Конспект лекций по технической механике Техническая механика
 Скачать 3.99 Mb.
|
|
сдвиг – смещение двух сопредельных поверхностей относительно друг друга при неизменном расстоянии между ними, кручение – взаимный поворот поперечных сечений относительно друг друга, изгиб – состоит в искривлении оси. Бывают более сложные деформации, которые образуются сочетанием нескольких основных. Линейные деформации связаны с перемещением точек или сечений вдоль прямой линии (растяжение, сжатие). Угловые деформации связаны с относительным поворотом одного сечения относительно другого (кручение). Основные гипотезы и принципы 1. Гипотеза о сплошности материала: тело, сплошное и непрерывное до деформации, остается таким же и в процессе деформации. 2. Гипотеза об однородности и изотропности: в любой точке тела и в любом направлении физико-механические свойства материала считаются одинаковыми. 3. Гипотеза о малости деформаций: в сравнении с размерами тела деформации настолько малы, что не изменяют положения внешних сил, действующих на тело. 4. Гипотеза об идеальной упругости: в заданных малых перделах деформирования все тела идеально упругие, т.е. деформации полностью исчезают после прекращения нагрузок. 5. Гипотеза плоских сечений: сечение плоское до деформирования остается плоским и после деформации. Закон Гука и гипотеза о малости деформаций дают возможность применять принцип суперпозиции (принцип независимости или сложения сил): деформации тела, вызванные действиями нескольких сил, равняются сумме деформаций, вызванных каждой силой. Прицип Сен-Венана: статически эквиваленте системы сил, действующие на малую, сравнительно с общими размерами тела, его часть, при достаточном отдалении от этой части вызывают одинаковые деформации тела. Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 32 Принцип затвердения: тело, испытывающее деформирование, затвердело и к нему можно применять уравнения статики. Внутренние силы. Метод сечений. Внутренние силы – это силы механического взаимодействия между частичками материала, возникающие в процессе деформирования как реакции материала на внешнюю нагрузку. Для нахождения и определения внутренних сил применяют метод сечений (РОЗУ), который сводится к следующим операциям: условно перерезаем тело на две части секущей плоскостью (Р - разрезаем); отбрасываем одну из частей (О - отбрасываем); заменяем влияние отброшенной части на оставленную внутренними силами (усилиями) (З - заменяем) ; из условий равновесия системы сил, действующих на оставленную часть, определяем внутренние силы (В – уравнения равновесия); В результате сечения стержня поперечным сечением, разорванные связи между частями заменяются внутренними силами, которые можно F 1 F F 3 F k F 1 F 2 M R F 3 F k M R F 1 F 2 z F 3 N Q y Q z M x M z M y x y N Q y Q z M x M z M y F k Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 33 свести к главному вектору R и главному моменту М внутренних сил. При проектировании их на координатные оси получаем: N – продольная (осевая) сила, Q y – поперечная (перерезывающая) сила Q z – поперечная (перерезывающая) сила M x – крутящий момент M y – изгибающий момент M z – изгибающий момент Если известны внешние силы, все шесть компонент внутренних сил могут быть найдены из уравнений равновесия: 0 0 0 0 0 0 y z з x x з y y з z z N X Q Y Q Z M M M M M M Напряжения Рассмотрим бесконечно малый элемент площади сечения dА. Вследствие малости элемента, можно считать, что внутренние усилия, действующие в его различных точках, одинаковы по модулю и по направлению. Тогда их равнодействующая dF проходит через центр тяжести элемента. Нормальное напряжение: dN dA , где dN – элементарная продольная силы (проекция dF на ось х). Касательные напряжения: y y dQ dA z z dQ dA , где dQ y , dQ y , – элементарные поперечные силы ( проекции dF на оси y, z). Полное напряжение: 2 2 2 y z dP p dF y x y x z p Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 34 Определение зависимости между внешними силами, с одной стороны, и напряжением и деформацией, с другой, - основная задача сопротивлению материалов. Растяжение и сжатие Растяжение или сжатие часто встречаются в элементах машин или сооружений (растяжение троса крана при подъеме груза; шатун двигателя, штоки цилиндров в подъёмно-транспортных