точки. Алгебраическая (численная) величина скорости точки в данный момент времени равняется первой производной от дуговой координаты точки по времени: d V dt Алгебраическая (численная) величина скорости определяет одновременно и модуль вектора скорости и направление (по знаку производной). Путь, пройденный точкой за промежуток времени 1 2 , t t , определяется с помощью интеграла 2 1 t t S dt Дуговую координату t не следует отождествлять с длиной пути. Ускорение точки. Ускорением точки в данный момент времени называются первую производную скорости по времени или вторую производную радиус-вектора точки по времени 2 2 dt r d dt V d a a V r При координатном способе задания движения проекции вектора ускорения точки в данный момент времени определяются как первые производные от проекций скорости или вторые производные от координат точки по времени: 2 2 dt x d dt dV a x x , 2 2 dt y d dt dV a y y , 2 2 dt z d dt dV a z z x x a V x , y y a V y , z z a V z Модуль вектора ускорения равняется: 2 2 2 z y x a a a a Направление ускорения: a a i a x ) , cos( , a a j a y ) cos( , a a k a z ) , cos( Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 68 Единицы измерения ускорения 1 м/с 2 Касательное и нормальное ускорение. Касательным (тангенциальным) ускорением a точки называется проекция ускорения точки на касательную к траектории, т.е. на вектор скорости. Касательное ускорение равняется первой производной от алгебраической величины скорости или второй производной от дуговой координаты s за временем: 2 2 dt s d dt dV a a V В практических расчетах касательное ускорение часто определяют по формуле xx yy zz a V Касательное ускорение характеризует изменение скорости точки |