Конспект лекций по технической механике Техническая механика
 Скачать 3.99 Mb.
|
|
Прочность при изгибе Нормальные напряжения. Расчет на прочность. Нормальные напряжения зависят только от изгибающего момента, а касательные только от поперечной силы. Это позволяет упростить расчет нормальных напряжений для частного случая чистого изгиба, когда Q = 0. Если подвергнуть плоскому изгибу брус с нанесенной на его поверхность сеткой, то наблюдаются следующие факты: 1) линии И и ІІ-ІІ на поверхности балки после деформирования повернутся на некоторый угол d , оставаясь прямым, т.е. поперечные сечения плоские до деформирования остаются плоскими и после деформирования (гипотеза плоский сечений); 2) волокно ab на выпуклой стороне удлиняется (волокно растягивается), а волокно ef сокращается (сжимается), длина волокна cd остается без изменений (не испытывает ни растяжения, ни сжатия) Волокна, не изменяющие своей длины, образуют нейтральный слой. Линии пересечения нейтрального слоя с плоскостью сечения балки называется нейтральная ось. Нормальные напряжения в любой точке сечения можно найти по формуле: y I M x Расчет балок на прочность проводится по максимальным нормальным напряжениям, возникающим в тех поперечных сечениях, где наибольший изгибающий момент. Для балок пластичных материалов (механические характеристики при растяжении и сжатии одинаковые) условие прочности: max x max y I M В случае симметричного сечения относительно нейтральной оси: x max W M , Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 51 где max x x y I W – осевой момент сопротивления (величина, которая зависит от формы и размеров сечения). круг 32 3 d W x ; квадрат 6 3 a W x ; прямоугольник 6 2 bh W x ; двутавр, швеллер из сортамента. Для балок из хрупких материалов составляют два условия прочности: – для зоны растяжения: p p x max y I M ; – для зоны сжатия: c c x max y I M Распределение нормальных нагрузок по сечению таково, что часть материала, находящегося около нейтральной оси, почти не нагружена. Наиболее целесообразно использовать двухтавровое поперечное сечение, для которого с наименьшими затратами материала можно получить наибольший момент сопротивления. Выбор сечения При растяжении наибольшие нормальные напряжения находятся на максимальном расстоянии от нейтральной оси и равны max max u u x M W , а возле нейтральной оси материал нагружен мало. Момент сопротивления сечения max u x M W Пример 2: Для балки пример 1 подобрать поперечное сечение. 1. Выбираем двутавровое сечение, для которого момент сопротивления сечения 3 3 3 3 6 216 10 1,35 10 1350 160 10 x W м см Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 52 По сортаменту ГОСТ 8239-87 выбираем двутавровую балку, с 3 3 1589 1350 x W см см и площадью поперечного сечения 2 100 дв A см 2. Выбираем круглое сечение 3 32 x d W Диаметр вала 3 3 32 32 1350 24 x W d d см Площадь поперечного сечения 2 2 2 24 450 4 4 кр d A см 3. Выбираем квадратное сечение со стороной а 3 2 3 3 6 6 1350 20 6 x кв x кв a W a W a см Площадь поперечного сечения 2 2 20 400 кв A см Сравним вес балок разногом сечения G mg V g Al g Так как материал и длина балок одинакова, то 450 4,5 100 кр дв A A 400 4, 0 100 кв дв A A Вывод: вес балки круглого сечения в 4,5 раза больше, чем вес балки двутаврового профиля. Вес балки квадратного сечения в 4 раза больше, следовательно, самое экономичное сечение – двутавровое. Кроме того, нормальные напряжения распределены таким образом, вблизи центра тяжести материал мало нагружен, напряжения увеличиваются по мере удаления от нейтрального слоя. Таким образом, наиболее целесообразно применять балки с двутавровым профилем сечения. Касательные напряжения при изгибе В общем случае изгиба (при поперечном изгибе) в поперечном сечении балки возникают изгибающие моменты и поперечные силы. Наличие поперечной силы связано с возникновением касательных напряжений в поперечных сечениях балки, а по закону парности касательных напряжений и в ее продольных сечениях. Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 53 Рассмотрим балку прямоугольного сечения небольшой ширины. Вырежем из балки элемент длиной dx и шириной, равной ширине балки b. На этот элемент действуют следующие силы: – на гране 344 / 3/ и 122 / 1/ действуют нормальные и касательные напряжения; – на гране 322 / 3/ действуют только касательные напряжения, по закону парности равные касательным напряжением, действующим по вертикальным граням. Касательные напряжения определяют по формуле Д.