машинах). Растяжение или сжатие – это случай нагружения стрежня, который характеризуется его удлинением или укорочением. Растяжение или сжатие вызывается силами F, действующими вдоль оси стрежня. При растяжении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются. Изменение L начальной длины L стрежня называют абсолютным удлинением при растяжении или абсолютным укорочением при сжатии. Отношение абсолютного удлинения (укорочение) к начальной длине стрежня называется относительным удлинением: L L В этом случае: ось стержня остается прямой линией, поперечные сечения стержня уменьшаются вдоль его оси параллельно самим себе (потому что поперечное сечение - это плоскость перпендикулярная оси стрежня, а ось - прямая линия); поперечные сечения остаются плоскими. Все волокна стрежня удлиняются на одну и ту же величину L и их относительные удлинения одинаковые: const Разность соответствующих поперечных размеров после деформации и до нее называется поперечной деформацией. b b b h h h 1 1 Отношение абсолютной поперечной деформации к соответствующему начальному размеру называется относительной поперечной деформацией: b b h h Между поперечной и продольной деформациями существует соотношение. Коэффициент Пуассона: Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 35 Коэффициент Пуассона − безразмерная величина, находящаяся в пределах 0...0,5 (для стали 0,3). В поперечных сечениях возникают нормальные напряжения Зависимость напряжений от деформаций устанавливает закон Гука: E , где Е – модуль продольной упругости, модуль упругости первого рода, модуль Юнга, характеризующий упругие свойства материала (для стали Е 2 10 5 МПа). В сечении стержня возникает один внутренний силовой фактор – продольная сила N. Продольная сила N является равнодействующей нормальных напряжений , которая численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих на одну из частей рассеченного стрежня и направленных вдоль его оси. Нормальные напряжения : N A Учитывая, что E и L L : L N E L A NL L EA N EA Произведение EA называется жесткостью поперечного сечения стержня при растяжении или сжатии, и имеет размерность силы. Механические характеристики материала К механическим характеристикам относятся: модуль упругости Е, коэффициент Пуассона , пластичность, твердость, прочность и др. Для определения этих характеристик используют испытания. Наиболее распространенные испытания на растяжение. Для испытаний используют специальные образцы. Основной целью испытаний является построение диаграммы растяжения-сжатия, т.е. зависимости между силой, действующей на образец, и его удлинением. Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 36 Особенности диаграммы растяжения малоуглеродистой стали. ОА – упругая стадия, при сравнительно малых нагрузках материал подвержен закону Гуку и после прекращения нагрузки никаких остаточных деформации нет. ВС – площадка текучести, в дальнейшем рост нагрузки замедляется и вскоре совсем прекращается. Явление роста деформаций при постоянной нагрузке имеет название текучести. СD – упрочнение, после окончания стадии текучести образец снова начинает сопротивляться деформациям. Если повторно нагрузить образец исчезает участок текучести (f > OA), образец приобретает способность воспринимать без остаточных деформаций большие нагрузки. Явление увеличения упругих свойств в результате предварительного пластического деформирования имеет название наклеп. В точке D наблюдается качественное изменение характера деформаций (образуется прогрессирующая шейка). Разрушение может быть доведено до конца даже при уменьшении нагрузки. Точка Е – разрушение образца. Во избежание влияния размеров строят диаграмму = f( ). пц – предел пропорциональности – наибольшие напряжения, до которых справедлив закон Гука (для стали 200 МПа). упр – предел упругости – наибольшие напряжения, до которых материал не имеет остаточных деформаций (для стали 200 МПа). О А В С D f l ост l упр F l т пц уп в Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 37 Т – предел текучести – напряжение, при которых происходит рост деформаций без увеличения нагрузки (для стали 240 МПа). в – предел прочности – напряжение, которые может выдержать образец без разрушения (для стали 400 МПа). Также определяются: относительное окончательное