Конспект лекций по технической механике Техническая механика
 Скачать 3.99 Mb.
|
|
Вращательная скорость точки М в ее вращении вокруг полюса А: MA V MA где − угловая скорость вращательного движения тела вокруг полюса. Вектор MA V направлен по касательной к окружности радиуса МА, по которой вращается точка М вокруг полюса А, т.е. MA V MA в направлении вращения. Модуль и направление скорости M V находится построением соответствующего параллелограмма. А – полюс, A V - скорость поступательного движения полюса - угловая скорость тела MA V MA , MA V MA MA A M V V V Мгновенный центр скоростей (МЦС). Покажем на рисунке распределение скоростей, из эпюры скоростей видно, что в теле существует точка (Р), скорость которой в данный момент времени равно нулю MA A V V Мгновенный центр скоростей (МЦС – точка Р) - точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю 0 P V МЦС плоской фигуры находится на перпендикуляре к направлению скорости полюса A V на расстоянии, которое равняется A V МЦС рассматривается в качестве полюса. А М А V V Р Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 78 1. Скорость произвольной точки тела, которая принадлежит плоской фигуре, равняется ее вращательной скорости вокруг мгновенного центра скоростей: AP A V V , Модуль скорости произвольной точки А равняется произведению угловой скорости тела на длину отрезка от точки до МЦС AP V A Вектор A V направлен перпендикулярно к отрезку от точки до МЦС в направлении вращения тела: AP V A 2. Модули скоростей точек тела пропорциональны их расстояниям до МЦС. C A B V V V AP BP CP Случаи определения мгновенного центра скоростей. 1. Если известны скорость одной точки тела A V , угловая скорость вращения тела , то для нахождения МЦС (Р) необходимо повернуть вектор A V в сторону вращения на 90 0 и на найденном луче отложить отрезок АР, который равняется: АР = A V 2. Если скорости двух точек тела параллельны и перпендикулярны прямой, которая проходит через эти точки, то МЦС находится в точке пересечения этой прямой и прямой, которая соединяет концы векторов скоростей А Р(МЦШ) Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 79 3.Если известны направления скоростей двух точек тела и их направления не параллельны, то МЦС находится в точке Р пересечения перпендикуляров, проведенных к скоростям в этих точках. В случаях 2 и 3 возможные исключения (мгновенно поступательное движение или мгновенный покой). 4. Если колесо катится по недвижимой поверхности без скольжения, то МЦС (Р) находится в точке соприкосновения колеса с недвижимой поверхностью. Плоскопараллельное движение можно считать сложным движением А В Р(МЦС) Р(МЦС) А В Напр Напр А В Р(МЦС) А В А В Р(МЦС) Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 80 Сложное движение точки Сложным движением точки называется такое движение, при котором точка одновременно принимает участие в нескольких движениях. (О 1 х 1 y 1 z 1 ) − неподвижная (абсолютная) система отсчета (Охуz) – подвижная (относительная) система отсчета Точка М движется относительно двух систем отсчета. АВ – траектория точки относительно подвижной системы (Охуz). А 1 В 1 - траектория точки относительно неподвижной системы (О 1 х 1 y 1 z 1 ). А / В / - траектория точки вместе с подвижной системой (переносящей средой) относительно неподвижной системы отсчета Относительным движением называется движение точки относительно подвижной системы отсчета. АВ – относительная траектория (траектория движения точки в ее относительном движении). r V − относительная скорость точки (скорость по отношению к подвижной системе отсчета, направленная по касательной к соответствующей относительной траектории АВ в направлении движения). r a − относительное ускорение (ускорение точки в относительном движении). Переносным движением называется движение, которое создает подвижная система (переносящая среда) отсчета вместе с точкой относительно неподвижной системы отсчета. А / В / − переносная траектория (траектория движения точки в ее переносном движении). e V − переносная скорость (скорость точки вместе с подвижной системой по отношению к неподвижной системе отсчета, направленная по касательной к соответствующей переносной траектории А / В / в направлении движения). e a − переносное ускорение (ускорение точки вместе с подвижной системой по отношению к недвижимой системе отсчета). Абсолютным движением называется движение точки относительно недвижимой системы отсчета. А 1 В 1 − абсолютная траектория (траектория движения точки относительно неподвижной системы отсчета). x 1 O 1 y 1 x y O M A A / B / B A 1 В 1 V r V а V е z 1 z Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 81 a V − абсолютная скорость (скорость точки по отношению к недвижимой системе отсчета, направленная по касательной к соответствующей абсолютной траектории А 1 В 1 в направлении движения). a a − абсолютное ускорение (ускорение точки в абсолютном движении). Вывод: Абсолютное движение точки является сложным движением, т.к. состоит из относительного и переносного движений. Определение скоростей точки. При сложном движении абсолютная скорость точки равняется геометрической сумме ее относительной и переносной скоростей. a r e V V V Модуль абсолютной скорости: 2 2 2 a r e r e V V V V V соs Если 0 П B A V V V Если O 90 2 2 ) ( ) ( П B A V V V Определение ускорений точки. Абсолютное ускорение точки равняется геометрической сумме трех векторов: относительного ускорения r a , характеризующего изменение относительной скорости в относительном движении; переносного ускорения e a , характеризующего изменение переносной скорости точки в переносном A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 82 движении, и ускорения Кориолиса c a , характеризующего изменение относительной скорости точки в переносном движении и переносной скорости в относительном движении. a e r c a a a a Ускорением Кориолиса точки называется двойное векторное произведение угловой скорости переносящей среды и относительной скорости точки. 