И.Журавского: z отс z I b S Q , где отс z S – статический момент площади отсеченной части относительно нейтральной оси. По поперечному прямоугольному сечению касательные напряжения распределяются следующим образом: наибольшие касательные напряжения действуют на уровне нейтральной оси и равняются: A Q max 2 3 Для круглого сечения A Q max 3 4 Условие прочности по касательным напряжениям: max , где [ ] – допустимые касательные напряжения, для стальных балок [ ] ≈ [ ]. Некоторые материалы, например, дерево (вдоль волокон) очень плохо сопротивляется сдвигу, поэтому для таких балок проверка прочности за касательными напряжениями обязательная. Также обязательная проверка балок, площадь сечения которых близка по величине к их длине. Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 54 Жесткость при изгибе Чтобы делать вывод о работе балок, недостаточно уметь проводить расчеты только на прочность. Может произойти такое, что довольно прочная балка не будет пригодна к эксплуатации вследствие недостаточной жесткости. Для расчетов на жесткость определяют перемещение при изгибе. Под действием нагрузки балка искривляется, сечения балки смещаются перпендикулярно прямой оси и вместе с тем возвращаются вокруг своих нейтральных осей. Смещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к оси балки, называется прогибом. Геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированной балки представляет собой изогнутую ось, которая называется упругой линией. Упругую линию можно рассматривать как график некоторой функции, которая определяется характеристикой нагрузки на балку, ее размерами и материалом. Угол , на который поворачивается сечение по отношению к ее первоначальному состоянию, называется углом поворота сечения. Угол поворота считают равным углу между касательной к упругой линии в данной точке и осью недеформированной балки. Приблизительное дифференциальное уравнение упругой линии: M y EI z , где z EI – жесткость при изгибе. Выбор знака определяется принятой системой координат: М > 0 y // > 0 y x М < 0 y // < 0 y x М > 0 y // < 0 y x y М < 0 y // > 0 x a) б) Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 55 Будем принимать систему координат а). Для определения углов поворота y и прогибов y необходимо провести интегрирование дифференциального уравнения упругой линии. Это возможно тремя способами: аналитическим, графическим, графоаналитическим. Аналитический способ: Уравнение углов поворота: C Mdx y EI , где С – постоянная интегрирования. Положительное значение угла поворота указывает на то, что сечение поворачивается против часовой стрелки. Уравнение прогибов: D Cx Mdx dx EIy , где D – вторая постоянная интегрирования. Положительное значение прогиба y указывает, что центр тяжести сечения перемещается вверх, т.е. в сторону положительных значений ординат у. Постоянные интегрирования С и D определяются из начальных условий крепления балки. Во многих случаях по эксплуатационным соображением максимальные прогибы ограничиваются допустимым прогибом [y]. Условие жесткости пары изгибе: y y l y 700 1 600 1 – для подкрановых балок (l – пролет балок), l y 500 1 250 1 – для гражданских сооружений, l y 300 1 1000 1 – в машиностроении в зависимости от назначения деталей. Можно используя искусственные приемы вывести универсальные формулы для прогиба: ! ) c x ( q ! ) b x ( F ! ) a x ( M x EI EIy EIy 4 3 2 4 3 2 0 0 для угла поворота: y / = 0 y = 0 y = 0 y = 0 Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 56 ! ) c x ( q ! ) b x ( F ) a x ( M EI y EI 3 2 3 2 0 Приемы при использовании универсальной формулы: 1. Уравнение изгибающего момента в сечении составлять, рассчитывая момент внешних сил, расположенных между сечением и началом координат. 