r(t)
r
0
)
2
> =
6
t
m
T
k
B
(8.19)
8.5. Уравнение Фоккера – Планка
Случайные марковские процессы. Уравнение Смолуховского
Приведем некоторые определения и соотношения из теории случайных процессов x(t); чтобы применять их для нескольких случайных переменных x
(1)
(t),...,x
(r)
(t), достаточно считать x(t)
r-компонентным вектором. Возможные реализации дискретных и t
2
'
t
2
t
1
t
1
'
152 непрерывных случайных процессов изображены на рис. 8.2.
Процесс полностью определяется заданием
совместных плотностей вероятностей
w
1
, w
2
,..., где w
n
(x
n
t
n
,...,x
1
t
1
)dx
1
...dx
n
вероятность того, что величина x(t) принимает значение в интервале
(x
1
, x
1
+
dx
1
) в момент времени t
1
,
(x
2
, x
2
+
dx
2
) в момент t
2
и т.д.
(t
1
<
t
2
<
...<
t
n
).
Дискретный случай можно включить в рассмотрение, используя
-функцию Дирака. Очевидно, можно получить w
m
, интегрируя w
n
(n > m) по любым n
m переменным x
i
Помимо плотностей
w
n
часто используются
условные
вероятности: P(x
n
t
n
x
n
1
t
n
1
,...,
x
1
t
1
)dx
n
вероятность попадания x(t
n
) в интервал (x
n
, x
n
+ dx
n
) при условии x(t
1
) = x
1
,...,x(t
n
1
) = x
n
1
. Очевидно,
w
n
(x
n
t
n
,...,x
1
t
1
) =P(x
n
t
n
...x
1
t
1
)w
n
1
(x
n
1
t
n
1
,...,x
1
t
1
). (8.20)
Процесс называется стационарным, если плотности вероятности не зависят от выбора начала отсчета времени:
w
n
(x
n
,t
n
+T;...,x
1
,t
1
+T) = w
n
(x
n
,t
n
;...,x
1
,t
1
) для любого T. В частности, w
1
(x,t) = w
1
(x), w
2
(x
2
t
2
;
x
1
t
1
) =
= w
2
(x
2
,t
2
t
1
;
x
1
,0) и т.д.
Процесс называется чисто случайным, если значение случайной функции никак не связано со значениями его в предыдущие моменты времени: P(x
n
t
n
...x
1
t
1
) = P(x
n
t
n
)
w
1
(x
n
,t
n
). Полная информация о процессе содержится в w
1
(x,t): все w
n
выражаются в виде произведений w
1
Процесс называется марковским, если
P(x
n
t
n
x
n
1
t
n
1
,...,x
1
t
1
) = P(x
n
t
n
x
n
1
t
n
1
). (8.21)
Полная информация о процессе содержится в w
2
(x
2
t
2
, x
1
t
1
):
)
,
(
/
)
,
(
)
|
(
2 1
1 2
2 1
1 2
2 1
1 2
2
dx
t
x
t
x
w
t
x
t
x
w
t
x
t
x
P
Если t
2
t
1
велико, то P(x
2
t
2
x
1
t
1
) перестает зависеть от x
1
(«потеря памяти»); напротив,
).
(
)
(
lim
1 2
1 1
2 2
1 2
x
x
t
x
t
x
P
t
t
x(t)
t
Рис. 8.2
153
Величины P(x
2
t
2
x
1
t
1
) носят также название вероятностей перехода.
Для стационарных марковских процессов они зависят только от разности времен t
2
t
1
Вероятности перехода подчиняются уравнению Смолуховского
(
Чэпмена – Колмогорова):
P(x
3
t
3
x
1
t
1
) =
P(x
3
t
3
x
2
t
2
)P(x
2
t
2
x
1
t
1
)dx
2
,(8.22) вытекающему из соотношения
w
2
(x
3
t
3
, x
1
t
1
) =
w
3
(x
3
t
3
, x
2
t
2
, x
1
t
1
)dx
2
.
Уравнение Фоккера – Планка
Рассмотрим вытекающее из (8.20) соотношение
w(x,
t
+
) = P(x,t
+
x't)w(x't)dx' и будем полагать
малым; можно ожидать в этом случае, что условная вероятность P(x) будет
-образной функцией с центром в точке x'.
