Физика. Конспекты лекций и задачи казань 2015 удк 536. 7(07) ббк 22. 317 А62

• Название: Конспекты лекций и задачи казань 2015 удк 536. 7(07) ббк 22. 317 А62
• Анкор: Физика
• Дата: 24.05.2022
• Размер: 1.13 Mb.
• Имя файла: Thermodynamics_and_statistical_physics.pdf
• Тип: Конспект; #546850
• страница: 20 из 22

Раздел 1.
1.
Фазовая траектория частицы с энергией Е:
p
m
V x
E
2 2


( )
. Точки равновесия х = 0
(неустойчивая) и х=
 1 2
/
(устойчивые).
2.
Точки равновесия: р = 0, х = n
(устойчивые при n четном, неустойчивые при n нечетном).
3.
Указание: при соударениях со стенками импульсы частиц меняются на противоположные, при соударении частиц они обмениваются импульсами.
4.
)
2
/(
)
(
/
2
)
(
;
2
,
)
(
3 3
3 4
3 3
4 3
)
,
(























E
L
p
E
g
mE
p
p
L
d
E
E
E
E
E
q
p
E
5.
m
k
k
E
x
mE
p
E
k
m
E
x
p
E
/
,
/
2
,
2
;
/
2
/
2
)
(
2 0
0 0
0












p
0
, x
0
 амплитуды импульса и координаты, к  упругая постоянная.
6.
(E) = V
N
(2
mE)
3
N
/2
/
(3N/2 + 1), коэффициент при V
N
представляет собой объем
3N-мерной сферы радиуса
2mE.
7.
/
;
/
)
(
2 2
2 2
0







m
E
x
x
x
dx
x
dw
8.
Размеры ячейки
 = (xp)
3
N
, время нахождения фазовой точки внутри ячейки
t  x/v = 0.510
11
сек. При движении вдоль фазовой траектории
 не меняется,
 = , среднее время пребывания фазовой точки в пределах  тоже сохраняется,
t = t. Полагая, что фазовая траектория достаточно плотно покрывает всю область допустимых состояний (изоэнергетический слой очень малой толщины
E), то есть эта поверхность не расщепляется на несвязанные части, получаем оценку времени возврата:
T
 t(E)/, где (E) получено в 1.6. Для 1 см
3
газа с учетом V = 1,
(3N/2
+
1) = (3N/2)! получаем T
 10 в степени 10 20
. Величина эта практически не зависит от выбора толщины слоя
, единиц измерения времени, размеров ячейки. Даже с учетом уменьшения объема фазового пространства для системы тождественных частиц (фактор N! в классическом статистическом интеграле; см. раздел 2) оценка меняется не очень сильно.
9.
0 0
0 0
(
, )
, ( , )
/
N
R
N
R
N
g N N
p R n
N
n
N n
N



 
 





 
 




 
 

–
«гипергеометрическое распределение»;
  


n
np R n
NR N
( , )
/
0
В случае n << N, R << N
0






n
n
e
n
n
n
p
!
)
(
(при выводе используются формулы Стирлинга).

170
10.
!
)!
(
)!
(
!
)!
(
!
!
!...
!
!
)
,
(
0 0
1 1
1 3
2 1
0 2
2 1
1
N
N
N
n
R
R
n
R
R
n
n
n
N
N
N
n
R
n
R
n
R
n
R
p
r
r
r
r
r
i
i





























При R
i
>> n
i
, N
0
>> N это распределение переходит в полиномиальное с p
i
= R
i
/N
0
11.
1 1
1
)
,
(
,
1
)
,
(
0 0
0 0





































N
N
N
n
N
n
N
R
N
n
n
R
n
R
p
N
N
N
N
N
g
При n << R, N << N
0
, p(R,n) переходит в биномиальное распределение c q = R/N
0
12.
Общее решение дается биномиальным распределением
).
1
(
,
,
/
,
)
1
(
)
,
(
2 0
0
q
Nq
q
n
n
n
Nq
n
V
V
q
q
q
n
N
n
V
p
n
N
n
