удлинение после разрушения: 0 0 100% k l l l относительное окончательное сужение сечения образца в месте разрушения: 0 0 100% k A A A В зависимости от материалы делятся на: пластичные ( > 5% (углеродная сталь, медь, алюминий), хрупкие ( < 5% (чугун, бетон, инструментальная сталь). Диаграмма растяжения хрупких материалов не имеет площадки текучести. Для них проводят испытание на сжатие, так как они лучше оказывают сопротивление сжатию, чем растяжения (Для пластичных материалов модуль упругости, предел упругости, предел текучести при растяжении и сжатии приблизительно одинаковы). Кроме хрупких и пластичных материалов существуют еще упруго- вязкие материалы (полиамиды). Для них характерно явление ползучести и релаксации напряжений. Ползучесть – это непрерывный рост пластических деформаций при неизменной нагрузке. Релаксация напряжений – медленное уменьшение напряжений при неизменной полной деформации за счет увеличения пластической составляющей и уменьшения упругости. Допускаемые напряжения Для пластичных материалов: Т n Для хрупких материалов: b n , где n -коэффициент запаса прочности. Условие прочности при растяжении: N A Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 38 Для стали 3 160 МПа. Твердость материалов Для определения твердости существует три метода: 1. Метод Бринеля - твердость определяется как F HB A , где F – сила, с которой вдавливается заготовленный шарик в материал, А - площадь отпечатка. 2. Метод Роквела – используется алмазный конус и заготовленный шарик, твердость определяется по разности на шкале прибора от действия предыдущей нагрузки до полной нагрузке (HR C – конус, HR В – кулька) 3. Метод Виленса - для определения твердости используется алмазная пирамида и определяется F HV A Эпюры продольных сил и напряжений. Графики, показывающие, как изменяются внутренние усилия при переходе от сечения к сечению, называется эпюрами. Правила построения эпюр: 1. Ось, на которой строится эпюра (база), параллельна оси стержня. 2. Ордината эпюры откладывается от оси эпюры по перпендикуляру. 3. Штрихуют эпюры линиями, которые перпендикулярны к базы. 4. Для усилий выбирают определенный масштаб, проставляют значение характерных ординат, в поле эпюры ставят знак усилия. Пример: Для стального стержня выявить закон изменения продольных сил, напряжений и перемещений, если Е =2 10 5 МПа. Договоримся считать продольную силу положительной, если она вызывает растяжение. 1. Стержень имеет два участка разной жесткости. Из условия равновесия любой рассеченной части стержня на первом участке: 1 1 0 x l 1 0 2 x м 1 1 2 N F кН, на втором участке: 1 0 1 x м 2 1 5 2 7 5 N F F кН. В выбранном масштабе строим эпюру продольных сил. 2 1 0 l x Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 39 2. Определяем напряжение в перерезах 3 1 1 1 2 10 10 0,0002 N A МПа 3 2 2 2 5 10 50 0,0001 N A МПа В выбранном масштабе строим эпюру напряжений. 3. Определим, на какую величину перемещается каждое сечение стрежня 1 n n n n n N x u x u x E A на первом участке: 1 1 0 x l 1 0 2 x м 1 1 1 1 0 N x u x u x E A 1 1 1 5 1 2000 0 2 10 0,0002 x x u x 1 11 1 2000 2 0 0,0001 2 10 0,0002 x u x м на втором участке: 2 2 0 x l 2 0 1 x г 2 2 2 2 1 N x u x u x E A 2 2 0 0,0001 0 0,0001 x u x м 2 1 11 2 5000 1 0,0001 0,00025 0,0001 0,00015 2 10 0,0001 x u x м. Строим эпюру перемещений. Конспект лекций по технической механике Техническая механика http://bcoreanda.com 40 Сдвиг Сдвиг – такой вид деформации, при котором одно сечение стержня смещается относительно другого, а расстояние между ними не изменяется. Сдвиг может быть вызван действием двух равных, параллельных и противоположно направленных сил, расположенных на близком расстоянии друг от друга перпендикулярно к оси стрежня. Детали, служащие для соединения элементов металлоконструкций, механизмов и машин (заклепки, болты, булавки, сварные швы и т.п.), воспринимают нагрузки, перпендикулярные их продольной оси, т.е. испытывают сдвиг. Во внутреннем сечении при сдвиге возникает один силовой фактор – перерезывающая сила Q. Касательные напряжения лежат в плоскости сечения. В случае недостаточной прочности происходит перерезывание А 2 =0,0002 м 2 F 3 =5кH F 2 =7кH F 1 =2кH 5 5 2 2 N, кН 50 50 10 10 , МПа 1 м 2 м А 1 =0,0001 м 2 0,00015 0,0001 и, м F F h F dA |