Умножим это соотношение на произвольную достаточно регулярную функцию R(x) и проинтегрируем по x. В правой части разложим R(x) в ряд по степеням
= x x′ около значения R(x′) и введем обозначение
dx
t
x
t
x
P
t
x
M
n
n
)
,
,
(
)
,
,
(
(8.23) для
(центральных)
моментов n-го
порядка
распределения
P(x
+
,
t
+
x,
t). Очевидно, M
0
= 1, и, перенося нулевой член разложения в левую часть, имеем:
1
)
,
(
)
,
,
(
)
(
!
1
)]
,
(
)
,
(
)[
(
n
n
n
n
dx
t
x
w
t
x
M
x
x
R
n
dx
t
x
w
t
x
w
x
R
После интегрирования по частям в правой половине, учитывая регулярность функции R(x), подразумевающую обращение в нуль ее производных при x
, получаем:
w(x,
t
+
) w(x,
t) =
1
)
,
(
)
,
,
(
!
1
)
1
(
n
n
n
n
n
t
x
w
t
x
M
n
x
.
Имея в виду, что M
n
(x,
t,
0) = 0[P(
=
0) =
()], разложим M
n
в ряд по
с точностью до линейных членов, и, вводя обозначение D
(n)
:
),
(
)
,
(
)
,
,
(
!
1 2
)
(
O
t
x
D
t
x
M
n
n
n
разделив обе части предыдущего соотношения на
и устремляя к нулю, получим уравнение (разложение Крамерса – Муайаля):
154
].
)
,
(
)
,
(
[
)
,
(
1
)
(
n
n
n
t
x
w
t
x
D
x
t
t
x
w
(8.24)
В случае марковских процессов P, M
n
зависят только от
(а не от всех предшествующих времен), D
(n)
не зависит от моментов времени, предшествующих t; уравнение (8.24) оказывается дифференциальным уравнением первого порядка по времени, решение которого однозначно определяется начальным распределением и подходящими граничными условиями. Тогда условная вероятность P(xt
x't') должна удовлетворять этому же уравнению (8.24), поскольку ее можно рассматривать как плотность вероятности w(x,t) при начальном условии w(x,
t'
) =
(x
x'
).
Часто по тем или иным соображениям в разложении Крамерса –
Муайаля можно ограничиться двумя первыми слагаемыми. В результате получается уравнение Фоккера – Планка
)]
,
(
)
,
(
[
)]
,
(
)
,
(
[
)
,
(
)
2
(
2 2
)
1
(
t
x
w
t
x
D
x
t
x
w
t
x
D
x
t
t
x
w
, (8.25) где D
(1)
называется дрейфовым коэффициентом, D
(2)
коэффициентом диффузии. При D
(1)
= 0, D
(2)
постоянном имеем уравнение диффузии.
Отметим, что если D
(1)
и D
(2)
не зависят от x и t, то уравнение Фоккера
– Планка обладает решением
)
2
(
2
)
1
(
)
2
(
4
)
(
exp
4 1
)
,
,
(
D
D
x
x
D
t
x
t
x
P
с начальным
-распределением и граничными условиями P() = 0.
Обобщение на случай нескольких случайных переменных уравнения Фоккера – Планка выглядит так:
i
ij
ij
j
i
i
i
t
x
w
t
x
D
x
x
t
x
w
t
x
D
x
t
t
x
w
)
},
({
)
},
({
)
},
({
)
},
({
)
},
({
)
2
(
2
)
1
(
, где, например,
}.
{
)
},
{
},
({
)
,
},
({
)
2
(
d
t
x
t
x
P
t
x
M
j
i
ij
В качестве примера рассмотрим распределение броуновских частиц по скоростям. В этом случае имеем (ср. (8.13,14)):
,
)
)
(
(
1
lim
0
)
1
(
t
t
v
v
t
v
D
2 2
1 0
2 1
)
2
(
)
)
(
(
lim
q
t
v
t
v
D
, и уравнение Фоккера – Планка принимает вид
155
)
,
(
)]
,
(
[
)
,
(
2 2
v
t
v
w
m
T
k
v
t
v
vw
t
t
v
w
B
8.6. Основное кинетическое уравнение (уравнение баланса)
В квантовой статистике широко используется основное
кинетическое уравнение Паули (master equation). Наглядно его можно получить, используя следующие балансовые соображения. Пусть для ансамбля замкнутых систем N
r означает число систем, находящихся в
r-м микросостоянии, и пусть w
rs
вероятность перехода в единицу времени системы из состояния s в состояние r под действием некоторого слабого возмущения. Тогда скорость изменения числа N
r
задается уравнением баланса
r
s
sr
r
rs
s
r
w
N
w
N
dt
dN
).