2 c r a V Свойства ускорения Кориолиса Модуль ускорения Кориолиса определяется, как удвоенное векторное произведению угловой скорости переносного движения и величины относительной скорости точки r V : 2 sin c r a V Вектор ускорения Кориолиса направлен перпендикулярно плоскости, которая проходит через векторы и r V , в том направлении, откуда кратчайшее наложение этих векторов видно против часовой стрелки. Если векторы и r V взаимно перпендикулярны, направление ускорения Кориолиса определяют по правилу Жуковского: Ускорение Кориолиса направлено так, как вектор относительной скорости точки, повернутый на 90 0 в направлении переносного вращения. Ускорение Кориолиса равняется нулю, когда: 1 Переносящая среда движется поступательно или имеет место моментальная остановка вращения переносящей среды (или изменение направления движения) ( = 0); 2 Относительная скорость точки 0 r V в данный момент времени равна нулю (относительный мгновенный покой). 3 Относительная скорость точки r V в данный момент времени параллельна угловой скорости переносящей среды. Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 83 ДИНАМИКА Динамика - это раздел теоретической механики, в котором изучаются законы движения материальных тел в зависимости от действующих на них сил. Основные законы динамики (законы Галилея-Ньютона). 1. Закон инерции (І закон Галилея). Материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до того времени, пока приложенные силы не изменят это состояние. Инертность - способность тела сохранять скорость своего движения неизменной, т.е. сохранять полученное ранее механическое движение. Движение, которое совершает точка при отсутствии сил, называется движением по инерции. Инерционными системами отсчета (условно неподвижными) называют системы отсчета, относительно которых происходит движение тел с течением времени и выполняется закон инерции. 2. Закон пропорциональности силы и ускорения (основной закон динамики). Ускорение материальной точки пропорционально приложенной силе и имеет одинаковое с ней направление. a m F Количественной мерой инертности материальной точки или тела при поступательном движении является ее масса ( m ). Единица измерения массы 1 кг. Мерой инертности тела при вращательном движении является момент инерции Z J Момент инерции тела относительно оси Z J (осевой момент инерции) – скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний i до оси: k n n n Z i m J 1 2 ) ( , где i - радиус инерции тела или точки тела - расстояние от точки до оси вращения. Единицей измерения момента инерции считают (кг м 2 ). Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 84 3. Закон равенства действия и противодействия. Каждому действия соответствует равное по модулю и противоположное по направлению противодействие. Динамика точки Дифференциальные уравнения свободной материальной точки. Свободная материальная точка М известной массы m , движется под действием системы сил n F F F , , 2 1 , равнодействующая системы k n n F F 1 Ускорения, которое придает система сил точке, является суммарным вектором k n n a a 1 , направленным по вектору равнодействующей. Основное уравнение динамики для системы сил: 1 2 n m a F F F Дифференциальные уравнения движения материальной точки: 1 2 1 k x x nx nx n m x F F F F 1 2 1 k y y ny ny n m y F F F F 1 2 1 k z z nz nz n m z F F F F где x , y , z - проекции ускорения a на координатные оси, nz ny nx z Y X Z Y X F F F F F F F F F , , , , , , , 2 2 2 1 1 1 - проекции сил n F F F , , 2 1 на координатные оси. Две задачи динамики точки. Первая задача динамики (прямая). Дано: масса точки m и уравнение ее движения ) ( 1 t f x , ) ( 2 t f y , ) ( 3 t f z , Определить модуль и направление равнодействующей сил, приложенных к точке. Решение первой задачи динамики проводится методом двойного дифференцирования уравнений движения по времени. Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 85 Вторая задача динамики (обратная, основная). Дано масса точки m , силы, действующие на точку, а также начальное положение ( 0 0 0 , , Z Y X ) и начальная скорость ( 0 0 0 , , X Y Z ), Определить закон движения ) ( 1 t f x , ) ( 2 t f y , ) ( 3 t f z Решение второй задачи динамики осуществляется методом интегрирования (двойного по времени) дифференциальных уравнений при известных начальных условиях. Динамика твердого тела Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение и движение каждой точки (или тела) зависит от положения и движения остальных. Материальное тело рассматривается, как система материальных точек (частиц), которые образуют это тело. Классификация сил, действующих на механическую систему. Внешними e n F называются такие силы, которые действуют на точки или тела механической системы со стороны точек или тел, которые не принадлежат данной системе. Внутренними i n F , называют такие силы, которые действуют на точки или тела механической системы со стороны точек или тел той же системы, т.е. с которыми точки или тела данной системы взаимодействуют между собой. Внешние и внутренние силы системы, в свою очередь могут быть активными и реактивными. Свойства внутренних сил. 1) Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равняется нулю 0 1 k n i n F 2) Сумма моментов (главный вектор) всех внутренних сил системы относительно какого-нибудь центра или оси равняется нулю k n i n O F M 1 0 ) ( Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 86 Дифференциальные уравнения движения механической системы. Система n - материальных точек М 1 , М 2 ,..М n , масса каждой точки соответственно n m , находится под действием приложенных к точкам внешних и внутренних сил. Равнодействующие сил соответственно e n F и i n F . Основное уравнение динамики для каждой точки i n e n n n n F F dt r d m a m 2 2 Для механической системы n - материальных точек будет получено n - |