2. Интегрировать уравнение без раскрытия скобок. Недостаток этого метода в том, что нельзя определять перемещение в балках переменной жесткости (надо условно превращать в балки постоянной жесткости). Перемещение для любой линейно деформированной системы при любой нагрузке можно определить методом О. Мор. Этот метод заключается в том, что кроме заданного (нагруженного) состояния k, выбирается дополнительное (фиктивное) состояние балки і нагруженной единичной силой, действующей в точке, где определяется перемещение, и направленной в направлении перемещения. Рассчитывается виртуальная работа внешних и внутренних сил фиктивного состояния на перемещениях, которые вызваны действием сил нагруженного состояния. Любое перемещение (линейное или угловое) определяется по формуле (интегралом Мор): l k i EI dx M M 0 Вместо непосредственного вычисления интеграла Мор можно пользоваться графоаналитическим методом (способом перемножения эпюр) - правилом Верещагина. y x 4 x 3 x 2 x 4 a b c d M F q x Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 57 Интеграл l k i dx M M 0 равен произведению площади эпюры М к ( к) на расположенную под ее центром веса ординату прямолинейной эпюры c i M : c i k l k i M dx M M 0 Знак считается положительным, если обе эпюры расположены с одной стороны. Результаты перемножения ряда эпюр приводятся в справочниках. Элементы общей теории напряженного состояния. Исследовать напряженное состояние в точке - это значит получить зависимости, позволяющие определить напряжение на любой площадке, проходящей через эту точку. Если вырезать вокруг произвольной точки стрежня поперечными и продольными перерезами бесконечно малый параллелепипед, на его гранях будут действовать только нормальные напряжения. Отсутствие нормальных напряжений на других гранях является следствиям того, что нет нажатия продольных волокон одно на один. В общем случае в наклоненных сечениях будут действовать нормальные и касательные напряжение, величину которых можно найти из условия равновесия: 2 1 cos , 2 sin 2 1 Максимального значения нормальные напряжения будут достигать при = 0, т.е. в сечении, перпендикулярном к оси стрежня, при этом = 0. dx dy dz F F Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 58 Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, а нормальные напряжения имеют экстремальные значения, называются главными площадками. Нормальные напряжения, действующие по главным площадкам, называются главными напряжениями. При = 90 0 – = 0, = 0 – в продольных сечениях нет ни нормальных, ни касательных напряжений. При = 45 0 – 2 1 max – максимальные касательные напряжения (при испытаниях на растяжение образцов из малоуглеродистых сталей на их поверхностях появляются заметные наклоненные линии – следствия сдвига частиц материла относительно друг друга - линии Чернова). По перпендикулярным площадкам действуют равные касательные напряжения - закон парности касательных напряжений: 0 90 В каждой точке нагруженного бруса можно найти такое положение параллелепипеда, при котором три его грани окажутся главными площадками. На двух из них будут действовать экстремальные (наибольшие и наименьшие) главные напряжения, а на третьем - промежуточные. Принимают 1 > 2 > 3 Если все три напряжения не равны нулю - объемное, трёхосное состояние. Если одно из напряжений равняется нулю - плоское, двухосное состояние. Если лишь одно из напряжений не равняется нулю - линейное, одноосное состояние. Деформации, соответствующие напряженным состоянием, рассчитываются на основе принципа независимости действия сил на грани элемента. Связь между относительной деформацией и напряжениями при объемном напряженном состоянии - обобщенный закон Гука: 3 2 1 1 1 E 3 1 2 2 1 E 2 1 3 3 1 E Теории прочности Важной задачей инженерных расчетов является оценка прочности по известному напряженному состоянию, т.е. по известным главным напряжениям. При линейном напряженном состоянии предельные (опасное) напряжения легко установить экспериментально: Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 59 T np – для пластичных материалов, B np – для хрупких материалов. Условие прочности для одноосного напряженного состояния: p 1 – растяжение, c 3 – сжатие. При сложном напряженном состоянии экспериментально выявить предельные величины главных напряжений очень сложно. Для оценки прочности в условиях любого сложного состояния, высказывается гипотеза о преимуществе влияния на прочность того или другого фактора. В расчетах на прочность заменяют сложное напряженное состояние равноопасным (эквивалентным) ему одноосным состоянием и сравнивают соответствующее напряжение с предельным, полученным в испытаниях на простое растяжение. Гипотезы, которые указывают на признаки равной опасности разных напряженных состояний, называются теориями прочности. Первая теория прочности – теория наибольших нормальных напряжений (целесообразна для довольно хрупких материалов): p екв 1 c екв 3 |