Физика. Конспекты лекций и задачи казань 2015 удк 536. 7(07) ббк 22. 317 А62
![]()
|
Раздел 1. 1. Фазовая траектория частицы с энергией Е: p m V x E 2 2 ( ) . Точки равновесия х = 0 (неустойчивая) и х= 1 2 / (устойчивые). 2. Точки равновесия: р = 0, х = n (устойчивые при n четном, неустойчивые при n нечетном). 3. Указание: при соударениях со стенками импульсы частиц меняются на противоположные, при соударении частиц они обмениваются импульсами. 4. ) 2 /( ) ( / 2 ) ( ; 2 , ) ( 3 3 3 4 3 3 4 3 ) , ( E L p E g mE p p L d E E E E E q p E 5. m k k E x mE p E k m E x p E / , / 2 , 2 ; / 2 / 2 ) ( 2 0 0 0 0 p 0 , x 0 амплитуды импульса и координаты, к упругая постоянная. 6. (E) = V N (2 mE) 3 N /2 / (3N/2 + 1), коэффициент при V N представляет собой объем 3N-мерной сферы радиуса 2mE. 7. / ; / ) ( 2 2 2 2 0 m E x x x dx x dw 8. Размеры ячейки = (xp) 3 N , время нахождения фазовой точки внутри ячейки t x/v = 0.510 11 сек. При движении вдоль фазовой траектории не меняется, = , среднее время пребывания фазовой точки в пределах тоже сохраняется, t = t. Полагая, что фазовая траектория достаточно плотно покрывает всю область допустимых состояний (изоэнергетический слой очень малой толщины E), то есть эта поверхность не расщепляется на несвязанные части, получаем оценку времени возврата: T t(E)/, где (E) получено в 1.6. Для 1 см 3 газа с учетом V = 1, (3N/2 + 1) = (3N/2)! получаем T 10 в степени 10 20 . Величина эта практически не зависит от выбора толщины слоя , единиц измерения времени, размеров ячейки. Даже с учетом уменьшения объема фазового пространства для системы тождественных частиц (фактор N! в классическом статистическом интеграле; см. раздел 2) оценка меняется не очень сильно. 9. 0 0 0 0 ( , ) , ( , ) / N R N R N g N N p R n N n N n N – «гипергеометрическое распределение»; n np R n NR N ( , ) / 0 В случае n << N, R << N 0 n n e n n n p ! ) ( (при выводе используются формулы Стирлинга). 170 10. ! )! ( )! ( ! )! ( ! ! !... ! ! ) , ( 0 0 1 1 1 3 2 1 0 2 2 1 1 N N N n R R n R R n n n N N N n R n R n R n R p r r r r r i i При R i >> n i , N 0 >> N это распределение переходит в полиномиальное с p i = R i /N 0 11. 1 1 1 ) , ( , 1 ) , ( 0 0 0 0 N N N n N n N R N n n R n R p N N N N N g При n << R, N << N 0 , p(R,n) переходит в биномиальное распределение c q = R/N 0 12. Общее решение дается биномиальным распределением ). 1 ( , , / , ) 1 ( ) , ( 2 0 0 q Nq q n n n Nq n V V q q q n N n V p n N n При n << N p(n) сводится к распределению Пуассона, которое, в свою очередь, при дополнительном условии n >> 1 с помощью формулы Стирлинга сводится к гауссовому распределению ]. 2 / ) ( exp[ ) 2 ( ) ( 2 2 / 1 n n n n n p Эти выкладки не являются доказательством большей общности распределения Пуассона по сравнению с распределением Гаусса; они лишь показывают, что существуют ситуации, в которых оба распределения могут быть использованы с равным успехом. 13. Можно свести эту задачу к предыдущей следующим образом: время t подразделяется на очень большое число малых интервалов t = t/N, так чтобы вероятность вылета электрона в этом интервале была p = t << 1. Тогда , ) 1 ( ) ( n N n t p p n N n p и при малых n << N, как в 1.12, ); exp( ! ) ( ) exp( ! ) ( t n t Np n Np n p n n t <n> = t = Np, (t = 1, = n 0 ); < n 2 > = p). 14. i r r n r r n n n l n r r n l p 2 1 2 1 ). 2 / exp( 2 ! ! ! 2 1 ) ( 2 2 1 Вероятность попадания в точку (l 1 , l 2 ) при блуждании по плоской квадратной решетке: ). , , ( , ! ! ! ! ! 