(
(8.26)
Согласно известному из теории возмущений принципу детального
баланса, w
rs
= w
sr
, и уравнения (8.26) переписываются в виде
dN
r
/dt =
'
s
(N
s
N
r
)w
sr
Если разделить эти уравнения на общее число систем N,то они определяют изменение во времени диагональных компонент матрицы плотности в энергетическом представлении, причем недиагональные компоненты вообще не входят в уравнения. Таким образом, уравнения
Паули являются результатом определенного огрубления уравнения
Лиувилля – Неймана.
Такого рода огрубление может быть осуществлено с использованием гипотезы хаотических фаз, в соответствии с которой недиагональные элементы очень быстро затухают. Уравнения Паули обеспечивают возрастание энтропии системы и установление равновесия в ней.
8.7.
H-теорема Больцмана
Суть теоремы заключается в том, что замкнутая система, будучи предоставлена самой себе, стремится к равновесию, и при этом энтропия ее возрастает. Воспользуемся для энтропии формулой, пригодной и для неравновесных систем,
=
r
p
r
lnp
r
,где p
r
= N
r
/N
вероятность нахождения системы в состоянии r, N
общее число систем в ансамбле.
Перепишем эту формулу в виде
156
= (1/
N)(
Nln
N
Nrln
Nr). Тогда, используя уравнения баланса для ансамбля замкнутых систем, имеем:
/
t =
N1
′
r,
swrs(
Ns
Nr)ln
Nr = = (1/2
N)
′
r,
swrs(
Nr
Ns)(ln
Nr ln
Ns). (8.27)
Все слагаемые в сумме неотрицательны, и поэтому
d/
dt 0, что и требовалось доказать. В равновесии
d
/dt = 0, и все состояния оказываются равновероятными (микроканоническое распределение), если
сделать естественное допущение о том, что не существует групп состояний, не связанных между собой никакими переходами.
8.8. Уравнения Блоха Для систем, взаимодействующих с термостатом, также можно написать уравнения баланса, но в этом случае возможны и переходы между состояниями с разными энергиями (разность энергий компенсируется термостатом). При этом принцип детального равновесия будет выглядеть по-другому:
wsr = wrsexp{(
Er
Es)/
}. (8.28)
Именно при таком условии равновесное распределение для системы является каноническим. Рассмотрим двухуровневую систему:
12 2
21 1
2 21 1
12 2
1
/
/
wNwNtNwNwNtN,
N1
+ N2
= N (const). (8.29)
Введем разность населенностей
n = N1
N2
= n0
+
n,
n0
равновесное значение этой разности. Решением уравнения баланса оказывается приближение к равновесию по экспоненциальному закону:
n =
n(
t = 0)exp(
t/T1
),
T1
= (
w12
+ w21
)
1
. (8.30)
Для системы спинов
S = 1/2 разность населенностей связана с продольной намагниченностью
Mz (в изотропном случае это намагниченность вдоль внешнего поля
B0
):
Mz =
n/2, и уравнение баланса можно написать в виде уравнения релаксации этой компоненты намагниченности:
1 0
TMMdtdMzzz
Запись уравнений релаксации в виде уравнений баланса включает в себя предположение о более быстрой (или независимой) релаксации недиагональных компонент матрицы плотности, через которые
157 выражаются поперечные компоненты намагниченности
Mx и
MyПолагая скорость релаксации этих компонент равной
T2
1
(
T2
время поперечной релаксации), можно записать: (
Mx,
y /
t)
relax
=
Mx,
y /T2
(равновесное значение
Mx0
= My0
= 0). Считая еще, что движение спинов во внешнем магнитном поле и релаксационные процессы происходят независимо (это приближение фигурировало и при выводе уравнения Больцмана), можно написать следующие
уравнения Блоха для движения намагниченности системы спинов в изотропной среде:
)]
(
(
[
1 0
||
||
2 1
0
TTtdtdMMMBBMM
(8.31)
Здесь использованы естественные обозначения
M
и
M|| для поперечной и продольной по отношению к постоянному внешнему магнитному полю
B0
компонент намагниченности системы; кроме того, учтена возможность наличия небольшого по сравнению с
B0
переменного поля
B1
(
t).
