твмс. ТВМС. Теор. и практ. реш. тип. задач к.р.(23.09.20). Контрольная работа выполняется и оформляется при соблюдении следующих правил

• Название: Контрольная работа выполняется и оформляется при соблюдении следующих правил
• Дата: 21.12.2022
• Размер: 2.47 Mb.
• Имя файла: ТВМС. Теор. и практ. реш. тип. задач к.р.(23.09.20).doc
• Тип: Контрольная работа; #857186
• страница: 5 из 9

Пример. Заданы математическое ожидание a = 1 и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Требуется: 1) написать выражение функции f(x) плотности распределения вероятностей и схематически построить ее график; 2) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (, ) при  = 0,5,  = 2.

Решение. 1) Напишем выражение функции f(x) плотности распределения вероятностей. Согласно (2) при заданных значениях и имеем:



Схематически построим график f(x), аналогичный графику на рис. (6) при a = 1 и  = 4, предварительно выбрав соответствующий масштаб единицы измерения по осям координат (рис. 10).

2) Найдем вероятность того, что Х примет значение из интервала (, ) при  = 0,5,  = 2. Согласно (6)₁ имеем:



_где

Таким образом, получаем:



Учитывая свойство нечетности (12) функции Лапласа и используя таблицу значений (прил. 3), находим:



Вероятность можно также найти с помощью таблицы значений функции Лапласа (прил. 2) согласно (6):



3) Полученное значение вероятности численно равно площади, ограниченной кривой f(x) в пределах изменения х от 0,5 до 2. в виде заштрихованной части площади под кривой f(x) на рис. 10 дана геометрическая иллюстрация полученного значения вероятности.

Ответ: 1) _{(рис. 10),}

2) (рис 10).



Рис. 5. Функция F(x) распределения вероятностей P(X < x) нормальной случайной величины Х



Рис. 6. Функция f(x) плотности вероятностей нормальной случайной величины Х



_{Рис. 7. Вычисление значений функции (x)}



Рис. 8. График функции Лапласа (x)



_{Рис. 9. График плотности вероятностей нормированного нормального} распределения (x)



Рис. 10. График функции плотности распределения вероятностей случайной величины

Задача 4. Схема независимых испытаний Бернулли

[4, гл. 5 § 1–4], [5, гл. 3 § 1–4], [9, 6.2.1–6.2.3]

1. Интегральная теорема Лапласа

Пусть проводится п испытаний, в каждом из которых вероятность наступления случайного события А постоянна и равна Требуется вычислить вероятность того, что событие А наступит в п испытаниях не менее k₁ и не более k₂ раз.

Искомая вероятность устанавливается интегральной теоремой Лапласа и вычисляется по формуле:

(1)

где Ф₀(х) — функция Лапласа, значения x₁ и x₂ ее аргументов в равенстве (1) соответственно вычисляются по формуле:

(2)

Пример 1. Проводится некоторый опыт, в котором случайное событие А может произойти с вероятностью p = 0,5. Опыт повторяют в неизменных условиях 900 раз. Определить вероятность того, что событие А произойдет в большинстве опытов.

Решение. Согласно условию событие А произойдет не менее 451 раз и не более 900 раз. Таким образом, имеем: k₁ = 451, k₂ = 900, p = 0,5, q = 1 – p = 0,5. Искомая вероятность P₉₀₀ (451; 900) вычисляется по формуле (1), при этом согласно (2) и условиям задачи имеем:



Следовательно, По таблице (прил. 3) значений функции Лапласа находим: Таким образом,

2. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Пусть проводится п испытаний, в каждом из которых вероятность наступления случайного события А постоянна и равна

Относительной частотой события A называют отношение числа испытаний т, в которых при проведении испытаний событие А наступило, к общему числу п фактически проведенных испытаний:

(3)

В выше указанных условиях требуется найти вероятность Р того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности p по абсолютной величине не превышает заданного малого числа

Искомая вероятность вычисляется по формуле:

(4)

т.е. вероятность Р осуществления неравенства приближенно равна удвоенному значению функции Лапласа при ее аргументе, равном

(5)

Пример 2. Проводится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью p = 0,6. Определить вероятность Р того, что в 800 опытах относительная частота наступления события А отклонится от вероятности p = 0,6 не более, чем на 0,05.

Решение. Искомая вероятность вычисляется по формуле (4). Согласно формуле (5) и условиям задачи аргумент функции Лапласа в (4) (при п = 800, р = 0,6, равен: Следовательно,

Ответ:

Пример 3. В условиях предыдущего примера определить, сколько раз (п) надо провести испытания, чтобы с вероятностью большей, чем 0,9 можно было ожидать отклонения относительной частоты наступления события А от р = 0,6 не более, чем 0,05.

Решение. Согласно (4) и условиям задачи должно иметь место неравенство:



По таблице (прил. 3) значений функции Лапласа найдем значение аргумента при котором Таким значением является x = 1,65. Теперь из условия найдем искомое значение п. Для этого решим последнее неравенство относительно значения п. Получим: Согласно условиям задачи окончательно находим: таким образом, устанавливаем, что n > 294.

Ответ. Надо провести не менее 295 испытаний.