При n << N p(n) сводится к распределению Пуассона, которое, в свою очередь, при дополнительном условии n >> 1 с помощью формулы Стирлинга сводится к гауссовому распределению ].
2
/
)
(
exp[
)
2
(
)
(
2 2
/
1











n
n
n
n
n
p
Эти выкладки не являются доказательством большей общности распределения Пуассона по сравнению с распределением Гаусса; они лишь показывают, что существуют ситуации, в которых оба распределения могут быть использованы с равным успехом.
13.
Можно свести эту задачу к предыдущей следующим образом: время t подразделяется на очень большое число малых интервалов
t = t/N, так чтобы вероятность вылета электрона в этом интервале была p =
t << 1. Тогда
,
)
1
(
)
(
n
N
n
t
p
p
n
N
n
p









и при малых n << N, как в 1.12,
);
exp(
!
)
(
)
exp(
!
)
(
t
n
t
Np
n
Np
n
p
n
n
t








<n> =
t = Np,
(t = 1, =
 = n
0
); <
n
2
> = (1
 p).
14.









i
r
r
n
r
r
n
n
n
l
n
r
r
n
l
p
2 1
2 1
).
2
/
exp(
2
!
!
!
2 1
)
(
2 2
1
Вероятность попадания в точку (l
1
, l
2
) при блуждании по плоской квадратной решетке:








).
,
,
(
,
!
!
!
!
!
4 1
)
,
(
2 4
3 1
2 1
4 3
2 1
2 1
l
r
r
l
r
r
n
r
r
r
r
r
n
l
l
p
i
n
n
16
, 17. Радиус-вектор, связывающий начало и конец полимерной цепочки
r
=

1
+

2
+ … +

N
, где

i
 ориентированный i-й мономер. <r
2
> = N

2
18.
Обозначим

i

i+k
=

2
cos

k
; очевидно, cos

k
= cos

k
-1
cos
 + sin
k
-1
sin
cos, где   угол между азимутами направлений

i
и

i
+
k
в системе с полярной осью

i
+
k
-1
. Поэтому

k
> = cos
k
-1
> = cos
k
.
19.
Указание: диагонализовать матрицу плотности.

171
20.
Вероятность отсутствия частиц в шаре радиуса r (с объемом v) и наличия хотя бы одной частицы в слое (r, r
+
dr) равна W r dr N
v
V
dv
V
O dv
N
( )
(
),








1 1
2
где V
 объем системы, N
 полное число частиц. Учитывая, что











e
N
N
1
, получаем
3 5
3 4
,
3 4
3 4
;
3 4
exp
4
)
(
3
/
2 2
3
/
1 3
2












 















 















n
r
n
r
nr
nr
r
W
Раздел 2.
1.
E = N
.
2.
)
0
,
(
ln
/
)
0
,
(
)
0
,
(
)
0
,
(
ln
2 1
N
g
N
g
N
g
N
g










 2.10
22
3.
(N
0
,N) = N
0
{
clnc  (1c)ln(1  c)], c = N/N
0
,
(N
0
,N;R,n) = R[
c
1
lnc
1
(1  c
1
)ln(1
 c
1
)] + (N
0
 R)[c
2
lnc
2
 (1  c
2
)ln(1
 c
2
)], c
1
= n/R,
c
2
= (N
 n)/(N
0
 R).
4.
 = N
0
{(1 + c)ln(1 + c) – clnc}, c = N/N
0
.
5.
).
1
ln(
);
1
ln(
),
2 1
coth
(
)
1
(
;
1
ln
;
/
),
1
,
ln
(
ln
)
1
ln(
)
1
(
/
1
/
1 2
1 2
1 1
/
1 1

































e
e
u
N
u
e
u
u
u
N
E
u
u
u
u
u
u
u
N

6.
1
tanh
2 2
2 2











a
L
7.
<E> = E
0
+ [
a(coshb e
a
)/3
 bsinhb](coshb + e
a
/2)
1
,
 = 1/.
8.
<E> = [(
/4)(1 + 2chB  3e