В литературе по магнитной радиоспектроскопии встречается много обобщений, модификаций уравнений
Блоха, выводов их путем более детальных микроскопических рассмотрений [см., например, Абрагам, 1963].
Модификация уравнений Блоха, несомненно, необходима в случае слабых полей
B0
. 8.9. Дополнения и примечания Цепочка уравнений Боголюбова для частичных функций распределения Рассмотренный выше вывод различных кинетических уравнений в значительной степени основывается на интуитивных соображениях, и трудно четко указать критерии применимости этих уравнений и пути их обобщения. Более строгим, хотя и более громоздким, является разработанный Боголюбовым метод расцепления цепочки уравнений для неравновесных частичных функций распределения, определенных в разделе 5. Расцепление основывается на
принципе ослабления корреляций между группами частиц при увеличении расстояния между этими группами. Уравнение для
s-частичной функции распределения получается в результате интегрирования уравнения Лиувилля по координатам и импульсам
N
s частиц:
158
,
,
,
1 1
1
,
1 1
s
i
s
s
i
s
s
s
s
s
u
d
d
H
t
p
r
(8.32) где H
s
функция Гамильтона системы из s частиц, включающая парные взаимодействия u
ij
между частицами; фигурные скобки означают скобки Пуассона
i
i
i
i
i
p
B
q
A
q
B
p
A
B
A
,
Функции
s
с s
2 заметно меняются на временах порядка времени столкновения (время хаотизации)
0
= r
0
/v
m
, где v
m
средняя скорость частиц (энергия взаимодействия содержится в левой части ур. (8.32)), тогда как
1
(
f )
лишь на временах свободного пробега /v
m
Исходя из этих соображений можно предположить, что зависимость
s от времени на «грубой шкале» с интервалами
t >>
0
определяется лишь медленной эволюцией f:
s
(p
1
q
1
,...p
s
q
s
,t)
s
(p
1
q
1
,...p
s
q
s
;f(p,q,t)), где правая часть представляет собой некоторый функционал от f; граничные условия на функционалы формулируются с помощью принципа ослабления корреляций. Детали вывода кинетических уравнений посредством расцепления цепочки уравнений для частичных функций распределений см. в книгах Боголюбова (1946), Лифшица и
Питаевского (1979), Ахиезера и Пелетминского (1977). Несколько иной подход к выводу кинетических уравнений состоит в использовании метода проективных операторов Цванцига (см., например, Куни, 1981), в котором выделение существенной части матрицы плотности представляется как некое проектирование в пространстве операторов.
Переход к одночастичной функции распределения служит примером сокращенного описания макроскопических систем (полное описание достигается с помощью
N
(p,q)
полного ансамбля). Стадию неравновесного процесса, описываемую кинетическим уравнением, называют кинетической стадией (кинетический уровень описания).
Следующие стадии
гидродинамическая и термодинамическая.
Законы сохранения и уравнения гидродинамики
Масса, импульс, энергия молекул при соударении сохраняются.
Вводя общее обозначение
(r,v) для этих величин, мы можем написать в случае соударения (v,v′)
(v″,v′′′): + ′ ′′ + ′′′. Можно убедиться, используя (8.3) и (8.4), что для таких сохраняющихся
159 величин
dv(f/t)
столкн
0. Умножим теперь кинетическое уравнение
(8.5) на
и проинтегрируем по скоростям:
,
0
v v
v v
F
m
n
F
m
n
r
n
n
r
n
t
(8.33) где
v
v
r
r
d
t
f
t
n
)
,
,
(
)
,
(
плотность числа частиц,
1
( , )
A
A
fd
n
r v
v
Если внешние силы не зависят от скорости, последний член в левой части (8.26) обращается в нуль. Полагая в (8.33)
m (массе молекулы) и обозначая
(
mn) массовую плотность, получим закон
сохранения массы (или гидродинамическое уравнение непрерывности):
0
)
(
v
div
t
(8.34)
Положим теперь
mv, v u (локальная скорость),
P
(v
u
)(v
u
)
(тензор давления). Тогда (8.33) перейдет в закон
сохранения импульса (уравнение Эйлера):
P
m
t
F
u
u
(8.35)
Полагая
(m/2)|v
u|
2
,
(m/3)|v
u|
2
(локальная температура),
q
(m/2)(v
u)|v
u|
2
(поток тепла) и
(m/2)(u
/
r
+
u
/
r
)
(тензор «деформаций»), получаем закон сохранения энергии (уравнение
для локальной температуры):
3 2
3 2
P
div
t
q
u
(8.36)
На гидродинамической стадии развития система характеризуется меняющимися во времени локальными плотностями, скоростями и энергией (температурой); зависимость от времени других относящихся к системе величин, в том числе и функции распределения f, определяется через эти параметры, то есть уравнениями гидродинамики. Расстояния, на которых могут существенно измениться указанные параметры (радиус корреляции), должны быть много больше длины свободного пробега, а соответствующие времена
много больше времени свободного пробега. В качестве исходного приближения к одночастичной функции распределения, которая входит в определение локальных параметров, обычно рассматривают локальное распределение Максвелла – Больцмана (метод Чэпмена – Энскога).