4 1 ) , ( 2 4 3 1 2 1 4 3 2 1 2 1 l r r l r r n r r r r r n l l p i n n 16 , 17. Радиус-вектор, связывающий начало и конец полимерной цепочки r = 1 + 2 + … + N , где i ориентированный i-й мономер. <r 2 > = N 2 18. Обозначим i i+k = 2 cos k ; очевидно, cos k = cos k -1 cos + sin k -1 sin cos, где угол между азимутами направлений i и i + k в системе с полярной осью i + k -1 . Поэтому k > = cos -1 > = cos k . 19. Указание: диагонализовать матрицу плотности. 171 20. Вероятность отсутствия частиц в шаре радиуса r (с объемом v) и наличия хотя бы одной частицы в слое (r, r + dr) равна W r dr N v V dv V O dv N ( ) ( ), 1 1 2 где V объем системы, N полное число частиц. Учитывая, что e N N 1 , получаем 3 5 3 4 , 3 4 3 4 ; 3 4 exp 4 ) ( 3 / 2 2 3 / 1 3 2 n r n r nr nr r W Раздел 2. 1. E = N . 2. ) 0 , ( ln / ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0 , ( ln 2 1 N g N g N g N g 2.10 22 3. (N 0 ,N) = N 0 { clnc (1c)ln(1 c)], c = N/N 0 , (N 0 ,N;R,n) = R[ c 1 lnc 1 (1 c 1 )ln(1 c 1 )] + (N 0 R)[c 2 lnc 2 (1 c 2 )ln(1 c 2 )], c 1 = n/R, c 2 = (N n)/(N 0 R). 4. = N 0 {(1 + c)ln(1 + c) – clnc}, c = N/N 0 . 5. ). 1 ln( ); 1 ln( ), 2 1 coth ( ) 1 ( ; 1 ln ; / ), 1 , ln ( ln ) 1 ln( ) 1 ( / 1 / 1 2 1 2 1 1 / 1 1 e e u N u e u u u N E u u u u u u u N 6. 1 tanh 2 2 2 2 a L 7. <E> = E 0 + [ a(coshb e a )/3 bsinhb](coshb + e a /2) 1 , = 1/. 8. <E> = [( /4)(1 + 2chB 3e ) 2BshB]/(e + 2ch B + 1). 9. N = (lnZ'/), E = ( / + /)lnZ'. 10. = (1 + e ( + )/ ) 1 = p(p + p 0 e / ) 1 11. Указание: рассматривая узлы и междоузлия как системы с двумя состояниями, находящиеся в тепловом и диффузионном контакте, написать среднее число частиц на них. Другой вариант решения: найти значение n,при котором свободная энергия n N N n N n n F ln ) ( достигает минимума. Третий вариант: 1/ = (/E) N , N' , E = n . n (NN' ) e /2 12. Указание: энтропия системы ln ) ( n n N n n Nexp(/). 13. Указание: использовать каноническое распределение; полезно иметь в виду соотношение , 2 E Z Z 14. <M> = < i / B >; = (M / B ) B 0 . 172 15. Здесь внутренняя энергия не зависит от l,и «натяжение» определяется только изменением энтропии (ср. ур. (3.3)). ). ( , 2 2 ln 2 n l n l l F l n n E 16. 1 coth ) ( ( ), / ( ln x x x L F L N F Z l функция Ланжевена), i l N N i i F F d d F Fl Z , 1 sinh 4 cos exp exp статсумма для «FT-распределения». 17. Указание: использовать тождество Кубо 0 ) ( ) ( 1 B A A B A A Be e d e e }. / ] 1 ) [exp( ] [ ){ exp( 0 0 0 1 1 0 1 0 n n n n n n n n n n n E E H H E Z 18. Указание: воспользоваться соотношением exp(K n n+1 ) = chK + n n+1 shK. Z=(2chK) N , при N ;/N = ln2chK KthK; E = NJthK; C = NK 2 /ch 2 K, K = J/ . 19. Разобьем одночастичные состояния на группы i = 1,2,... из G i близких по энергиям ( i ) состояний, и пусть N i число частиц в i-й группе; N i = N, i N i = E. Энтропия неравновесного состояния (N,E;N 1 ,N 2 ,...) = ln g i (G i , N i ), где g i число возможных распределений N i частиц по G i состояниям, разное для ферми- и бозе-газов ( i i N G и i i i N N G 1 , соответственно; в классическом пределе N i << G i и g i ! / i N i N G i ). Равновесные распределения (Ферми, Бозе, Больцмана) n i = N i /G i находятся из условия максимума энтропии при заданном полном числе частиц и полной энергии: ( /n i )( + N + E) = 0. Поскольку d = dN dE, то = 1/, = /. 20. Ищется максимум выражения + p i ( + x i + y i …), где , , … неопределенные множители: ...), exp( ...) exp( ) 1 exp( , 0 1 ln ) ...) ( ( 1 i i i i i i i i i i i i y x Z y x p y x p p y x p статсумма ...). exp( i i y x Z Соответствующая энтропия = lnZ x 0 y 0 … Если рассмотреть набор параметров E, N, x…, то 1 ln 0 0 0 x X N E Z , где ,... 0 , 0 0 N E x X , X обобщенная сила, соответствующая параметру x 0 21. <r r'> = (m/2 2 ) 3/2 exp[ (m/2 2 )(r r') 2 ] (ненормированная). |