)
 2BshB]/(e

+ 2ch
B + 1).
9.
N =
(lnZ'/), E = ( / +  /)lnZ'.
10.
 = (1 + e
( + )/
)
1
= p(p + p
0
e
/
)
1
11.
Указание: рассматривая узлы и междоузлия как системы с двумя состояниями, находящиеся в тепловом и диффузионном контакте, написать среднее число частиц на них. Другой вариант решения: найти значение n,при котором свободная энергия












 



n
N
N
n
N
n
n
F
ln
)
(
достигает минимума. Третий вариант: 1/
 = (/E)
N
,
N'
, E = n
.
n
(NN' ) e
/2
12.
Указание: энтропия системы ln
)
(





 


n
n
N
n
n
 Nexp(/).
13.
Указание: использовать каноническое распределение; полезно иметь в виду соотношение
,
2










E
Z
Z
14.
<M>

= <


i
/
B

>;
 = (M

/
B

)
B
0
.

172
15.
Здесь внутренняя энергия не зависит от l,и «натяжение» определяется только изменением энтропии (ср. ур. (3.3)).
).
(
,
2 2
ln
2




























n
l
n
l
l
F
l
n
n
E
16.
1
coth
)
(
(
),
/
(
ln
x
x
x
L
F
L
N
F
Z
l













 функция Ланжевена),





























i
l
N
N
i
i
F
F
d
d
F
Fl
Z
,
1
sinh
4
cos exp exp
 статсумма для
«FT-распределения».
17.
Указание: использовать тождество Кубо













0
)
(
)
(
1
B
A
A
B
A
A
Be
e
d
e
e
}.
/
]
1
)
[exp(
]
[
){
exp(
0 0
0 1
1 0
1 0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
E
E
H
H
E
Z


















18.
Указание: воспользоваться соотношением exp(K

n

n+1
) = chK +

n

n+1
shK.
Z=(2chK)
N
, при N
;/N = ln2chK  KthK; E = NJthK; C = NK
2
/ch
2
K, K = J/
.
19.
Разобьем одночастичные состояния на группы i = 1,2,... из G
i
близких по энергиям (

i
) состояний, и пусть N
i
 число частиц в i-й группе; N
i
= N,

i
N
i
= E. Энтропия неравновесного состояния
(N,E;N
1
,N
2
,...) = ln
g
i
(G
i
,
N
i
), где g
i
 число возможных распределений N
i
частиц по G
i
состояниям, разное для ферми- и бозе-газов (






i
i
N
G
и








i
i
i
N
N
G
1
, соответственно; в классическом пределе N
i
<< G
i
и g
i
!
/
i
N
i
N
G
i

).
Равновесные распределения (Ферми, Бозе, Больцмана) n
i
= N
i
/G
i
находятся из условия максимума энтропии при заданном полном числе частиц и полной энергии:
(
/n
i
)(
 + N + E) = 0. Поскольку d = dN dE, то  = 1/,  = /.
20.
Ищется максимум выражения
 + p
i
(
 + x
i
+
y
i
…), где
, , …  неопределенные множители:
...),
exp(
...)
exp(
)
1
exp(
,
0 1
ln
)
...)
(
(
1



































i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
x
Z
y
x
p
y
x
p
p
y
x
p
статсумма






...).
exp(
i
i
y
x
Z
Соответствующая энтропия
 = lnZ

x
0
 y
0
…
Если рассмотреть набор параметров E, N, x…, то
1
ln
0 0
0











x
X
N
E
Z
, где
,...
0
,
0 0
N
E
x
X












, X
 обобщенная сила, соответствующая параметру x
0
21.
<r
r'> = (m/2
2
)
3/2
exp[
(m/2
2
)(r
 r')
2
] (ненормированная).

173
22.
При включении магнитного поля с векторным потенциалом A(r) импульсы частиц в гамильтониане системы заменяются на p
i
+ (e
i
/c)A(r
i
). Эта замена не приводит к изменению классического статистического интеграла (и свободной энергии).