160
Уравнения гидродинамики применимы и к жидкостям, однако их статистико-механическое обоснование другое, поскольку в жидкостях
столкн
св.пробега
, и невозможно выделить кинетическую стадию [см., например, Ахиезер и Пелетминский, 1977]. Отметим еще, что если вычислять потоки,
входящие в гидродинамические уравнения, сохраняя в разложении Энскога для функций распределения члены первого порядка, то получаются уравнения неравновесной термодинамики, обсуждавшиеся в предыдущем разделе [де Гроот и Мазур, 1964].
Контрольные вопросы 1. Какие кинетические уравнения вы знаете?
2. Что такое интеграл столкновений?
3. Что лежит в основе принципа детального равновесия?
Сформулируйте этот принцип применительно к столкновению двух молекул; квантовым переходам между состояниями с одинаковой энергией.
4. Сформулируйте
Н-теорему Больцмана.
5. Какого рода системы описываются уравнениями Власова?
6. Перечислите предположения, которые делаются при полуфеноменологическом выводе уравнений Блоха.
Задачи 8.1. Вычислить электропроводность вырожденного электронного газа.
8.2. Вычислить проводимость классического газа из заряженных частиц в переменном электрическом поле частоты
. Время релаксации считать постоянным.
8.3. Вычислить коэффициент теплопроводности классического газа с временем релаксации
c
/v, где длина свободного пробега
const, v скорость частицы.
8.4. Найти стационарное решение уравнений Блоха при наличии вращающегося переменного поля
B1
(
t)
B1
(
icos
t
jsin
t).
161
8.5. Найти среднюю энергию, поглощаемую за единицу времени линейным гармоническим осциллятором с постоянной затухания
при температуре
во внешнем переменном поле частоты .
8.6. Вычислить высокочастотную диэлектрическую проницаемость высокотемпературной плазмы, используя кинетическое уравнение
Власова.
162
ЛИТЕРАТУРА
УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. ч.1.– М.: Наука,
1976. – 584 с.
Кубо Р. Статистическая механика. – М.: Мир, 1967. – 452 с.
Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. –
М.: Наука, 1983. – 416 с.
Румер Ю.Б., Рывкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. – М.: Наука, 1977. – 552 с.
Hecht Ch.E. Statistical Thermodynamics and Kinetic Theory, Dover publ.,
N.Y. 1998, 484 p.
Hill T.L. An Introduction to Statistical Thermodynamics, Dover Publ., N.Y.
1986, 523 p.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Абрагам А. Ядерный магнетизм. – М.: ИЛ, 1963. – 552 с.
Абрагам А., Блини Б. Электронный парамагнитный резонанс переход- ных ионов. Т. 1. – М.: Мир, 1972.– 652 с.
Арнольд В.И. Математические методы классической механики. –
М.: Наука, 1974. – 432 с.
Ахиезер А.И., Пелетминский С.В. Методы статистической физики. –
М.: Наука, 1977. – 368 с.
Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. –
М.: Мир. Т.1, 1978. – 406 с. – Т.2, 1978. – 400 с.
Блум К. Теория матрицы плотности и ее приложения. – М.: Мир, 1983.
– 248 с.
Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. – М-Л.: Гостехиздат, 1946.
Бонч-Бруевич В.Л., Тябликов С.В. Метод функций Грина в статисти- ческой механике. – М.: Физматгиз, 1961. – 312 с.
Волькенштейн М.В. Энтропия и информация. – М.: Наука, 1986. –
192 с.