Замечание. Локальная теорема Лапласа: вероятность того, что в п испытаниях событие А произойдет ровно k раз (см. также в задаче 1 формулу (24)) определяется по формулам



Задача 5. Интервальные оценки параметров нормального распределения

[1, С. 9.9, 9.11], [2, 24.4], [5, гл. 10, § 4], [6, разд. 2, гл. 5], [7, разд. 2, гл. 5]

1. Основные понятия

В задаче изучаем основные понятия математической статистики: опыт, генеральная совокупность, случайная выборка, выборка и выборочный метод получения интервальной оценки для неизвестного значения математического ожидания нормально распределенного количественного признака X.

Опытом называется многократное, в неизменных условиях, наблюдение над исследуемым объектом с целью изучения его свойств и их количественного описания.

Опыт может проводиться над одним объектом наблюдения раз или над однородными объектами один раз. Объектами наблюдения могут быть изделия, события, явления, процессы. Например, для изучения прочности металла необходимо провести опыт по разрушению специально изготовленных из металла образцов, измерить усилия разрушения и полученные результаты использовать для количественного описания прочности металла с помощью случайной величины X — усилия разрушения металла. Аналогично, на основе опыта изучаются время службы X электрической лампочки, производительность труда X на предприятии, а также свойства любого объекта и выполняется их количественное описание с помощью соответствующей случайной величины X.

Генеральной совокупностью называется множество всех возможных значений случайной величины X, которые могут быть получены в результате опыта; в этом смысле понимают термины: «генеральная совокупность случайной величины Х», «генеральная совокупность Х», «случайная величина Х».

Генеральная совокупность X описывается законом F(x) распределения вероятностей случайной величины X: F(x) = P(X < x), где x — действительная переменная, P(X < x) — вероятность случайного события X < x, F(x) —функция действительной переменной.

Выборкой из генеральной совокупности (случайной величины Х) называется вектор компоненты (элементы) которого представляют результаты опыта и упорядочены по номерам наблюдений (экспериментов):

(1)

В выборку каждый ее элемент должен попасть с равной вероятностью.

Выборка используется для изучения и количественного описания вероятностных свойств генеральной совокупности (случайной величины Х).

Каждое значение случайной величины X называется элементом, число элементов генеральной совокупности или выборки называется объемом, соответственно, генеральной совокупности или выборки.

Генеральная совокупность может быть конечной или бесконечной, если число элементов конечно или бесконечно.

Каждое значение x_i,  случайной величины X, оказавшееся в выборке в результате опыта, до проведения опыта заранее (априори) неизвестно, что дает основание рассматривать в качестве каждого элемента выборки случайную величину X_i, имеющую распределение, одинаковое с распределением исследуемой случайной величины X. Обозначая объем выборки через n, получаем таким образом систему независимых случайных величин X_i, называемую случайной выборкой. Случайная выборка часто обозначается в виде вектора Однако, если опыт уже проведен, то получаем выборку как отдельное значение, называемое реализацией случайной выборки

Характеристика, установленная по случайной выборке называется выборочной характеристикой. Выборочная характеристика является некоторой функцией случайной выборки Подставляя вместо выборку получим выборочное значение выборочной характеристики

Подобно тому, как, например, по ведру воды определяют свойства всей воды в колодце, так по выборочной характеристике определяется количественная характеристика генеральной совокупности Х. В этом состоит суть выборочного метода. Количественная характеристика случайной величины Х называется параметром; обозначим параметр через θ.

Выборочная характеристика имеет еще одно название: «статистика», подразумевая при этом такую функцию случайной выборки которая позволяет по любому значению выборки приближенно оценить значение неизвестного параметра θ случайной величины X:

(2)

Любая статистика как функция случайных величин, является случайной величиной и может определяться не только числом n этих величин, но и числом установленных на них связей r, ограничивающих получение численного значения статистики при случайном независимом изменении каждой из случайных величин.

Разность

n – r = k,  (3)

где n — число независимых случайных величин r — число установленных на них связей, называется числом степеней свободы статистики

Например, статистика

(4)

определяемая n независимыми случайными величинами имеет n степеней свободы, а статистика

(5)

где — среднее значение выборки, имеет n – 1 степеней свободы, поскольку значения n случайных величин должны удовлетворять одной связи установленной на них.

Статистика удовлетворяющая условию (2), называется точечной оценкой параметра θ. Подставляя в точечную оценку значение выборки получим выборочное значение точечной оценки Чтобы выполнялось условие (2), точечная оценка должна удовлетворять определенным требованиям: состоятельности, несмещенности, эффективности, робастности.

Выборочный метод позволяет также устанавливать такие статистики и чтобы по любому значению выборки с заданной вероятностью γ для неизвестного истинного значения параметра θ случайной величины Х выполнялось неравенство

(6)

При этом статистики и называют интервальной оценкой параметра θ, а и — выборочным значением интервальной оценки параметра θ.

Интервал

(7)

определяемый согласно (6), называется доверительным интервалом для параметра с уровнем доверительной вероятности γ. Подставляя любое значение выборки получим значения границ доверительного интервала

(8)

Множество всех возможных значений случайной выборки образует выборочное пространство, которое представляет собой  мерное линейное арифметическое пространство Rⁿ, либо его подмножество.

Выборку можно получить двумя способами: выбором элементов с возвращением каждого исследованного элемента обратно в генеральную совокупность и без возвращения, соответственно выборка называется повторной или бесповторной.

На практике выбор элементов из генеральной совокупности и обеспечение равной вероятности их попадания в выборку осуществляется при помощи таблицы случайных чисел, составленной так, чтобы гарантировать равную возможность (равную вероятность) нахождения каждой цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 на каждом месте каждого двухзначного числа таблицы (прил. 9).