163
Гиббс Дж.В. Термодинамика. Статистическая механика. – М.: Наука,
1982. – 584 с.
Гречко Л.Г. и др. Сборник задач по теоретической физике. –
М.: Высшая школа, 1984. – 320 с.
Грот С, Мазур П. Неравновесная термодинамика. – М.: Мир, 1964. –
456 с.
Давыдов А.С. Теория твердого тела. – М.: Наука, 1976. – 640 с.
Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. – М.: Наука,
1984. – 272 с.
Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. –
М.: Наука, 1988. – 368 с.
Изюмов Ю.А., Сыромятников В.Н. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. – М.: Наука, 1984. – 248 с.
Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. – М.: Ред. УФН, 1997. – 400 с.
Кайзер Дж. Статистическая термодинамика неравновесных процессов.
– М.: Мир, 1990. – 608 с.
Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Неравно- весные процессы. – М.: Изд. МГУ, 1987. – 560 с.
Киттель Ч. Статистическая термодинамика. – М.: Наука, 1977. – 336 с.
Киттель Ч. Элементарная статистическая физика. – М.: ИЛ, 1960. – 278 с.
Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. – М.: Физматгиз, 1963. –
696 с.
Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. – М.: Наука, 1967. – 492 с.
Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. – М.: Наука, 1982. – 608 с.
Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике. –
М.: Наука, 1992. – 152 с.
Кубо Р. Термодинамика. – М.: Мир, 1970. – 304 с.
Куни Ф.М. Статистическая физика и термодинамика. – М.: Наука,
1981. – 352 с.
Задачи по термодинамике и статистической физике / Под ред.
П. Ландсберга – М.: Мир, 1974. – 640 с.
164
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. – М.: Физматгиз, 1958. – 208 с.
Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. – М.: Наука,
1979. – 528 с.
Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика. – М.: Мир,
1980. – 544 с.
Мартин Н., Ингленд Дж. Математическая теория энтропии. – М.:
Мир, 1988. – 350 с.
Паташинский А.З., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. – М.: Наука, 1982. – 382 с.
Пригожин И. От существующего к возникающему. – М.: Наука, 1985.
– 328 с.
Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.2. Термодинамика и молеку- лярная физика. – М.: Наука, Физматлит, 1990. – 592 с.
Фейнман Р. Статистическая механика. – М.: Мир, 1978. – 408 с.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. –
М.: Мир, 1984. – 528 с.
Хилл Т. Статистическая механика. – М.: ИЛ, 1960. – 486 с.
Хуанг Керзон. Статистическая механика. – М.: Мир, 1966. – 520 с.
Эткинс П. Физическая химия. Т.Т. 1 и 2. – М.: Мир, 1980. – 580 с. и
584 с.
165
Некоторые физические постоянные
Постоянная Больцмана
k = 1.38
10
16
эрг/К = 1.38
10
23
Дж/К
Постоянная Планка
= 1.055
10
27
эрг
с = 1.05510
34
Дж
с
Элементарный заряд
e = 4.8
10
10
CGSE = 1.6
10
19
Кл
Число Авогадро
N
A
= 6.022
10 23
моль
1
Масса покоя электрона
m
e
= 9.1
10
28
г = 9.1
10
31
кг
Атомная единица массы а.е.м. (
m
p
) = 1.66
10
24
г
Радиус Бора
a
B
= 0.53
10
8
см
Магнетон Бора
B
= e/2m
e
c = 9.27
10
21
эрг/гаусс =
=
9.27
10
24
Дж/Т
Ядерный магнетон
N
= 5.05
10
24
эрг/гаусс
Постоянная Стефана –
SB
=
2
k
4
/60
3
c
2
=
Больцмана =
0.57
10
4
эрг
см
2
К
4
сек
1
Газовая постоянная
R = 8.31
10 7
эрг
К
1
моль
1
Объем идеального газа при 0 о
С и 1 атм
V
0
= 2.24
10 4
см
3
/моль
Гравитационная постоянная
G = 6.673
10
8
см
3
г
1
сек
2
Ускорение свободного падения на экваторе
g = 978 см/сек
2
Масса Солнца
2
10 33
г
Радиус Солнца
7
10 10
см
Расстояние Земли от Солнца 1.5
10 13
см
Радиус Земли
6.37
10 8
см
Энергия ионизации атома Н 13.6 эВ
1 эВ = 1.6
10
12
эрг = 1.16
10 4
K = 0.8
10 4
см
1 1 атм = 1.01
10 6
дин/см
2
ln 10 = 2.30 ln 2 = 0.693 log e = 0.4343
166
Некоторые математические формулы
Формула Стирлинга:
!
2
exp
, 0 1; ln !
ln
,
1.
12
n
n
nn
n
n
n n n
n
n
Интегральное представление гамма-функции:
1 1
2 0
1 1
, ,
0; (
1)
( ), (1) 1, ( )
n
m
m
x
n
m
x e
dx
m n
x
x x
n
n
В частности,
0 0
2 1
,
2 1
2 2
dx
xe
dx
e
x
x
Объем n-мерной сферы радиуса r:
).
1 2
(
/
)
(
)
(
2
/
2
n
r
r
V
n
n
Полиномиальное распределение:
Пусть в каждом испытании возможны a исходов с вероятностями
p
1
, p
2
,…, p
a
. Вероятность того, что в результате N испытаний r
1
раз произойдет событие 1, r
2
разa
событие 2,..., r
a
раз
событие a, равна
N
r
r
r
p
p
p
r
r
r
N
r
r
r
p
a
r
a
r
r
a
a
a
,
!
!...
!
!
)
,...,
,
(
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
N
r
r
a
r
N
a
a
p
p
r
r
r
N
p
p
p
!
!...
!
!
1
)
(
1 1
3 2
1 2
1
Асимптотические формулы для биномиального распределения:
при k<, p<<1,
Np
k
k
N
k
e
k
Np
p
p
k
N
!
)
(
)
1
(
(распред. Пуассона) при N больших, p не очень близких к 0 или 1,
)
1
(
2
)
(
exp
)]
1
(
2
[
1
)
1
(
2 2
/
1
p
Np
Np
k
p
Np
p
p
k
N
k
N
k
(распред. Гаусса)
167
Интеграл ошибок:
2 3
1 2
1 1
1
)
(
,
5
!
2 3
!
1 1
2
)
(
84 0
1
,
2
)
(
)
(
4 2
2 4
2 0
2 2
x
x
x
e
x
erf
x
x
x
x
erf
erf
dt
e
x
x
erf
x
x
t
Некоторые интегралы квантовой статистики:
0 1
0 0
0 4
4 2
2 1
,
0
),
(
)
(
1 1
ln
1
,
0
),
1
(
)
1
(
)
2 1
(
1
)
(
360 7
)
(
6
)
(
1
exp
)
(
p
a
p
p
a
e
dx
x
be
a
e
a
be
a
dx
n
n
n
e
dx
x
d
d
p
ax
p
x
x
x
n
x
n
Дзета-функция Римана:
2 4
3 5
2 2
1
( )
, ( ) 2.612, (2)
, ( ) 1.341, (3) 1.202, (4)
6 90
k
x
x
k
Интеграл Ферми – Дирака:
0 1
)
(
x
e
dx
x
Таблица значений интеграла Ферми – Дирака
-4 -3 -2 -1 -0.1 0 0.1
() 0.016 0.043 0.114 0.290 0.626 0.678 0.773
1 2 3 4 5 6 7
() 1.396 2.502 3.976 5.770 7.837 10.144 12.664
8 9 10 12 14 16
() 15.380 18.277 21.344 27.95 35.14 42.87
168
Подстановка ряда в другой ряд (при выполнении условий существования):
,
,
,
1 1
1 1
1 1
l
k
r
r
k
r
l
l
l
l
k
r
r
r
k
k
l
l
k
k
B
B
A
C
n
C
A
f
n
B
C
1
=A
1
B
1
, C
2
=A
1
B
2
+A
2
B
1 2
, C
3
=A
1
B
3
+2A
2
B
2
B
1
+A
3
B
1 3
,
C
4
=A
1
B
4
+2A
2
B
3
B
1
+A
2
B
2 2
+3A
3
B
2
B
1 2
+A
4
B
1 4
,…
Формула обращения ряда (f = n):
,...
5 5
,
2
,
,
,
,
7 1
3 2
6 1
2 3
5 1
4 4
5 1
2 2
4 1
3 3
3 1
2 2
1 1
1 1
1
B
B
B
B
B
B
B
A
B
B
B
B
A
B
B
A
B
A
A
n
n
B
l
k
k
k
l
l
169
Ответы и указания к решениям задач 
Скачать 1.13 Mb.